新疆伊犁州霍尔果斯市苏港中学2023届高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

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霍尔果斯市苏港高级中学高三年级第一次考试
数学(理科)试卷
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合A，再求.
【详解】集合.
因为，所以.
故选：C
2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简得，利用复数模的定义得.
【详解】易知，则，
故选：D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A

4. 已知，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质即可求解
【详解】∵，，∴，则选项不正确；
当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；
∵,∴，∴，则选项正确；
故选：.
5. 某学校高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，班主任向班内同学征集书法作品贴在教室内墙壁上，其中有一幅作品是“天道酬勤”，这四个字分别由甲、乙、丙、丁四人每人写一个字组成．为了弄清楚“勤”字是由哪位同学书写的，班主任对四人进行了问话．甲说：“是丙或丁写的．”乙说：“是丙写的．”丙说：“不是甲和丁写的．”丁说：“是乙写的．”假设这四位同学有且只有两人说的是对的，则可以判断写“勤”字的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的正确，再根据对话情况可逐一判断.
【详解】若是甲写的，则甲、乙、丙、丁四人说的都不对，不满足题意；
若是乙写的，则甲、乙说的不对，丙和丁说的是对的，满足题意；
若是丙写，则甲、乙、丙三人说的是对的，丁说的不对，不满足题意；
若是丁写的，则甲说的是对的，乙、丙、丁说的是不对的，不满足题意．
故选：B．
6. 执行如图所示的程序框图，若输入的k的值为8，则输出的n的值为（ ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】按照程序框图的循环结构依次求解，直至满足条件，输出.
【详解】输入，，，；
，，；
，，；
，，；
，，；
，结束循环，输出.
故选：C.
7. 已知非零向量的夹角为60°，且，则（　　）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用数量积的计算即可求得.
【详解】由题意得.
又，
∴，
即，又，
解得.
故选：A
8. 如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A处测得该校旗杆顶部P的仰角为，再向旗杆底部方向前进15米到达B处，此时测得该校旗杆顶部P的仰角为．若，则该校旗杆的高度为（ ）

A. 14米 B. 15米 C. 16米 D. 17米
【答案】B
【解析】
【分析】利用直角三角形中的边角关系列式求解旗杆高度即可.
【详解】解：如图

由题可知：（米），
则在中，①，
在中，②，
联立①②解得：（米），（米）.
即该校旗杆的高度为15米.
故选：B.
9. 已知向量，，设，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量夹角公式求出，再结合诱导公式和二倍角余弦公式求.
【详解】因为，，所以，，，
又，的夹角为，所以，
所以．
故选：D．
10. 函数的定义域为R，则实数k的取值范围为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由题意在R上恒成立，按是否为0分类讨论可得．
【详解】由题意在R上恒成立，
时，，满足题意，
时，则，解得，
综上，的范围是．
故选：B．
11. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到为偶函数，且在上，函数单调递减，由，得到，由单调性解不等式得到，解得解集.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，
且上，，函数单调递减，
故由，，得到，
所以，即或，
解得：
故选：C
12. 已知在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，c＝2b－2，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理和基本不等式求出最小值.
【详解】由a＝4，c＝2b－2得，．
由余弦定理知，.
令b－1＝m，则，b＝m＋1，
所以，（当且仅当，即，，时取等号）．
故选：C．
第II卷(非选择题)
二、填空题
13. 设满足约束条件，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意作出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图所示，

转化目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时，取最小值，
由可得点，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.
14. 已知，，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将目标式中4代换成，展开由基本不等式可得.
【详解】因为
所以
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
15. 定义在上的偶函数在上为增函数，若满足，则的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质将等价转化为，并利用单调性和定义域，列出关于的不等式组，从而求出的取值范围.
【详解】是定义在上的偶函数，且在上为增函数
不等式等价于：
，解之得
故答案为：
16. 已知函数，则的解集是_____.
【答案】（）
【解析】
【分析】利用辅助角公式得到，再根据正弦函数的性质求出的解集，同理得到时的取值，即可将的解析式改写成另一种形式，最后再分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解.
【详解】解：由，
令，解得，
即当时，即，
同理可得时，
又，所以，
对于不等式，
当时，解得，
当时，解得，
综上可得不等式的解集为，.
故答案为：，
三、解答题
17. 已知求：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.
（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.
【小问1详解】
因，所以.
【小问2详解】
因，所以

18. 已知内角，，的对边分别为，，，若
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简计算即可求解；
(2)根据三角形的面积公式求得，结合余弦定理计算求得，进而得出结果.
【小问1详解】
，
因为，所以，即，
由，得，又，
所以，则；
【小问2详解】
因为的面积为，所以，
解得，
由余弦定理得，
解得，
所以的周长为.
19. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求、、的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由图象可求得函数的最小正周期，可求得的值，由图象可得出，结合的取值范围可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，可求得的值；
（2）由已知可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系和两角差的正弦公式可求得结果.
【小问1详解】
解：由图象可知，函数的最小正周期为，所以，
又，所以，
因为，所以，由，得，所以.
【小问2详解】
解：由（1）可知，
因为，所以，
因为，
由，可得且，
当时，，
所以；
当时，，
所以．
综上所述，.
20. 已知向量，函数.
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若，求的值域.
【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
解：因为，且，
所以

，
即，
的最小正周期，
令，，解得，，
即图象的对称轴方程为，.
【小问2详解】
解：，，
，
所以.
21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边BC上，，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）结合三角恒等变换、正弦定理等知识求得，进而求得的大小.
（2）由两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值，进而求得面积的最大值．
【小问1详解】
由已知，得，
根据正弦定理，得，
即，
由于，，所以，为锐角，所以．
【小问2详解】
由，得，则，
所以，
所以，，
则，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以．
即面积的最大值为．
22. 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.
试题解析：（1）等价于①
将代入①既得曲线C的直角坐标方程为
，②
（2）将代入②得，
设这个方程的两个实根分别为
则由参数t 的几何意义既知，.
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.