2024届高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案，共18页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第三节　圆的方程
考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

一、教材概念·结论·性质重现
1．圆的定义及方程
定义
平面上到定点的距离等于定长
的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，
半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：-D2，-E2，
半径：12D2+E2-4F


(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
②圆心在任一弦的中垂线上．
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为-D2，-E2，半径r＝D2+E2-4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　√　)
(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆． (　×　)
(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是1，12. (　×　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0.
(　×　)
2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(－3，3)
C．(－2，2) D．-22，22
C　解析：因为原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－2＜m＜2.故选C．
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，3
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13
D　解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.故选D．
4．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B　解析：由x=1，x+y=2，得x=1，y=1，
即所求圆的圆心坐标为(1，1)．
又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选B．
5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4)　5　解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．


考点1　圆的方程——基础性

1．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0　　 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
B　解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2.又圆过(3，1)，故32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选B．
2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m的取值范围为(　　)
A．-17，1 B．-17，1
C．-17，1 D．-∞，-17∪[1，＋∞)
A　解析：根据题意，方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0，变形得[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1.
当且仅当－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0时方程表示圆，
解得－17＜m＜1，即m的取值范围为-17，1.故选A．
3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
x2＋y2＋2x＋4y－5＝0　解析：方法一：几何法
设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即2a+3-22+a+32
＝2a+3+22+a+52，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得2-a2+-3-b2=r2，-2-a2+-5-b2=r2，a-2b-3=0，
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：待定系数法
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为-D2，-E2.
由题意得-D2-2×-E2-3=0，4+9+2D-3E+F=0，4+25-2D-5E+F=0，
解得D＝2，E＝4，F＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

1．(1)若已知圆的切线，则圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)若已知圆上两点，则圆心在两点构成的弦的垂直平分线上．
2．用代数法求圆的方程，特别是已知圆上三个点时，可以设出圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．

考点2　与圆有关的轨迹问题——综合性

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝yx+1，kBC＝yx-3，
所以yx+1·yx-3＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0+32，y＝y0+02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

将本例的条件变为：点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为12，试求点M的轨迹方程．
解：设点M(x，y)，由题意得x2+y2x-32+y2＝12，
整理得x2＋y2＋2x－3＝0.


求与圆有关的轨迹方程的方法


1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
A　解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则x=x1+42，y=y1-22，即x1=2x-4，y1=2y+2，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A．
2．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为x2，y2，
线段MN的中点坐标为x0-32，y0+42.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以x2＝x0-32，y2＝y0+42，
整理得x0=x+3，y0=y-4.
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与点P的轨迹相交于两点-95，125和-215，285，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点-95，125和-215，285.

考点3　与圆有关的最值问题——应用性

考向1　斜率型、截距型、距离型最值问题
已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求n-3m+2的最大值和最小值．
解：(1)依题意，圆心C(2，7)，半径r＝22.
设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，
所以圆心C到该直线的距离d＝2+2×7-t12+22≤22，
解得16－210≤t≤16＋210.
所以m＋2n的最大值为16＋210.
(2)设点Q(－2，3)．
则直线MQ的斜率k＝n-3m+2.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得2k-7+2k+3k2+1≤22，
解得2－3≤k≤2＋3，
即2－3≤n-3m+2≤2＋3.所以n-3m+2的最大值为2＋3，最小值为2－3.

本例的条件不变，试求m2+n2的最大值．
解：易知(0，0)在圆外，所以m2+n2＝m-02+n-02，所以所求的最大值为圆上的点到原点距离的最大值．
因为圆心C(2，7)，半径r＝22，
所以圆上的点到原点距离的最大值d＝22+72＋22＝53＋22.


与圆有关的最值问题的3种几何转化法
(1)形如m＝y-bx-a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
考向2　利用对称性求最值
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．52－4 B．17－1
C．6－22 D．17
A　解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作圆心C1(2，3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.故选A．

求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

1．若x，y∈R，且x＝1-y2，则y+2x+1的取值范围是________．
34，3　解析：x＝1-y2⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示圆的一半，如图．设P(x，y)是此曲线上的点，则y+2x+1表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由k-2k2+1＝1，解得k＝34.又kBQ＝3，所以所求范围是34，3.

2．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为__________.
12　解析：由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，
所以PA·PB＝x2＋y2－4.
因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，
所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，
所以x2＝－(y－3)2＋1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
因为2≤y≤4，
所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
课时质量评价(四十五)
A组　全考点巩固练
1．(2023·烟台模拟)圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
A　解析：设圆的圆心为(a，0)，则a-22+0-12＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A．
2．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|PA+PB|的最大值为(　　)
A．26＋2 B．26＋4
C．226＋4 D．226＋2
C　解析：取AB的中点D(2，－3)，则PA+PB＝2PD，|PA+PB|＝|2PD|，|PD|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r.又d＝1+25＝26，所以d＋r＝26＋2.
所以|PA+PB|的最大值为226＋4.
3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)
A．30 B．18
C．62 D．52
C　解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2，2)，半径为32，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为2+2-142＋32＝82，最小距离为2+2-142－32＝22，故最大距离与最小距离的差为62.
4．(2023·菏泽模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－y－1＝0相切的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋y2＝4
A　解析：由题意可得圆心为点(0，1)，半径为r＝0-1-12＝2，所以要求的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选A．
5．已知圆x2＋y2＝4，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________________．
x2＋y2－x－y－1＝0　解析：设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝ON2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为____________．
(x－2)2＋(y＋2)2＝4　解析：设圆C2的圆心为C2(a，b)，圆C1∶(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C1(－1，1)，半径为2.因为圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，所以点C1与点C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有b-1a+1=-1， a-12-b+12-1=0，解得a=2，b=-2，则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
7．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则x+32+y2＝2x-32+y2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此式即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，半径为4的圆，如图所示．

由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM，
则|QM|＝CQ2-CM2＝CQ2-16.
易知当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
又|CQ|min＝5+32＝42，
所以此时|QM|的最小值为32-16＝4.
B组　新高考培优练
8．(多选题)(2023·辽宁模拟)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
A．x2＋(y－4)2＝20
B．(x－4)2＋ y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20
D．(x－2)2＋ y2＝20
AD　解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2. 所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．AB＝22+42＝25，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋ y2＝20. 故选AD．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知x1-22+y12＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A．55 B．15
C．1215 D．1155
B　解析：由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为2+41+4-5＝55，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为15.
10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝3x＋y的取值范围是(　　)
A．(－23，4) B．[－23，4]
C．[－4，4] D．[－4，23]
B　解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，

直线3x＋y－m＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为m.当直线3x＋y－m＝0过点(－2，0)时，m＝－23.设圆心(0，0)到直线3x＋y－m＝0的距离为d，则m≥-23，d≤2， 即m≥-23，-m2≤2. 解得m∈[－23，4].
11．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|＝2|PB|，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是(　　)
A．22 B．2
C．223 D．23
A　解析：设A(1，0)，B(－1，0)，P(x，y)，
则x-12+y2x+12+y2＝2，化简得(x＋3)2＋y2＝8，

当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB的面积有最大值，
所以△PAB面积的最大值是12×2×22＝22.
故选A．
12．(2022·厦门模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝π3，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则PB·PC的最小值为________．
5－27　解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

则A(0，0)，B(4，0)，C(1，3)，设P(x，y)，则PB＝(4－x，－y)，PC＝(1－x，3－y)，
所以PB·PC＝(4－x)(1－x)－y(3－y)＝x2－5x＋y2－3y＋4＝x-522＋y-322－3，其中x-522＋y-322表示圆A上的点P与点M52 ，32之间距离|PM|的平方．由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝522+322－1＝7－1，
所以(PB·PC)min＝(7－1)2－3＝5－27.
13．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，
所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，
故|MP|＝22+232＝4.
又|MP|＝0-2b2+4-b2＝5b2-8b+16，
所以5b2-8b+16＝4，解得b＝0或b＝85.
所以点P的坐标为(0，0)或165，85.
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标b，b+42为圆心的圆，
所以圆N的方程为
(x－b)2＋y-b+422＝4b2+b-424，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由2x+y-4=0， x2+y2-4y=0，
解得x=0，y=4，或x=85，y=45，
所以圆N过定点(0，4)和85，45.