江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了04， 若复数满足，则的虚部是， 在中，若，则的形状为， 已知，则的值为， 在中，内角A，B，C，等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年第二学期期中试卷
高一数学
2023.04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据共轭复数及复数的概念判断即可.
【详解】因为，所以，所以的虚部是.
故选：A
2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的定义即可得出答案.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为: .
故选：B.
3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A. 8 B. C. 8或 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由向量数量积定义可求得，根据同角三角函数关系可得，代入定义式即可求得结果.
【详解】，，
又，，
.
故选：A.
4. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.
【详解】由题可知，
∵点F在BE上，
∴，
∴．
∴，．
∴．
故选：C．
5. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.
【详解】因，
由可得：，
即，
所以，
所以，
所以或，
因为，，
所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】因为
，
所以，
故选：D
7. 在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.
【详解】在中，，
记，则.因为，所以，从而，
所以可化为，
即，恒成立，所以依题有，
化简得，即得恒成立，又由，得或.
故选：A．
【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，属于较难题.
8. 若，，平面内一点，满足，最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得，是角平分线，然后由角平分线的性质可得，设，则，然后，即可得出的最大值.
【详解】
由，可得
因为，所以，即是角平分线
所以由角平分线的性质可得
设，则，由可得
因为
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为
所以的最大值是
故选：C
【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列关于平面向量说法中正确的是（ ）
A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C. 若且，则
D. 若点为的重心，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.
【详解】对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；
对于选项B：，若与的夹角为锐角，则
解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；
对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，
故选项C不正确；
对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.


故选：AD
【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.
10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数
C. 的模长等于 D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，
在复平面内对应的点为位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，
所以，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.
故选：ABC.
11. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A. 在上是减函数
B. 由可得是的整数倍
C. 是奇函数
D. 函数在区间上有个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.
【详解】由题意知，
对于A.当时，，
因为在上单调递减，
所以在上是减函数，A正确
对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误
对于C.由题意，得，故是奇函数，C正确
对于D.由，可得.
当时，，
令或，则或，
因此在上有两个零点，而含有个周期，
因此在区间上有个零点，D错误.
故选：AC.
12. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ）

A. 为的垂心 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用数量积的运算律可整理得到，同理，，知A正确；
推导得到，由此可证得B正确；
由数量积的定义和B的结论可求得，同理得，，作比可得到结果，知C错误；
利用三角形面积公式和B的结论表示出，同理得到，作比后代入C中推导的结论可得，由此证得D正确.
【详解】对于A，，，即，
同理可证得：，，是的垂心，A正确；
对于B，延长交于两点，

由A可知：，，，，
，又，，B正确；
对于C，由B可得：，
同理可得：，，
，
，C错误；
对于D，由B可得：，
同理可得：，，
，
由C可得：，
又，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若是虚数单位，，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的运算性质与复数的模长公式计算即可.
【详解】化简原式，可得，
所以，所以.
故答案为：
14. 已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于______.
【答案】
【解析】
【分析】运用平面向量数量积乘法分配律计算.
【详解】依题意有 ，即 ，
由条件知 ，
， ；
故答案为： .
15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
【详解】因为，，所以，，所以，
又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案为：
16. 如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为__________，若、分别是边、的中点，则的取值范围是__________．

【答案】 ①. 20 ②.
【解析】
【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值. 利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围.
详解】由余弦定理，，
由于，所以.
设是中点，则共线，如图，

，
.
，
.
因为的最大值为，
所以的最大值为.


，
其中，即，
所以，故.
即的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用向量数量积运算得到，从而转化为求的范围即可，同理得到，再代入相关数据转化为求的范围即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；
（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.
【详解】解：（1）设，由题意每，
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，解得
18. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.
（1）求实数，的值；
（2）设的重心为，且，求的值.
【答案】（1），或（2）
【解析】
【分析】（１）依据题设运用向量的垂直与平行建立方程组求解；（２）借助题设及向量的数量积公式分析求解：
【详解】解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以，
又，，所以，①
因为 ，所以，即，②
由①、②解得，或.
（2）因为为的重心，且，所以点为线段的中点，
所以，.
所以，，
因此.
19. 已知向量，，且函数.
（1）若，且，求的值；
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.
【答案】（1）（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论；
（2）先求出的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．
【详解】（1）由条件可得：；
；
．因为，
，
．


（2）函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，
得，
再将所得图像向左平移个单位，
得；
当时，．
当时，；当时，，
所以函数在的值域是．
【点睛】本题考查数量积运算性质、三角函数的性质及图像变换，考查逻辑推理能力与运算求解能力，求函数的值域时注意整体思想的运用．
20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.

（1）求，，，的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；
（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.
【答案】（1），，；（2）；（3）h，，最大值为.
【解析】
【分析】（1）直接由题意求出，，，的值；
（2）求出函数解析式，由函数最大值为，可得，即，取得答案；
（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（不妨设领先于，则，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．
【详解】解：（1）由题知，得，
由题意得，，.
（2）由，得，
所以，即，
当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时.
（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，
所以，，
所以的最大值为.
21. 在三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角的对边分别为，为的面积，且选条件：

（1）求
（2）作使得四边形满足，，求的取值范围.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所选条件，采用正余弦定理或者三角形面积公式一一计算即可
（2）设，根据题意，利用正弦定理将表示成关于的代数表达式，通过表达式的值域从而确定的取值范围
【小问1详解】
选①： ，由正弦定理可得：
，整理得：
即 ，

选②： ，由正弦定理可得：
，整理得：
即 ，
选③：
， ，
综上，无论选择哪个条件，
【小问2详解】
设，则
在中，由正弦定理得
可得
在中，由正弦定理得
可得



，
当时，即，可得
当时，即，可得
的取值范围是
22. 对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
（1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围
（2）在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)用数量积公式求出g(x)的解析式，由辅助角公式化简，分类讨论求出范围.
(2)将h(x)展开并换元，由已知条件转化为求最值.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，所以，
当时，，由题意，得，解得；
当时，，由题意，得，解得；
当时，，满足题目要求
综上可得
所以实数k的取值范围为
【小问2详解】
，
令，则．
故
因为任意的，总存在，使得成立，
所以
所以，即，所以
故实数的取值范围为