专题07 空间直线、平面的平行-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

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专题07 空间直线、平面的平行



知识点一
直线与平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
2.特别提醒：应用“判定定理”时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须同时具备，缺一不可.
知识点二
面面平行的判定与性质

面面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
知识点三
常用结论

1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
知识点四
判断或证明线面平行的常用方法

1．利用线面平行的定义，一般用反证法；
2．利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
3．利用面面平行的性质定理
（1）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
（2）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．



考点01 与线、面平行相关命题的判定
【典例1】（2023春·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ）
①，；
②，；
③，；
④，； 
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【典例2】（2023春·全国·高一专题练习），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【典例3】【多选题】（2022春·安徽安庆·高一校考期中）下列命题中，正确的是（    ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
【总结提升】
直线、平面间平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
考点02 直线与平面平行的判定与证明
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：

(1)四边形是平行四边形；
(2)平面．
【典例5】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面

【规律方法】
1.证明线面平行的常用方法与思路
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
2.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．
考点03 直线与平面平行的性质及应用
【典例6】（2022春·安徽安庆·高一校考期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________.

【典例7】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

【总结提升】
1.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
考点04 面面平行的判定与证明
【典例8】（2023·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1、D1A1的中点.

(1)求证：MN//QS；
(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；
(3)求证：平面ACD1//平面α.
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．

(1)求证：E、F、B、D共面；
(2)求证：平面平面．
【总结提升】
1.证明两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)；
④借助“传递性”来完成(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．
考点05 平面与平面平行的性质及应用
【典例10】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，AB=4，，G为AB的中点，E，F分别在线段，AC上，且，求证：平面.

【典例11】（2023春·全国·高一专题练习）在三棱柱中，

(1)若 分别是的中点，求证：平面平面.
(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．
【总结提升】
1.面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
考点06 平行关系的综合应用
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）如图：在正方体中，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【典例13】（2023·全国·高一专题练习）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．

(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面；
(3)设平面与底面的交线为l，求证：．
【典例14】（2022春·河南·高一校联考期中）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，分别为正方形和正方形的中心，连接，.

(1)证明：平面平面；
(2)问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，写出点的位置并给出证明；若不存在，请说明理由.
【规律方法】
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
【易错提醒】
1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
3.解题中注意符号语言的规范应用.

1．（2021·山东·高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
2.（2019·全国高考真题（理））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
3. （2015·北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

一、单选题
1．（2023春·全国·高一专题练习）已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，，则
2．（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（    ）
A．平面内任意一条直线都不与平行
B．平面和平面的交线不与平面平行
C．平面内存在无数条直线与平面平行
D．平面和平面的交线不与平面平行
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）

A． B． C． D．1
4．（2021秋·广西河池·高一校考期中）已知三条不同直线，三个不同平面，有下列命题：①若，，则；②若，，则；③，，则；④若为异面直线，，，，，则.其中正确的命题个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
5.（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）已知，是两个平面，则下列条件可以得到的是（    ）
A．平面内的任何一条直线，都有
B．平面内有无数条直线与平面平行
C．平面内任意一条直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
D．平面内有两条相交直线都在平面外
6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ）

A． B．
C．平面 D．平面
三、填空题
7.（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，过三点的平面与底面的交线为，则直线与的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）
8.（2023春·全国·高一专题练习）如图，E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AC＝6，BD＝4，则当＝_____时，四边形EFGH为菱形．

9.（2023·全国·高一专题练习）如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.

四、解答题
10．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在正四面体中，，，，分别是，，的中点，取，的中点，，点为平面内一点

(1)求证：平面平面
(2)若平面，求线段的最小值，
11.（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
12．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.