2024届高考数学一轮复习第8章第7节抛物线学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第7节抛物线学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第七节　抛物线
考试要求：1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．了解抛物线的简单几何性质．

一、教材概念·结论·性质重现
1．抛物线的概念
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

当点F在直线l上时，与定点F和直线l距离相等的点的轨迹是过F与直线l垂直的直线．
2．抛物线标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
坐标
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
坐标
Fp2，0
F-p2，0
F0，p2
F0，-p2
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦半径
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝
x0＋p2
|PF|＝
－x0＋p2
|PF|＝
y0＋p2
|PF|＝
－y0＋p2
开口方向
向右
向左
向上
向下


(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．
(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程．
(3)由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．
(4)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．
3．重要结论
直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.此时AB称为抛物线的通径．
(3)1AF+1BF＝2p.
(4)弦长|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，|AF|＝p1-cosαF|＝p1+cosα，S△AOB＝p22sinα.
(5)以AB为直径的圆与准线相切，以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切．
(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
(7)A，O，D三点共线；B，O，C三点共线．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．
(　×　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4. (　×　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　×　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4. (　×　)
2．已知抛物线y2＝18x，则它的准线方程为(　　)
A．y＝－2 B．y＝2
C．x＝－132 D．x＝132
C　解析：因为抛物线y2＝18x，所以p＝116，p2＝132，它的准线方程为x＝－132.
3．点M到点F(－4，0) 的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝16x
B．y2＝－16x
C．y2＝24x
D．y2＝－24x
B　解析：因为点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离少2，
所以将直线l：x－6＝0左移2个单位，得到直线x－4＝0，即x＝4，
可得点M到直线x＝4的距离等于它到点(－4，0)的距离．
根据抛物线的定义，可得点M的轨迹是以点(－4，0)为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，可得p2＝4，得2p＝16，
所以抛物线的方程为y2＝－16x，即为点M的轨迹方程．故选B．
4．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A．－1716 B．－1516
C．716 D．1516
B　解析：由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－14y，则焦点坐标为F0，-116，准线方程为y＝116.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义可得－y0＋116＝1，解得y0＝－1516.故选B．
5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
6　解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6.


考点1　抛物线的标准方程——基础性

1．顶点在原点，经过点(－3，6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝123x或x2＝－12y
B．y2＝－123x或x2＝－12y
C．y2＝123x或x2＝12y
D．y2＝－123x或x2＝12y
D　解析：设抛物线方程为y2＝2mx，则62＝2m·(－3)，m＝－63，
方程为y2＝－123x，
或设方程为x2＝2ny，则(－3)2＝2n×6，n＝14，方程为x2＝12y.
所以抛物线方程为y2＝－123x或x2＝12y.故选D．
2．(2022·天心区校级模拟)M(4，t)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，若点M到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是(　　)
A．x＝－2 B．x＝－1
C．y＝－2 D．y＝－1
A　解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－p2，
其上一点M(4，t)到抛物线的焦点距离为6，则由抛物线的定义可得|4－-p2|＝6，
解得－p2＝－2，即抛物线的准线方程为x＝－2.故选A．
3．已知抛物线y2＝2px 的焦点与双曲线x24－y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为________；准线方程为________．
(2，0)　x＝－2　解析：由题可知：双曲线x24－y2＝1的右顶点坐标为(2，0)，
所以可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.

1．忽视定义的应用：分析动点满足的几何特征，如果符合抛物线的定义，可以确定p后直接写出方程．
2．设抛物线方程错误：混淆了抛物线的四种形式，未能正确设出抛物线的方程导致错误．

考点2　抛物线的定义及其应用——综合性

(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
D　解析：设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2，0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线．故选D．
(2)已知M是抛物线x2 ＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B　解析：设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1，2)．过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值．由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3.故选B．


将本例(2)的条件变为：点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x＋3的垂线，垂足分别为G，H，试求|PG|＋|PH|的最小值．
解：由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1，0)，由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|，所以|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|≥|FH|＝1-0+32＝22，当且仅当H，P，F三点共线时取等号，所以|PG|＋|PH|的最小值为22.



抛物线定义的应用技巧
(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
(2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．

1．已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
C　解析：A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9.因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有9＋p2＝12⇒p＝6.故选C．
2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF的周长取最小值时，线段PF的长为(　　)
A．1 B．134
C．5 D．214
B　解析：求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，此时P94，3，且|PF|＝94＋1＝134.故选B．


考点3　抛物线的几何性质——应用性

考向1　范围问题
已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点(点A在第一象限，点B在第四象限)，与x轴交于点M(m，0)．若线段AB的中点的横坐标为3，则m的取值范围是(　　)
A．(0，3] B．(－∞，3]
C．(0，6] D．(1，6]
A　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为x＝ty＋m(m＞0)．
联立x=ty+m，y2=4x， 消去x，得y2－4ty－4m＝0，Δ＝(－4t)2＋4×4m>0，所以y1＋y2＝4t.
所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2m＝4t2＋2m.
因为线段AB中点的横坐标为3，所以x1＋x2＝6，
故m＝3－2t2≤3.又m＞0，所以m的取值范围(0，3].故选A．
考向2　弦长问题
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4 B．92
C．5 D．6
B　解析：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).由y=kx-1，y2=4x 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4>0，得xA·xB＝1.①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1.②
由①②解得xA＝2，xB＝12，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝92.

1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．[0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
C　解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.
2．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与x轴交于C(2p，0).若|AB|＝17，则△OCF的面积为________．
32　解析：因为直线l过点F0，p2，C(2p，0)，
所以kFC＝0-p22p-0＝－14，
所以直线l的方程为y＝－14x＋p2.
联立直线l与抛物线方程y=-14x+p2，x2=2py， 可得x2＋p2x－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝p22＋4p2>0，
由根与系数的关系可得，x1＋x2＝－p2，x1·x2＝－p2，
由弦长公式可得|AB|＝1+-142|x1－x2|＝174x1+x22-4x1x2＝174p22+4p2＝17p8＝17，
所以p＝8，所以S△OCF＝12·OC·OF＝12·2p·p2＝32.
课时质量评价(四十九)
A组　全考点巩固练
1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a＝(　　)
A．1 B．12
C．2 D．14
D　解析：因为抛物线的标准方程为x2＝1ay，所以其焦点坐标为0，14a，则有14a＝1，a＝14.
2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为(　B　)

A．26 m B．46 m
C．42 m D．12 m
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(5，3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
B　解析：由题意知，焦点F为(1，0)，当|MA|＋|MF|的值最小时，△MAF的周长最小．设点M在抛物线的准线上的射影为D(图略)，根据抛物线的定义，可知|MD|＝|MF|，因此|MA|＋|MF|的最小值即|MA|＋|MD|的最小值．根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|＋|MD|最小，最小值为xA－(－1)＝5＋1＝6.又|FA|＝5-12+3-02＝5，所以△MAF周长的最小值为6＋5＝11.
4．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q，则线段FQ的垂直平分线(　　)
A．经过点O
B．经过点P
C．平行于直线OP
D．垂直于直线OP
B　解析：由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以FQ的垂直平分线必过点P.故选B．
5．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则(　　)
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
BCD　解析：如图，

由题意知|AB|＝2|FH|＝2p，
所以xA＝3p2，从而yA＝3p，又S△ABF＝12|AB|·yA＝3p2＝93，所以p＝3，
所以抛物线C的方程为y2＝6x，C正确，D正确；
所以|BF|＝|AF|＝3p2-p22+3p-02＝2p＝6，A错误；
又|AB|＝2p＝6，所以△ABF为等边三角形，所以B正确．故选BCD．
6．(2023·临沂模拟)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－2与抛物线交于点A，且|AF|＝52.写出抛物线的一个标准方程________．
y2＝2x或y2＝8x或y2＝－2x或y2＝－8x (写出一个即可)　解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－2)，由抛物线定义得52＝|AF|＝m+p2.又因为(－2)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±4，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±8x.
7．(2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝________．
163　解析：设过F(1，0)的直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与抛物线方程x=my+1，y2=4x， 可得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)＝16m2＋16>0.
由根与系数的关系，可得y1y2＝－4，则x1x2＝y124·y224＝1.
因为由抛物线的定义，可得|FA|＝x1＋1＝4，所以x1＝3，x2＝13，
所以|FB|＝x2＋1＝43，|AB|＝4＋43＝163.
8．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C2：x24-y212＝1的右顶点重合．
(1)求抛物线C1的标准方程；
(2)设过点(0，1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且FA·FB＝1，求直线l的方程．
解：(1)由题意可知，双曲线C2：x24-y212＝1的右顶点为(2，0)，则p2＝2，解得p＝4，
所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)．
当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，
联立方程y=kx+1，y2=8x， 可得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，
由Δ＞0，可得(2k－8)2－4k2＞0，解得k＜2，
所以x1＋x2＝－2k-8k2，x1x2＝1k2.
因为FA·FB＝1，所以FA·FB＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝1，
则x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5＝1，
即k2＋4k－5＝0，解得k＝1或k＝－5，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－5x＋1.
B组　新高考培优练
9．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若AF＝BF，则AB＝(　　)
A．2 B．22
C．3 D．32
B　解析：由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得A(1，2)，所以|AB|＝3-12+0-22＝22. 故选B．
10．已知直线l：y＝x－1与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得OM＝3ON(O为坐标原点)，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
B　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程y=x-1，y2=2px，整理得x2－2(1＋p)x＋1＝0，
Δ＝[－2(1＋p)]2－4>0，则x1＋x2＝2(1＋p)，可得y1＋y2＝x1＋x2－2＝2p.
由点N为AB的中点，所以N(1＋p，p)．
设M(x0，y0)，因为OM＝3ON，可得M(3＋3p，3p)，
又由点M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，可得(3p)2＝2p×3(1＋p)，
即p2－2p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14，且cos ∠FAA′＝35，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
C　解析：过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝3x，因为cos ∠FAA′＝35，故|AF|＝5x，则|FF′|＝4x.由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，则|A′F′|＝2x＝p，故x＝p2.四边形AA′PF的面积S＝PF+AA'·FF'2＝p+52p·2p2＝14，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.

12．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A．C的准线方程为y＝－1
B．线段PQ的长度最小为4
C．M的坐标可能为(3，2)
D．OP·OQ＝－3恒成立
BCD　解：由焦点F到准线的距离为2，得抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，A项错误．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1.联立y2=4x， x=my+1，消去y可得x2－(4m2＋2)x＋1＝0，Δ＝[－(4m2＋2)]2－4>0，消去x可得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)>0，所以x1＋x2＝4m2＋2，y1＋y2＝4m.|PQ|＝x1＋x2＋p＝4m2＋4≥4，故B项正确．当m＝1时，可得M(3，2)，所以C项正确．又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝－3，所以D项正确．
13．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________．
43　解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x0，y0)，则x0＝±233，代入x2＝4y中，得y0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝43.
14．(2023·青岛月考)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则|AF|＝________．
6　解析：如图所示，连接AN.因为A，F，M三点共线，所以AM为圆F的直径，所以AN⊥MN，点F到抛物线C的准线的距离为3，则易知|AN|＝6，由抛物线定义知|AF|＝|AN|＝6.

15．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1AF+1BF＝________．
2　1　解析：由p2＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，代入y2＝4x，得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以1AF+1BF＝12+12＝1.当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，1AF+1BF＝AF+BFAF·BF＝x1+x2+2x1+1x2+1＝x1+x2+2x1x2+x1+x2+1＝x1+x2+21+x1+x2+1＝1.综上，1AF+1BF＝1.
16．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

解：(1)设抛物线的方程为y2＝2px，
把P(1，2)代入得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2)因为直线PA和PB的倾斜角互补，
所以kPA＋kPB＝0，
所以y1-2x1-1+y2-2x2-1＝y1-2y124-1+y2-2y224-1＝0，
所以1y1+2+1y2+2＝0，
所以y1＋y2＝－4，
kAB＝y2-y1x2-x1＝y2-y1y224-y124＝4y2+y1＝－1.
17．已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－3)2＋y2＝4，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求△OAB的面积．
解：(1)因为抛物线C1：y2＝4x，
所以准线方程为x＝－1.
(2)设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与抛物线x=my+1，y2=4x， 得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)>0.
由根与系数的关系可得y1＋y2＝4m，
故x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
所以D(2m2＋1，2m)．
将点D坐标代入圆方程得(m2－1)2＋m2＝1，解得m＝±1(0舍去)．
根据抛物线的对称性，
不妨设m＝1，联立x=y+1，y2=4x，消去y得x2－6x＋1＝0，Δ＝(－6)2－4>0.
所以x1＋x2＝6，
所以|AB|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋2＝8，
坐标原点到直线x－y－1＝0的距离d＝12，
所以S△OAB＝12|AB|·d＝22.