高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用精品课时练习

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专题03 平面向量的应用



知识点一
平面几何中的向量方法

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
【点拨】(1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使成立，且AB与CD无公共点．
(2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使．
(3)要求一个角，如∠ABC，只要求向量的夹角即可．
知识点二
向量在物理中的应用

(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度．


知识点三
余弦定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
余弦定理：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
推论：，，
【点拨】
余弦定理和勾股定理：
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
a2＋b2 a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角_；
a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角
知识点四
正弦定理

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有
(为的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：
①，，；
②，，；
③；
3、三角形面积公式：．
【点拨】
已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：

(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：

知识点五
测距、测角中的常用术语

1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．
2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述．
3.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示．

4.视角
观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角．
5.坡角、坡比
(1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α．

(2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的．





考点01 向量在平面几何中的应用
【典例1】（2023·高一课时练习）已知，，，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形．若是，请指出哪个角是直角．
【典例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．

【总结提升】
1.应用数形结合思想，借助平面直角坐标系将平面几何问题转化为向量（代数）问题解决，是解决平面几何问题的一种重要方法．
2.建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上．
考点02 向量在物理中的应用
【典例3】（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
【总结提升】
1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．
2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．
考点03 已知三角形的三条边，解三角形
【典例4】（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则（    ）
A． B． C． D．
【典例5】（2023·高一课时练习）若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最大内角为（    ）．
A． B． C． D．
【总结提升】
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．
考点04 已知三角形的两边及夹角，解三角形
【典例6】（2021·浙江·统考高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【典例7】（2023·高一课时练习）的三个内角所对边的长分别为，已知，，，则的值为______．
【总结提升】
当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；
考点05 已知两角和一边，解三角形
【典例8】（2023·高一课时练习）在中，a，b，c分别是角A、B，C的对边，，．若，求．
【典例9】在△ABC中，A＝60°，sinB＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
【总结提升】
已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
②求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
考点06 已知两边和其中一边的对角，解三角形
【典例10】（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（    ）
A．1 B． C． D．3
【典例11】已知在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，求△ABC中其他边与角的大小．
【总结提升】
1.应用余弦定理；
2.利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度
考点07 求三角形的面积
【典例12】（2023·高一课时练习）在中，，，，则的面积等于______．
【典例13】（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）记的内角的对边分别为，且.
(1)求;
(2)为的中点，若，求的面积.
考点08 判断三角形的形状
【典例14】（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，若，且，则为（    ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【典例15】（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．
【总结提升】
1.判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．
2.特别提醒：
(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论；
(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝．
考点09 余弦定理、正弦定理的综合应用
【典例16】（2022秋·广东广州·高三校联考期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)在边上，且，求的最大值.
【典例17】（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）中，内角的对边分别为，已知，.
(1)求外接圆的直径；
(2)若，求的周长.
考点10 实际应用问题
【典例18】（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（    ）

A． B． C． D．
【典例19】（2023·高一课时练习）如图所示，一辆汽车从点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能赶上那辆汽车，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？

【典例20】（2023·高一课时练习）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离．

【总结提升】
1.当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解；
2.当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、∠ACB和AC，用正弦定理解决．
3.当两点A、B都不可到达时，选取对A、B可视的点C、D测出∠BCA、∠BDA、∠ACD、∠DBC和CD，用正弦定理和余弦定理求解．
4.对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解答．常见方法有：(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A、B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A、B与顶部P，底部D构成三角形，通过测量仰角及∠ADB，AB求解．
5.航海追及问题，要注意正确画图，多利用航行时间相同，建立方程.

1．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

2.（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．


一、单选题
1．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）锐角的外接圆半径为1，边，，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一单元测试）一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（    ）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
3.（2021春·吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（    ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）在中，若，则的面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则为（    ）
A．60° B．150° C．120° D．30°
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则______．
8．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为______.
四、解答题
9．（2023·高一课时练习）已知岛南偏西38°方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？（参考数据）

10．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）的内角所对的边分别为.向量与平行.
(1)求A；
(2)若，求的面积.
11．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长.
12．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.