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2024届高考数学一轮复习第8章第1节直线方程学案
展开这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第1节直线方程学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第一节 直线方程
考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直．
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．
2．斜率公式
(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 k＝tan α．
(2)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率．
(3)如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的斜率k＝y2-y1x2-x1．
斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
斜率k存在
斜截式
y＝kx＋b
斜率k存在
两点式
y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
x1≠x2，y1≠y2，即不与坐标轴平行或重合的直线
截距式
xa+yb＝1
ab≠0，即不垂直于坐标轴，不过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有的直线都适用
(1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．
(2)“截距式”中截距不是距离，而是直线与坐标轴交点的相应坐标．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( × )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( × )
(3)不经过原点的直线都可以用xa+yb＝1表示． ( × )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． ( √ )
2．直线x－3y－1＝0的倾斜角α的大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
A 解析：直线x－3y－1＝0的斜率为k＝33，故tan α＝33.因为0°≤α<180°，所以α＝30°.故选A．
3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
A．－2 B．2
C．－12 D．12
D 解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以-2-33--2＝m-312--2，
解得m＝12.故选D．
5．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是________________．
3x＋y＋3＝0 解析：因为直线的倾斜角为120°，所以斜率k＝－3.又由题意知直线过点(－1，0)，所以直线方程为y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
考点1 直线的倾斜角和斜率——基础性
1．直线2x cos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是( )
A．π6，π3 B．π4，π3
C．π4，π2 D．π4，2π3
B 解析：直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
2．若ab<0，则过点P0，-1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
π2，π 解析：kPQ＝-1b-00-1a＝ab<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为π2，π.
3．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．
(－∞，－4]∪34，+∞ 解析：如图所示，kPA＝1+31-2＝－4，kPB＝1+21+3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.
1．注意倾斜角与斜率之间的函数关系：
k＝tan α，α∈0，π2∪π2，π，求倾斜角或斜率范围时，可结合图象解题．
2．当直线逆时针旋转倾向于与y轴重合或平行时，斜率越来越大，且趋近于＋∞；当直线顺时针旋转倾向于与y轴平行或重合时，斜率越来越小，且趋近于－∞.
考点2 求直线的方程——综合性
已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
求：(1)AC所在直线的方程；
(2)点B的坐标．
解：(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在直线的方程为2x＋y－11＝0.
(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为x0+52，y0+12.
联立得方程组x0-2y0-5=0， 2×x0+52-y0+12-5=0，
化简得x0-2y0-5=0，2x0-y0-1=0.解得x0=-1，y0=-3，
故B(－1，－3)．
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.
1．过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________________．
x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0 解析：由题意知，直线的斜率存在，
设倾斜角为α，
则sin α＝1010(α∈[0，π))，
从而cos α＝±31010，
则k＝tan α＝±13.
故所求直线的方程为y＝13(x＋4)或y＝－13(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
2．已知在△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.
解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点(图略)．
因为点B在中线y－1＝0上，
所以设点B的坐标为(xB，1)．
因为点D为AB的中点，点A的坐标为(1，3)，
所以点D的坐标为x+12，2.
因为点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
所以x+12－2×2＋1＝0，所以xB＝5，
所以点B的坐标为(5，1)．
因为点C在直线x－2y＋1＝0上，
所以设点C的坐标为(2t－1，t)．
所以AC的中点E的坐标为t，t+32.
因为点E在中线BE：y＝1上，
所以t+32＝1，
所以t＝－1.
所以点C的坐标为(－3，－1)，
所以△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
考点3 直线方程的应用——应用性
考向1 求与最值有关的直线方程
已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当在两坐标轴上截距之和取得最小值时直线l的方程．
解：设直线l的方程为xa+yb＝1(a＞0，b＞0)，则2a+1b＝1，
所以a＋b＝(a＋b)2a+1b＝3＋2ba+ab≥3＋22ba·ab＝3＋22.故a＋b的最小值为3＋22，此时2ba＝ab，求得b＝2＋1，a＝2＋2.此时，直线l的方程为x2+2+y2+1＝1，即x＋2y－2－2＝0.
本例中的条件不变，求当△AOB的面积最小时直线l的方程．
解：设直线l的方程为xa+yb＝1(a＞0，b＞0)，
则2a+1b＝1.
因为2a+1b≥22ab⇒14ab≥2，当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，△AOB的面积S＝12ab有最小值为4.此时，直线l的方程是x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0.
求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤
(1)设出直线方程，建立目标函数．
(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数．
(3)写出直线方程．
考向2 由直线方程求参数值或范围
已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围．
(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋3)，故无论k取何值，直线l必过定点(－3，1)．
(2)解：令x＝0，得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为3k＋1.
由题意知k＜0， 3k+1≤0，解得k≤－13.
故k的取值范围是-∞，-13.
由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项
(1)注意寻找等量关系或不等关系．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合不等关系求解．
(2)含参的二元一次方程表示过定点的直线，定点常作为隐含条件应用于解题过程中．
1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0
解：设直线l的方程为y＝kx＋b(k＜0)．
因为点P(1，4)在直线l上，有4＝k＋b，解得b＝4－k，
所以直线l的方程为y＝kx＋4－k.
所以Ak-4k，0，B(0，4－k)，
所以PA＝-4k，-4，PB＝(－1，－k)，
所以|PA|·|PB|＝PA·PBcos180°＝－4k+1k＝4-k+1-k≥8，
所以当k＝1k，即k＝－1时，|PA|·|PB|有最小值，最小值是8，
这时l的方程为x＋y－5＝0.
已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
[四字程序]
读
想
算
思
面积的最小值及直线l的方程
1．面积的表达式．
2．以谁为变量
用适当的变量表示面积S，并求最小值和直线方程
转化与化归
直线过定点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点
1．S＝12ah.
2．S＝12ab·sin C．
3．点的坐标作变量．
4．斜率作变量
1．S＝12ab≥12.
2．S≥1212＋2-9k·4-k＝12×(12＋12)＝12
1．均值
不等式．
2．三角函数的性质
思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值．
解：设直线方程为xa+yb＝1(a＞0，b＞0)．
将点P(3，2)代入得3a+2b＝1≥26ab，得ab≥24.
从而S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba＝－23.
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．
解：设直线方程为xa+yb＝1(a＞0，b＞0)，
将点P(3，2)的坐标代入得3a+2b＝1.
令3a＝sin2α，2b＝cos2α，
则a＝3sin2α，b＝2cos2α，
所以S△ABO＝12ab＝3sin2αcos2α＝12sin22α.
因为0
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合基本不等式求得最值．
解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A3-2k，0，B(0，2－3k)，
所以S△ABO＝12(2－3k)3-2k
＝1212+-9k+4-k
≥1212+2-9k·4-k
＝12×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝4-k，即k＝－23时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．
2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化构造函数，利用基本不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．
过点P(2，1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：
(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；
(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．
解：(1)设直线的方程为xa+yb＝1(a>b，b>0)，则2a+1b＝1，所以ab＝ab2a+1b＝2b＋a≥22ab，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA|·|OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A2-1k，0，B(0，1－2k)．
所以|PA||PB|＝1k2+14+4k2＝8+4k2+1k2≥4，当且仅当k2＝1k2，即k＝－1时取等号，
所以|PA||PB|的最小值为4时，直线的方程为x＋y－3＝0.
课时质量评价(四十三)
A组 全考点巩固练
1．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
B 解析：设P(x0，0)，Q(0，y0)，
因为M(1，－2)为线段PQ的中点，所以x0＝2，y0＝－4，
所以直线PQ的方程为x2+y-4＝1，即2x－y－4＝0.
2．下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．过点(0，2)的直线方程为y＝kx＋2
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
A 解析：A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故A正确；过点(0，2)的直线方程为y＝kx＋2或x＝0，故B错误；C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；D选项错误，还有一条在x轴和y轴上截距都为0的直线y＝x.
3．(多选题)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1，0)，B(3，1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0，1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为3π4
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
CD 解析：直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，－1)，选项A错误；当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为3π4，选项C正确；当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝1-03-1＝12，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．
4．(多选题)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y＋1＝0
CD 解析：当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa+y-a＝1，代入点A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0.故选CD．
5．若直线l：y＝kx－3与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．π2，3π4 B．π2，3π4
C．π3，3π4 D．π2，3π4
D 解析：联立方程组y=kx-3，x+y-3=0，解得x＝3+3k+1，y＝3k-3k+1.
因为两直线的交点位于第二象限，可得3+3k+1<0且3k-3k+1>0，解得k<－1.
设直线l的倾斜角为θ，其中θ∈[0，π)，即tan θ<－1，解得π2<θ<3π4，
即直线l的倾斜角的取值范围是π2，3π4.
6．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为_________．
x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0 解析：设所求直线l的方程为xa +yb＝1.
因为k＝16，即ba＝－16，所以a＝－6b.
又三角形面积S＝3＝12|a|·|b|，所以|ab|＝6.
则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6.
所以所求直线方程为x-6+y1＝1或x6+y-1＝1.
即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
7．在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，2)，B(4，0)，C(m，0)．
(1)求边AB的垂直平分线所在的直线l的方程；
(2)若△ABC的面积为5，求点C的坐标．
解：(1)因为A(0，2)，B(4，0)，
所以线段AB的中点M的坐标为(2，1)．
又因为kAB＝0-24-0＝－12，
设边AB的垂直平分线所在的直线l的斜率为k，
则kAB·k＝－1，
所以k＝2，
可得直线l的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
所以边AB的垂直平分线所在的直线l的方程为2x－y－3＝0.
(2)易知边AB所在的直线方程为x＋2y－4＝0，
AB＝0-42+2-02＝25.
设AB边上的高为d，即点C到直线AB的距离为d＝m-412+22＝m-45，
且S△ABC＝12AB·d＝5＝12·25·d＝5，
解得d＝5，
解得m＝9或m＝－1，
所以点C的坐标为(9，0)或(－1，0)．
B组 新高考培优练
8．(2023·南阳模拟)一束光线从A(1，0)点处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是( )
A．x－2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0
C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
B 解析：由题得点A(1，0)关于y轴的对称点A′(－1，0)在反射光线所在的直线上，再根据点B(0，2)也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为x-1+y2＝1，即2x－y＋2＝0.故选B．
9．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与A(－1，0)，B(1，0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是( )
A．-∞，-66∪66，+∞
B．[－6，6]
C．-∞，-66∪66，+∞
D．-22，22
C 解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx+1·yx-1＝3，即y2＝3x2－3.
联立x-my+3m=0，y2=3x2-3，
得1m2-3x2＋23mx＋6＝0(m≠0)，
则Δ＝23m2－241m2-3≥0，
即m2≥16，解得m≤－66或m≥66.
所以实数m的取值范围是-∞，-66∪66，+∞.
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(4，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．x－2y＋3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x－2y－3＝0
D．2x－y－3＝0
D 解析：因为线段AB的中点为M(2，1)，kAB＝－12，所以线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.因为AC＝BC，所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x－y－3＝0.故选D．
11．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是________．
②④ 解析：直线l1可化为y＝－ax－b，直线l2可化为y＝－bx－a，所以当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知②符合；当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项④符合；当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故填②④.
12．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
[－2，2] 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝－2x＋b分别过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．
所以b的取值范围是[－2，2].
13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
(1)证明：设直线l过定点(x0，y0)，
则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，
即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．
所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2，1)．
另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，
显然x＝－2，y＝1时对任意k，方程都成立，
故直线l过定点(－2，1)．
(2)解：直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)在x轴、y轴上的截距分别为－1+2kk和1＋2k.
又－1+2kk<0，且1＋2k>0，所以k>0，
所以S＝2k+122k＝124k+1k+4≥12×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝1k，即k＝12时，等号成立．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
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