2024届高考数学一轮复习第4章第3节三角函数的图象与性质学案

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第三节　三角函数的图象与性质
考试要求：1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在-π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)．

一、教材概念·结论·性质重现
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
xx∈R，且x≠kπ+π2
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间
2kπ-π2，π+π2
[2kπ－π，2kπ]
kπ-π2，kπ+π2
递减
区间
2kπ+π2，π+3π2
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称
中心
(kπ，0)
kπ+π2，0
kπ2，0
对称轴方程
x＝kπ＋π2
x＝kπ
无


1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．要注意求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，则一定先借助诱导公式将ω化为正数．
3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．
4．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心之间的距离也为半个周期．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)y＝sin x在第一、第四象限单调递增． (　×　)
(2)由sin π6+2π3＝sin π6，知2π3是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
(3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. (　×　)
(4)若sin x>22，则x>π4. (　×　)
2．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在π4，π2上单调递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
B　解析：因为函数y＝sin x在π2，π上单调递减，
所以f(x)＝sin 2x在π4，π2上单调递减，故A错误．
因为f(－x)＝sin [2(－x)]＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确．
f(x)的最小正周期为π，故C错误．
f(x)的最大值为1，故D错误．
3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的是(　　)
A．y＝2sin 2x+π3　　
B．y＝2sin 2x-π6
C．y＝2sin x2+π3
D．y＝2sin 2x-π3
B　解析：函数y＝2sin 2x-π6的最小正周期T＝2π2＝π，又sin 2×π3-π6＝1，
所以函数y＝2sin 2x-π6的图象关于直线x＝π3对称．
4．函数y＝3－2cos x+π4的最大值为______，此时x＝_________．
5　3π4＋2kπ(k∈Z)　解析：函数y＝3－2cos x+π4的最大值为3＋2＝5，
此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．
5．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是____________．
sin 68°>cos 23°>cos 97°　解析：sin 68°＝cos 22°，又y＝cos x在0°～180°上是减函数，所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.


考点1　三角函数的定义域——基础性

1．函数y＝tan π4-x的定义域是(　　)
A．xx≠π4
B．xx≠－π4
C．xx≠kπ＋π4，k∈Z
D．xx≠3π4＋kπ，k∈Z
D　解析：函数y＝tan π4-x＝－tan x-π4，
令x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠3π4＋kπ，k∈Z，
所以函数的定义域是xx≠3π4＋kπ，k∈Z．
2．函数y＝2sinx-1的定义域为(　　)
A．π6，5π6
B．2kπ+π6，2kπ+5π6(k∈Z)
C．2kπ+π6，2kπ+5π6(k∈Z)
D．kπ+π6，kπ+5π6(k∈Z)
B　解析：由2sin x－1≥0，得sin x≥12，
所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)．
3．已知x∈[0，2π]，则y＝tanx+-cosx的定义域为(　　)
A．0，π2 B．0，π2
C．π，3π2 D．π，3π2
C　解析：由题意tanx≥0，-cosx≥0，x∈0，2π，得x≠kπ＋π2(k∈Z)，
所以函数的定义域为π，3π2.
4．函数y＝lg (sin x)＋ cosx-12的定义域为_________．
x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z　解析：要使函数有意义必须有sinx＞0， cosx-12≥0，即sinx＞0，cosx≥12，
解得2kπ＜x＜π+2kπk∈Z， -π3+2kπ≤x≤π3+2kπk∈Z．
所以2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z)．

1．解答T3容易忽视正切函数的定义域而错选D.
2．求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

考点2　三角函数的值域或最值——综合性

(1)函数f(x)＝cos 2x－2sin π2-x·cos π2+x，x∈0，π2的最小值为(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
A　解析：f(x)＝cos 2x－2cos x(－sin x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin 2x+π4，
因为x∈0，π2，可得2x＋π4∈π4，5π4，sin2x+π4∈-22，1，
所以f(x)＝2sin 2x+π4∈[－1，2]，即其最小值为－1.
(2)函数y＝cos2x－sinx的值域是(　　)
A．-1，54 B．1，54
C．[0，2] D．[－1，1]
A　解析：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝-sinx+122＋54，
由于sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝1时，y的最小值为－1；
当sin x＝－12时，y的最大值为54.所以函数的值域是-1，54.

求解三角函数的值域(最值)常见的类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．

1．函数y＝2sin xπ6≤x≤2π3的值域是(　　)
A．[1，2) B．(1，2)
C．(1，2] D．[1，2]
D　解析：对于函数y＝2sin xπ6≤x≤2π3，当x＝π6时，函数y取得最小值为1；
当x＝π2时，函数y取得最大值为2，故函数y的值域为[1，2].
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的最小值是_________．
－1　解析：设sin x－cos x＝t，
则t＝2sin x-π4，sin x cos x＝1-t22.
因为x∈[0，π]，所以x－π4∈-π4，3π4，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t＋1-t22＝－12(t－1)2＋1，当t＝－1时，ymin＝－1.

考点3　三角函数的单调性——应用性

考向1　求三角函数的单调区间
(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin x-π6单调递增的区间是(　　)
A．0，π2 B．π2，π
C．π，3π2 D．3π2，2π
A　解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为2kπ-π2，2kπ+π2(k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin x-π6，由2kπ－π2 解得2kπ－π3 取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为-π3，2π3，
则0，π2⊆-π3，2π3，π2，π⊈-π3，2π3，A选项满足条件，B不满足条件．
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为5π3，8π3，
π，3π2⊈-π3，2π3且π，3π2⊈5π3，8π3，3π2，2π⊈5π3，8π3，CD选项均不满足条件．
(2)函数y＝tanx的单调递减区间为_________．
kπ-π2，kπ，k∈Z　解析：画出函数y＝tanx的图象，如图．

观察图象可得，函数y＝tanx的单调递减区间为kπ-π2，kπ，k∈Z.

本例(1)函数解析式不变，求函数在[0，3π]上的单调递减区间．
解：令2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋5π3(k∈Z)．
当k＝0时，可得函数f(x)的一个单调递减区间为2π3，5π3，
当k＝1时，可得函数f(x)的一个单调递减区间为8π3，11π3，
所以函数在[0，3π]上的单调递减区间为2π3，5π3，8π3，3π.


已知三角函数解析式求单调区间的方法
(1)整体代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)图象法：画出三角函数的图象，根据图象观察单调区间．
考向2　已知三角函数的单调性求参数
(1)若函数f(x)＝a sin x＋cos x在π4，π2上单调递减，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－∞，0] B．(－∞，0)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
(2)已知ω>0，函数f(x)＝cos ωx-π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是_______．
12，54　解析：由π20，得ωπ2+π4<ωx＋π4<ωπ＋π4.
又y＝sin x的单调递减区间为2kπ+π2，2kπ+3π2，k∈Z，
所以ωπ2+π4≥π2+2kπ，ωπ+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z.
又由4k＋12-2k+54≤0，k∈Z且2k＋54>0，所以－58
已知三角函数的单调性求参数的2种方法
(1)求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(2)求导数，根据单调性分离参数求解．

1．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在0，5π3上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A．35，1 B．0，35
C．310，12 D．0，310
D　解析：因为函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在0，5π3上单调递增，所以ω×5π3≤π2，所以ω≤310.
2．函数f(x)＝sin -2x+π3的单调递减区间为_________．
kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z)　解析：由已知函数为y＝－sin 2x-π3，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin 2x-π3的单调递增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z)．

考点4　三角函数的周期性、奇偶性、对称性——应用性

考向1　三角函数的周期性和奇偶性
(1)(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin x3＋cos x3的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和2 B．3π和2
C．6π和2 D．6π和2
C　解析：f(x)＝2sin x3+π4，所以f(x)的最小正周期为T＝2π13＝6π，最大值为2.
(2)若函数f(x)＝sin x+π4+φ为奇函数，则φ的一个取值可能为(　　)
A．0 B．－π4
C．π2 D．π
B　解析：由题意知，π4＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－π4，k∈Z，当k＝0时，φ＝－π4.

(多选题)本例(2)条件改为：若函数f(x)＝sin x+π4+φ为偶函数，则φ的取值可能为(　　)
A．0　　 B．－3π4　　
C．π4　　 D．π
BC　解析：由题意知，π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝kπ＋π4，k∈Z.当k＝－1时，φ＝－3π4；当k＝0时，φ＝π4.


三角函数的周期性与奇偶性(其中A，ω≠0，k∈Z)

最小正周期
奇函数的充要条件
偶函数的充要条件
y＝A sin (ωx＋φ)
2πω
φ＝kπ
φ＝kπ＋π2
y＝A cos (ωx＋φ)
2πω
φ＝kπ＋π2
φ＝kπ
y＝A tan (ωx＋φ)
πω
φ＝kπ2

考向2　三角函数的对称性
(1)若函数y＝cos (2x＋φ)φ<π2图象的一个对称中心是π3，0，则φ＝(　　)
A．－π3 B．－π6
C．π6 D．π3
B　解析：由题意可知2×π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝－π6＋kπ，k∈Z.又|φ|<π2，所以φ＝－π6.
(2)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝π12对称
B．关于直线x＝5π12对称
C．关于点π12，0对称
D．关于点5π12，0对称
B　解析：由题意知2πω＝π，所以ω＝2；又由f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到y＝sin 2x-π3+φ＝sin2x+φ-2π3的图象，此时所得到的图象关于原点对称，所以－2π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝2π3＋kπ，k∈Z.又|φ|＜π2，所以2π3+kπ＜π2，所以k＝－1，φ＝－π3，所以f(x)＝sin 2x-π3.
当x＝π12时，2x－π3＝－π6，所以A、C错误．当x＝5π12时，2x－π3＝π2，所以B正确，D错误．

函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)或y＝A cos (ωx＋φ) (A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．

1．函数f(x)＝sin x+π4的图象的一条对称轴可以为(　　)
A．x＝－π2　 B．x＝0　 C．x＝π4　 D．x＝π2
C　解析：f(x)＝sin x+π4，
令x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝π4＋kπ，k∈Z，即对称轴为x＝π4＋kπ，k∈Z.当k＝0时，x＝π4.故选C.
2．(多选题)若函数f(x)＝tan ωx+π6(ω＞0)的图象相邻两支截直线y＝1所得线段长为π2，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间-π6，π6上单调递增
B．函数f(x)的最小正周期为π2
C．函数f(x)的图象关于点π4，0对称
D．函数f(x)的图象与直线x＝π6不相交
ABD　解析：因为函数f(x)＝tan ωx+π6(ω＞0)的图象相邻两支截直线y＝1所得线段长为πω＝π2，所以ω＝2，f(x)＝tan 2x+π6.
当x∈-π6，π6，2x＋π6∈-π6，π2，故f(x)单调递增，A正确．
函数f(x)的最小正周期为π2，B正确．
当x＝π4时，f(x)＝－3，C错误．
令x＝π6，可得f(x)的值不存在，故函数f(x)的图象与直线x＝π6不相交，D正确．
课时质量评价(二十三)
A组　全考点巩固练
1．函数y＝|sin x|的一个增区间是(　　)
A．-π4，π4 B．π4，3π4
C．π，3π2 D．3π2，2π
C　解析：由y＝|sin x|的图象知，该函数在π，3π2上单调递增．
2．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝12交点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　解析：由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，

可知其与直线y＝12有2个交点．
3．(多选题)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin -π8>sin -π10
B．cos 400°>cos (－50°)
C．sin 3>sin 2
D．sin 8π7>cos 7π8
BD　解析：y＝sin x在-π2，0上单调递增，又－π8<－π10，
所以sin -π8 cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos (－50°)，故B成立．
y＝sin x在π2，π上单调递减，
又π2<2<3<π，所以sin 2>sin 3，故C不成立．
sin 8π7＝－sin π7，
cos 7π8＝－cos π8＝－sin π2-π8＝－sin 3π8.
因为0<π7<3π8<π2，且y＝sin x在0，π2上单调递增．
所以sin π7cos 7π8，故D成立．
4．已知f(x)＝sin 2x+π3在区间[－a，a]上的最小值为－12，则a的值为(　　)
A．π6 B．π4
C．π3 D．π2
B　解析：结合f(x)＝sin 2x+π3的图象，
当sin 2x+π3＝－12时，
离坐标原点最近的x值为－π4.
因为区间[－a，a]关于原点对称，
所以a的值为π4.
5．(2022·威海三模)已知函数f(x)＝sin x cos (2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝(　　)
A．0 B．π4
C．π2 D．π
C　解析：因为f(x)的定义域为R，且为偶函数，所以f-π2＝fπ2⇒－cos (－π＋φ)＝cos (π＋φ)⇒cos φ＝－cos φ⇒cos φ＝0.
因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2.当φ＝π2时，f(x)＝－sin x sin 2x为偶函数，满足题意．
6．函数y＝1tanx-π4的定义域为__________．
xx≠kπ2 +π4，k∈Z　解析：要使函数有意义必须有tan x-π4≠0，则x-π4≠π2+kπ，k∈Z，x-π4≠kπ，k∈Z.
所以x－π4≠kπ2，k∈Z，所以x≠kπ2+π4，k∈Z，
所以原函数的定义域为xx≠kπ2 +π4，k∈Z．
7．已知奇函数f(x)＝cos (ωx＋απ)(ω＞0，0＜α＜1)的最小正周期为8π，则logωα的值是_________．
12　解析：因为f(x)＝cos (ωx＋απ)(ω＞0，0＜α＜1)的最小正周期为8π，所以ω＝2π8π＝14.
又函数f(x)＝cos (ωx＋απ)为奇函数，所以απ＝π2＋kπ，k∈Z，解得α＝12＋k，k∈Z.
又因为0＜α＜1，所以α＝12，故logωα＝log1412＝log141412＝12.
B组　新高考培优练
8．(2023·福州质检)下列函数中，周期为π，且在区间π2，π上单调递增的是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝tan 2x
C．y＝cos 2x D．y＝sin 2x
C　解析：对于A，y＝|sin x|的周期为π，在π2，π上单调递减，不符合要求；
对于B，y＝tan 2x的周期为π2，在π2，3π4和3π4，π上单调递增，不符合要求；
对于C，y＝cos 2x的周期为π，在π2，π上单调递增，符合要求；
对于D，y＝sin 2x的周期为π，在π2，π上不单调，不符合要求．
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象与函数g(x)＝cos 2x+π3的图象关于y轴对称，则符合条件的ω，φ的对应值可以为(　　)
A．1，π3 B．1，π6
C．2，π3 D．2，π6
D　解析：因为g(x)＝cos 2x+π3的图象与y＝cos -2x+π3的图象关于y轴对称，
所以f(x)＝sin (ωx＋φ)＝cos -2x+π3+2kπ，k∈Z，
即cos π2-ωx+φ＝cos -2x+π3+2kπ，k∈Z，
所以π2－ωx－φ＝－2x＋π3＋2kπ，k∈Z，即(2－ω)x－φ＝2kπ－π6，k∈Z，
所以ω＝2，φ＝π6－2kπ，k∈Z，故D符合条件．
10．函数f(x)＝sin |x|－|sin x|的值域是(　　)
A．[－2，0] B．(－2，0)
C．(0，2) D．[0，2]
A　解析：函数f(x)＝sin |x|－|sin x|的定义域为R，且f(－x)＝sin |－x|－|sin (－x)|＝sin |x|－|sin x|，
即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数；
当x≥0时，f(x)＝sin x－|sin x|＝0，x∈2kπ，2kπ+π， 2sinx，x∈2kπ+π，2kπ+2π，k∈N，
所以当x≥0时，－2≤f(x)≤0；又f(x)为定义域上的偶函数，所以函数f(x)的值域是[－2，0].
11．(多选题)若函数f(x)＝sin 2x-π3与g(x)＝cos x+π4都在区间(a，b)(0 A．π6 B．π3
C．π2 D．5π12
AB　解析：当x∈(0，π)时，2x－π3∈-π3，5π3，所以当2x－π3∈π2，3π2，即x∈5π12，11π12时，f(x)单调递减；当x∈(0，π)时，x＋π4∈π4，5π4，所以当x＋π4∈π4，π，即x∈0，3π4时，g(x)单调递减，因为5π12，11π12∩0，3π4＝5π12，3π4，所以5π12≤a 12．已知函数f(x)＝3cos x－sin x，且x∈[0，π]，则函数f(x)的单调减区间为_______________．
0，5π6　解析：f(x)＝3cos x－sin x＝2cos x+π6，
因为y＝cos x在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减，
所以2kπ≤x＋π6≤π＋2kπ(k∈Z)，即2kπ－π6≤x≤5π6＋2kπ(k∈Z)，
当k＝0时，－π6≤x≤5π6，又因为x∈[0，π]，所以x∈0，5π6；
当k＝1时，11π6≤x≤17π6，又因为x∈[0，π]，所以不合题意；
当k＝－1时，－13π6≤x≤－7π6，又因为x∈[0，π]，所以不合题意；
所以函数f(x)的单调减区间为0，5π6.
13．(2022·扬州模拟)已知①最小正周期是π，②图象关于点-5π12，0对称，③在-π6，π3上为减函数，请写出一个函数同时满足上述三个性质：________．
y＝cos 2x+π3(答案不唯一)　解析：设满足条件的函数为y＝cos (ωx＋φ)，因为最小正周期T＝2π2＝π，所以ω＝2，
令2x＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，则x＝kπ2+π4-φ2，k∈Z，
当k＝－1时，令x＝－5π12，此时φ＝π3；
令2x＋π3∈[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，则x∈-π6+kπ，π3+kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数y的单调递减区间为-π6，π3，均符合题意．
14．函数f(x)＝sin ωx+π6(ω＞0)在(0，π)内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围是_________．
13，73　解析：因为x∈(0，π)，所以ωx＋π6∈π6，ωπ+π6.
因为ω＞0，所以函数f(x)在(0，π)内有且仅有一个极大值点等价于函数y＝sin x在π6，ωπ+π6上有且仅有一个极大值点，
所以π2<ωπ＋π6≤5π2，解得13<ω≤73.