2023年吉林省长春市榆树市八号镇第一中学三模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市榆树市八号镇第一中学三模数学试题（含解析），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省长春市榆树市八号镇第一中学三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值是（    ）
A． B． C． D．
2．下列运算一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（    ）

A． B． C． D．
4．不等式组的解集为（    ）
A． B． C． D．
5．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
6．方程的解为（    ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点．若，则的大小为（    ）．

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F、G、H，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．火星赤道半径约为米，用科学记数法表示为 米．
10．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 ．

12．如图，四边形的两边相切于两点，点上，若，则的度数为
  
13．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为．若，则图中阴影部分图形的面积为 ．（结果保留π）

14．在平面直角坐标系中，点、在抛物线上．当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图像的最高点的纵坐标为3，则的值为 ．

三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字．请用画树状图（或列表）的方法，求两次记录的数字之和为 3 的概率．
17．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树600棵所需时间与原计划植树450棵所需时间相同，求实际每天植树的棵数．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中将向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出；
(2)在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点F在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
19．民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
20．如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)若点是的中点，，，则的值为               ．
21．现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示．

(1)甲车停留前行驶时的速度是______，______；
(2)求甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式；
(3)求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
22．【学习心得】请你完成下列证明：如图①，和均为等边三角形，点D在边上，连接．求证：．

【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点D在边上．若，，则的长为______．

【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线与交于点O，在中，，点E、F分别在边、上，点P在线段上．若，则______．

23．如图，在中，，，点D为边的中点．点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿向终点B运动．以为边作正方形，点N在边上．设点P的运动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示线段的长．
(2)连接，则               度；当点D与点M的距离最短时，线段的长为                ．
(3)连接，当将正方形的面积分为两部分时，求t的值．
(4)作点C关于直线的对称点，当点、点M到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出t的值．
24．已知⊙O是的外接圆，为⊙O的直径，点N为的中点，连接并延长交⊙O于点E，连接交于点D．

(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，过点D作，交于点F，交⊙O于点G，连接若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．
25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．

(1)求a，b的值；
(2)如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．

参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数额绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”即可求解．
【详解】解：的绝对值是，
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质，求一个数的相反数的方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
3．A
【分析】根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，下面一层有2个正方形，上面一层右边有1个正方形，即看到的图形为，
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知从左边看到的图形是左视图是解答的关键．
4．C
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
5．A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
7．A
【分析】连接，根据切线的性质可得出，从而可证，进而得出．最后根据等边对等角即得出．
【详解】解：如图，连接．

由题意可知为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
8．C
【分析】根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点E、F的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出k的值．
【详解】解：∵矩形的对称轴与坐标轴重合，
∴，点O是矩形的对称中心，

∵反比例函数的图象也关于点O成中心对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵设，则，，
∵点E、F都在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长．
9．
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：把米用科学记数法表示为米；
故答案为．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
10．
【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．
11．（2，2）
【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性质求得OD和CD即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴OA=2，OB=1，
由旋转性质得：AB=BC，即点B是A、C的中点，
过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴OD=2，CD=2，
∴点C坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．

【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
12．/65度
【分析】连接，由与相切，可得，再由即可求解．
【详解】解：连接，如下图
  
与相切，
，



．
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】根据旋转的性质可得，再由，利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得：，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查不规则阴影部分面积的求法及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14．
【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即可．
【详解】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，，不符合题意；
当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图像的最高点的纵坐标不可能为3，不符合题意；
当时，随增大而增大，
∴当时，函数值，
即，
解得，
∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键．
15．，21
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．
【分析】根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
【详解】解：根据题意，作树状图如下：

由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以，两次记录的数字之和为3的概率为．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．
17．200棵
【分析】设实际每天植树棵，根据题意可列方程，然后计算即可．
【详解】解：设实际每天植树棵．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：实际每天植树200棵．
【点睛】本题主要考查分式的应用，解题的关键是理解题意．
18．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据平移性质即可得出答案．
（2）先把绕点E逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，然后取的中点F，然后用勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可，
如图，为所作，

（2）先把绕点E逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，然后取的中点F，则满足条件，
如图，为所作，

∴．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，作图时找到图形的关键点是解题关键．
19．(1)80
(2)作图见解析
(3)480

【分析】（1）利用操舞类的人数以及操舞类学生所占调查人数的比例，可求出抽取的总人数．
（2）根据总人数以及其他类学生的人数可计算出武术类学生人数，进而将统计图补充完整即可．
（3）利用样本估计总体，先算出样本中喜欢球类学生所占的比例，再乘以总人数即可．
【详解】（1）解：（名）
∴在这次调查中，一共抽取了80名学生．
（2）解：（名）
补全统计图如图

（3）解：（名）
∴估计该中学最喜欢球类的学生共有480名．
【点睛】本题主要考查了条形统计图以及用样本估计总体，能够利用统计图获取重要信息是解决问题的关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由垂直平分，得出，可得出，由此可知，根据菱形的判定即可求证．
（2）由四边形是菱形，，可知，根据勾股定理求出，点是的中点，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，

又，，
，
，
，
∵点是的中点，
，
，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质是解此题的关键．
21．(1)80，
(2)（）
(3)甲车比乙车早44分钟到达旅游景点

【分析】（1）根据函数图象可知当时，，根据路程除以时间得出甲车的速度；根据路程除以乙的速度，得出的值；
（2）待定系数法求即可求解；
（3）根据题意当时，代入（2）的解析式得出甲的用时，根据路程除以时间得出乙所用的时间，求其差即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象可得当时，，
∴甲车停留前行驶时的速度是，
∵乙车的速度为
解得：，
故答案为：80，．
（2）设，把代入，

解得
所以（）
（3）当时，
甲用的时间：
乙用的时间：，
，即44分钟．
答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
22．学习心得：见解析
类比探究：
拓展延伸：
【分析】学习心得：证明即可得出；
类比探究：连接，由得出，，然后在中用勾股定理即可求出的长；
拓展延伸：过点P作交于点M，证明即可得出结论．
【详解】学习心得：
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
类比探究：
如图②，连接，

∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴,
故答案为．
拓展延伸：
如图③，过点P作交于点M，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案是．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)当时，；当时，；
(2)45；1；
(3)或；
(4)或或．

【分析】（1）分两种情况：时和时，分别写出的表达式即可．
（2）连接，，由正方形的性质可得的度数，根据勾股定理，将用含有t的代数式表示出来，即可求出最小时t的值．
（3）分两种情况：时和时．将直线两旁的部分分别用含有t的代数式表示出来，再根据这两部分的面积比为，即可求出t的值．
（4）分三种情况：
①当，且点、点M到直线距离相等，由折叠的性质和等腰直角三角形的性质可得，将用含有t的代数式表示出来，即可求出t的值．
②当，点、点M到直线AC距离相等，可证四边形是平行四边形．由折叠的性质和平行四边形的性质可得，将用含有t的代数式表示出来，即可求出t的值．
③当，点、点M到直线距离相等，由折叠的性质和等腰直角三角形的性质可得，将用含有t的代数式表示出来，即可求出t的值．
【详解】（1）由题可得：当时，；
当时，．
（2）如图：连接，，
∵四边形是正方形，
，
在中，，，
，
∴当，即时，有最小值．

故答案为：45；1；
（3）①如图：当时，，，
    
，，
，
即，
，    
，

即，即，
解得，．
②如图： 当时，，，，

，，
，
解得，．
综上，t的值为或．
（4）①如图：当时，，点、点M到直线距离相等，即点、点M、点N在同一条直线上，

∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，即，
∵作点C关于直线的对称点，
，
，，
，
，

解得，．    
②如图：当时，，点、点M到直线AC距离相等，即点、点M、点P在同一条直线上，

∵作点C关于直线的对称点，
，
，
∵四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
，
'，，即 ，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
解得，．    
③当时，，点、点M到直线距离相等，即点、点M、点N在同一条直线上，

∵四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
∵作点C关于直线的对称点，
，
，
，
，
解得,．    
综上，当点、点M到的某一条直角边所在直线距离相等时，t的值为或或．
【点睛】本题是一道压轴题．主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度较大．解题的关键是要正确的作出图形，并且正确的进行分类讨论．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）利用“在同圆中，等弧所对的圆周角相等”即可求证；
（2）先利用全等三角形证，再证，即可求证；
（3）根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，过点O作，交⊙O于点P，连接交于Q，


∴，
∵点N为的中点，

∴
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴
∴，
中，，

（2）证明：在和中：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点G作于K，延长交于点H，

由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
由（2）知：，
在和中：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，


∴
由勾股定理得：，
∴
解得： （舍）

【点睛】本题考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．利用相关条件进行严密的几何推理是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）将，代入抛物线中，进行计算即可得；
（2）由（1）得，根据轴得，，根据点P的纵坐标为t，得，即可得；
（3）过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，根据二次函数的性质得，则，根据轴，轴得，根据点G为的中点得，根据AAS得，得，，再运用待定系数法求得直线OA的解析式为，得出，可得，再由得出，，再运用待定系数法求得直线BP的解析式为，进而推出，证得，进而得出，由得，用AAS可证明，求得，设直线RN的解析式为：，再运用待定系数法即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，点D的横坐标为
∴点D纵坐标为
∴，
∵轴
∴，
∵点P的纵坐标为t，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，

∵，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
设直线OA的解析式为：，将点代入得，
，
解得，，
∴直线OA的解析式：，
当x=2时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线BP的解析式为，则
，
解得，，
∴直线BP的解析式为：，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴CK=CN，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
∴，
∴，
设直线RN的解析式为：，将点，代入解析式中得，
，
解得，，
∴直线RN的解析式为：．
【点睛】本题考查了二次函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定于性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，能够添加辅助线构造相似三角形或全等三角形．