人教版七年级数学上册同步精品讲义 专题1.5 有理数的乘方讲练（2份打包，原卷版+教师版）

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专题1.5 有理数的乘方

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1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
4.科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。
5.近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
考点精讲

考点1：乘方的定义及计算
典例： （1）（2022·全国·七年级）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __．
【答案】
【解析】
【分析】
根据乘方的定义运算即可．
【详解】
解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，
故答案为：（﹣2）4.
方法或规律点拨
本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作an，这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂．
（2）（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）下列各组数中，数值相等的是（       ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【解析】
【分析】
各选项计算出两数的结果，即可做出判断．
【详解】
A.，数值不相等，故A错误；
B.，，数值相等，故B正确；
C.，，数值不相等，故C错误；
D.，，数值相等，故D错误．
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）下列计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则计算判断即可．
【详解】
∵，
∴符合题意；
∵，
∴不符合题意；
∵，
∴不符合题意；
∵，
∴不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了幂的综合计算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
2．（2022·黑龙江绥化·期末）的倒数等于（       ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据乘方法则和倒数的性质化简计算即可．
【详解】
解：∵，
∴的倒数为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了乘方，倒数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（2022·四川成都·二模）计算的结果等于（       ）
A．10 B． C．50 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算乘方，再算乘法，得到答案．
【详解】
解：原式=（－2）×25=－50，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法与乘方的运算，熟练掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
4．（2022·河北邯郸·三模）计算：（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法和乘方运算求解即可．
【详解】
解：
=2m+3n．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，数学常识，注意分辩．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）有理数，，，，0，，中正数的个数有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方法则、绝对值的性质计算，判断即可．
【详解】
解：，，，，0既不是正数，也不是负数，，，
所以正数的个数有2个
故选：B．
【点睛】
本题考查的是有理数的概念、有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则、有理数的概念是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级）a，b互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（       ）
A．a2与b2 B．a3与b5 C．a2n与b2n（n为正整数） D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【答案】D
【解析】
【分析】
由a，b互为相反数，则，再根据乘方的含义逐一进行判断即可．
【详解】
解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A不符合题意；
B、a，b互为相反数，则a3＝−b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B不符合题意；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C不符合题意；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相反数的含义，乘方的含义，理解相反数的含义及乘方运算的符号确定是解本题的关键．
7．（2022·上海·位育中学期中）的底数是 ____________ ．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据幂的定义解答即可：在中，a叫底数，n叫做指数；
【详解】
解：的底数是6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了与两者的区别：的底数是-a，表示n个-a相乘的积；底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．
考点2：非负数的和为零
典例：（2022·河北邢台·一模）若（a-1）2+|b-a+3|=0，则a=_____，b=_____．
【答案】     1     -2
【解析】
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负数的性质列方程即可求出a、b的值．
【详解】
解：∵（a-1）2+|b-a+3|=0，而（a-1）2≥0，|b-a+3|≥0，
∴a-1=0，b-a+3=0，
解得a=1，b=-2，
故答案为：1，-2．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答此题关键．
巩固练习
1．（2022·湖南长沙·七年级期末）已知，则的值为（       ）．
A．15 B． C． D．125
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性，可求x，y，代入求解即可．
【详解】
解：根据题意得，，，
∴，，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了非负数，解题的关键是熟练掌握三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由非负数的性质可得且 再求解a，b的值，代入计算即可得到答案．
【详解】
解：
且
解得：，

故答案为：．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，乘方的含义，求解是解本题的关键．
3．（2022·广西崇左·七年级期末）若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据非负数的性质分别求出、，根据有理数的乘方法则计算，得到答案．
【详解】
，且
，，即，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键．
4．（2022·上海市闵行区颛桥中学期中）已(m- 4)2 + = 0 知，则nm 的值是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质：若两个非负数的和是0，则这两个数一定都是0，据此求得m和n，进而即可计算求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
【点睛】
本题考查非负数的性质：若两个非负数的和是0，则这两个数一定都是0，解题的关键是运用非负数的性质求得m和n的值．
考点3：含有乘方的四则混合运算
典例： （1）（2022·陕西渭南·七年级期末）计算：．
【答案】-12
【解析】
【分析】
先计算乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案．
【详解】
解：


=-12．
【点睛】
本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键．
（2）（2022·江西赣州·七年级期末）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据求绝对值、含乘方的有理数混合运算法则计算即可；
【详解】
解：原式

方法或规律点拨
此题考查了有理数的混合运算，绝对值、解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)-9
(2)-22
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
(1)解：原式




(2)解：原式



【点睛】
本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)-3
(2)-13
(3)15
【解析】
【分析】
根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序，先计算括号内的，然后按照先乘方，后乘除，再加减的顺序进行计算即可求解．
(1)解：原式＝


(2)解：原式＝


(3)解：原式＝


【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)-7
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
(1)原式=

．
(2)原式

．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
(1)（﹣2）☆4；
(2)（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【答案】(1)4；
(2)﹣27；
【解析】
【分析】
（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，代入数字求值即可；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，先计算中括号里，再计算中括号外即可；
(1)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
(2)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27；
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键．
考点4：科学计数法
典例：（1）（2022·河北沧州·七年级期末）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务．将400000用科学记数法表示应为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：400000=，
故选：C．
方法或规律点拨
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（       ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】C
【解析】
【分析】
将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可．
【详解】
x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．
故选C．
方法或规律点拨
本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．
巩固练习
1．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）2021年5月11日，我国第七次人口普查结果发布．宁夏回族自治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．7.2×106 B．7.2×105 C．0.72×107 D．0.72×106
【答案】A
【解析】
【分析】
根据科学记数法的形式a×10n(1≤a＜10)，确定a和n的值即可．
【详解】
解：由题意可知：720万＝7200000＝7.2×106．
故选：A．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法，熟记科学记数法的形式：a×10n(1≤a＜10)，确定a和n的值即可．
2．（2022·浙江绍兴·二模）据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海．其中38000用科学记数法表示为（　　）
A．3.8×103 B．3.8×104 C．0.38×105 D．0.38×106
【答案】B
【解析】
【分析】
根据科学记数法进行改写即可．
【详解】
38000=3.8×104，
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学记数法，即把一个数表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a的值是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·二模）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|