2024届高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　函数的奇偶性与周期性
考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．
2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的奇偶性的定义
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称


1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f-xfx＝1⇔f(x)为偶函数．
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f-xfx＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
3．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．
4．对称性与周期的关系
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．

周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
5．常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0. (　×　)
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
(　√　)
(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．
(　√　)
(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期． (　×　)
2．函数f(x)＝1x－x的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
C　解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－1x＋x＝－1x-x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．
3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f92等于(　　)
A．12B．2　　　
C．22 D．1
B　解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f92＝f12＝212＝2.
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－13 B．13
C．12 D．－12
B　解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13. 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝13.
5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
BD　解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．
对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD.


考点1　函数的奇偶性——基础性

1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(g(x))是偶函数
B．函数g(f(x))是偶函数
C．函数f(x)·g(x)是奇函数
D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
ABC　解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC.
2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0，f(x＋2)＝1fx对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝_________．
1　解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝1fx，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1fx+2＝11fx＝f(x)，
则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．
因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．
当x＝－1时，f(－1＋2)＝1f-1，得f(1)＝1f1.
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.
(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤xa D．a>c>b
D　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8b.故选D.

1．解决这类问题一定要充分利用数形结合思想，使问题变得直观、形象，进而顺利求解．
2．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4.若f(－2)＝2，则f(2 022)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
C　解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2.故选C.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝_________．
2　解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．
又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．
所以f(x)的最小正周期是12.故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：
①8是函数f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)是偶函数．
其中正确的序号是_________．
①②③　解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，
得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．
课时质量评价(八)
A组　全考点巩固练
1．已知函数f(x)＝x＋1x＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．2
B　解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋1a＋1＋(－a)＋1-a＋1＝2, 所以f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1.故选B.
2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x
C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
D　解析：A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项，函数的定义域为R，由--x2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．
3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
B　解析：由题意可得f(x)＝1-x1+x＝－1＋21+x，对于A，f(x－1)－1＝2x－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝2x是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝2x+2－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
4．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，则f53＝(　　)
A．－53 B．－13
C．13 D．53
C　解析：由题意可得：f53＝f1+23＝f-23＝－f23，
而f23＝f1-13＝f13＝－f-13＝－13，故f53＝13.
5．(2023·威海模拟)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 023)＝(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．1
B　解析：因为偶函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＋f(－x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)是以4为周期的函数，
所以f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又当－1≤x≤0时，f(x)＝1－x2，
故f(2 023)＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.
6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，则当x＜0时，f(x)＝_________．
x2＋x－1　解析：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.
7．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________；函数g(x)＝bx＋ax，x∈[－4，－1]的值域为_________．
2　-2，-12　解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2.则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝2x.易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即-2，-12.
8．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0.若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是_________．
(－3，2)　解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln (1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6