第九章特殊四边形中最值问题课件

这是一份第九章特殊四边形中最值问题课件，共18页。

特殊四边形中最值问题将军饮马模型古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，∴PB＝　 　，P′B＝　 　，∴AP+PB＝AP+PB′＝　 　．在△AP′B′中，∵AB′＜AP′+P′B′，∴AP+PB＜AP+P′B′，即AP+BP最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】（1）如图④，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B与D关于直线AC对称，连接DE交AC于点F，则EF+FB的最小值就是线段ED的长度，则EF+FB的最小值是　 　．（2）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为　 　cm．把图⑤的半个侧面展开为矩形EFGH，如图⑤﹣1所示： （3）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为　 　．∵在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝2，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝AD＝2，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线l上，∴作点D关于定直线l的对称点E，连接CE交定直线l于A′，如图⑥所示： 【点评】本题是四边形综合题目，考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，圆柱的侧面展开图，等腰三角形的判定与性质，平移的性质等知识；本题综合性强，正确作出图形是解题的关键．斜大于直模型 1、如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，求对角线PQ的长度的最小值.【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．2、如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，求OP的最小值 3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，求EF的最小值 4、如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．求EF的最大值与最小值的差. 注意总结反思课后作业：练习纸