专题09 空间角、距离的计算-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题09 空间角、距离的计算知识点一直线与平面所成的角1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°].知识点二二面角1.有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．2.平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角.3.范围：[0，π]4.记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q5.度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角知识点三点到平面的距离定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.知识点四直线与平面间的距离定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离.知识点五平行平面间的距离与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 考点01 直线与平面所成角（函数值）的计算【典例1】（2023·全国·高一专题练习）正方体中，直线与平面所成角大小为______．【答案】30°##【分析】由线面角的定义及线面垂直的判定找到线面角的平面角，进而求其大小.【详解】如下图，由正方体性质知：，且，即，又面，面，故，由，面，故面，所以为直线与平面所成角的平面角，显然，又，故.故答案为：【典例2】（2023·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．【答案】【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果.【详解】长方体中，因为，，所以，，，因为底面，平面，所以，所以与平面所成的角为，，由条件可得，解得，因此，因为，所以，与平面所成的角为，故答案为：【典例3】（2023·高一课时练习）在长方体中，，，是中点，求：(1)与平面所成的角；(2)与平面所成的角．【答案】(1)(2)【分析】(1)连接，根据平面，可得即为直线与平面所成的角的平面角，解三角形即可；(2)连接，根据平面，可得即为直线与平面所成的角的平面角，解三角形即可.【详解】（1）如图，连接，因为平面，所以为在平面上的射影，故即为直线与平面所成的角的平面角，又平面，所以，在中，，所以，得，即直线与平面所成的角的大小是；（2）连接，因为平面，所以为在平面上的射影，所以即为直线与平面所成的角的平面角，又面，所以，因为，所以在中，，得，即直线与平面所成的角的大小是.【总结提升】求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．考点02 二面角（函数值）的大小【典例4】（2023·全国·高一专题练习）点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为______．【答案】或【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理分类讨论进行求解即可.【详解】当二面角为钝角时，如下图所示：设，连接，因为，所以，而平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角的补角，在直角三角形中，，所以二面角的大小为，同理当二面角为锐角时，二面角的大小为，故答案为：或【典例5】（2023·高一课时练习）若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成角的大小是______.【答案】【分析】如图所示，为对角线的交点，为的中点，说明，则即为侧面与底面所成角的平面角，解即可得解.【详解】解：正四棱锥的四个侧面与底面所成角相等，如图所示，为对角线的交点，为的中点，则底面，，则，则即为侧面与底面所成角的平面角，设棱锥的棱长为，则，在中，，所以，即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小是.故答案为：.【典例6】（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为．(1)二面角的大小；(2)直线与平面所成的角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）作于E，连接ED，由已知推导出就是二面角的平面角，由此根据余弦定理得出，即可得出答案；（2）还原棱锥为正方体，作于F，连接，即可推导出就是直线与平面所成的角，即可求出答案.【详解】（1）ABCD是正方形，，就是异面直线PB与CD所成的角，即，平面ABCD，平面ABCD，，，作于E，连接ED，在与中，，，，，，就是二面角的平面角，设，则，，则，则，即，二面角的大小为；（2）还原棱锥为正方体，作于F，平面平面，，平面，连接，则就是直线与平面所成的角，，，，即，直线与平面所成的角为.【规律方法】1.求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．考点03 点到平面距离的计算【典例7】（2023·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.(1)证明：平面；(2)求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【详解】（1）连接交于点，连接，则有为的中点，M为的中点，所以，且平面，平面，所以平面.（2）连接,因为，所以,又因为平面，平面，所以，,所以平面,又因为平面,所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,,设点A到平面的距离为，因为,所以,所以.【典例8】（2023春·全国·高一专题练习）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.(1)求直线与平面所成角正弦值；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）由线面垂直判定可知平面，由线面角定义知所求角为，由长度关系可得结果；（2）过作，由面面垂直的判定与性质可知即为所求距离，利用面积桥可求得结果.【详解】（1）平面，平面，，；是圆的直径，，又，平面，平面，即为直线与平面所成角，，，，又，，即直线与平面所成角的正弦值为.（2）过作，垂足为，由（1）得：平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，，平面，，，根据等面积法知：，，即到平面的距离等于.【典例9】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，，结合线面垂直的判定即可证；（2）点O到平面PAC距离，即为三棱锥面PAC的高，计算出与即可.【详解】（1）证明：因为为的中点，所以.连接，因为，所以.又，所以，所以.因为平面平面，所以平面.（2）因为，所以，.，.设点到的距离为，则，则.设点到平面的距离为，则.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.【总结提升】1.利用垂直关系，构造直角三角形；2．利用“等积法”．考点04 直线与平面间距离的计算【典例10】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）如图，在长方体中，.(1)求直线与平面的距离；(2)求四棱锥的体积；【答案】(1)(2)【分析】（1）先证得平面，然后利用等面积法求得直线与平面的距离.（2）根据锥体体积公式求得正确答案.【详解】（1）由于平面平面，所以平面.过作，垂足为，根据长方体的性质可知，由于平面，所以平面，在直角三角形中，，，解得，所以直线与平面的距离为.（2）由（1）知，四棱锥的高为，所以.【典例11】（2023·高一课时练习）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离．【答案】【分析】根据已知得出，即可得出平面，即可求出点到平面的距离，根据平面，得出到平面的距离即A到平面的距离，即可得出答案.【详解】连接BD、AC，为正方体，四边形ABCD为正方形，，，，平面，到平面的距离为，平面，到平面的距离即A到平面的距离，棱和平面的距离为.【典例12】（2023春·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)【分析】（1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论；（2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长；（3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知.【详解】（1）连接，，，四边形为平行四边形，；分别为中点，，，平面，平面，平面.（2）取中点为，，，，，又，，，又，，则，，平面，平面，此时，则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.（3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离，由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为，又，直线到平面的距离为.【总结提升】利用图形特征，找出或作出表示距离的线段；转化成点到平面的距离问题．考点05 平行平面间距离的计算【典例13】（2022·高一课时练习）两平行平面，之间的距离为，直线与平面，分别交于A，两点，点，若，则点P到平面的距离为_________．【答案】或【分析】作图，利用三角形的相似比可得.【详解】设点P到平面的距离为，到平面的距离为．当P在平面，之间时，；当P在平面，同侧时，∵，∴，，∴，．∴点P到平面的距离为或．故答案为：12cm或36cm【典例14】（2023春·全国·高一专题练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面．（2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果．【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）解：由题意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，，即平面与之间的距离为．1．（2022·全国甲（文）T9） 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）A. B. AB与平面所成的角为C. D. 与平面所成的角为【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D．2.【多选题】（2022·新高考Ⅰ卷T9） 已知正方体，则（ ）A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD3.（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．【答案】【解析】作分别垂直于，平面，连接，由题意可知，，平面，又平面，，，，，，又易知，为的平分线，，又，．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间中线面角的定义即可求解.【详解】空间内，直线与平面平行或者直线在平面内，此时直线与平面所成角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为，故直线与平面所成角的取值范围是,故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（    ）A．B．C．D．无法确定与的大小关系【答案】A【分析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，由直角三角形可知，再由的正切即可比较大小.【详解】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，如图，因为，，所以，因为，，，平面，所以AB面CDF，平面，所以，在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以，在直角三角形中，，在直角三角形DEF中，，由知，故选：A3．（2023·高一课时练习）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，在正四棱锥中，为的中心，则底面，再解即可.【详解】解：如图所示，在正四棱锥中，为的中心，则底面，为边上的中线，，所以即为侧棱与底面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，在中，，即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是.故选：C.4．（2023·高一课时练习）正四棱锥中，E是AB上一点（不与端点重合），设SE与BC所成角大小为，SE是平面ABCD所成角大小为，二面角大小为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意作出辅助线，再利用线线、线面、二面角的定义得到，，，进而推得，，，，，从而根据直角三角形的性质得出，，由此即可判断的大小.【详解】设点为点在底面的投影点，点为的中点，作过点作直线，且点为直线的中点，，，点为点在底面的投影点，底面，底面，，且，为正四棱锥，点为点在底面的投影点，点为底面的中心，又点为的中点，，，，底面，底面，，，且平面，平面，平面，平面，，，，，点为直线的中点，且，，且，又，，，四边形是平行四边形，，即，，又，，平面，平面，平面，又平面，，在中，，在中，，，在中，，，在中，为斜边，为直角边，则，当点在线段上运动中，与重合时，，则，则，与都为锐角，则，在中，为斜边，为直角边，则，当点在线段上运动中，与重合时，，则，且，则，，与都为锐角，则，，综上所述：，故选：A.二、多选题5．（2023·全国·高一专题练习）如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（    ）A．B．C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为【答案】BC【分析】连接，证明，计算判断AB；求出异面直线夹角余弦、线面角的正弦判断CD作答.【详解】连接，如图，因为平面，平面，则，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，则，，A错误，B正确；取中点，连接，则，为异面直线PE与BC所成的角或其补角，而平面，平面，有，又，平面，则有平面，平面，于是，，因此，C正确；由平面知，是直线PE与平面所成的角，，显然，D错误.故选：BC三、填空题6.（2023春·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.【详解】设，连接，平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案为：.7．（2023·高一课时练习）设二面角的大小为45°，A为棱上一点，在内与成45°角，则与平面所成角的大小为_____．【答案】30°##【分析】过作，交于，在平面内作，过点作，交于，由已知条件推导出是直线与平面所成的角，由此能求出线段与平面所成角的大小．【详解】如图，过点作于，在平面内作交于，连接，由于，，平面 ，所以平面，平面，故 是二面角的平面角，即，由，设，由于平面，平面，平面，，，，平面，是直线与平面所成的角，，，，，由于为锐角，，故答案为：30°四、解答题8.（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，.(1)求侧棱与底面所成角的大小；(2)求二面角的大小的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线面角的定义可证得为所求角，设等边的边长为，由长度关系可求得，从而得到结果；（2）由二面角平面角定义可知为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果.【详解】（1）设底面正方形的中心为，连接，由正四棱锥结构特征知：平面，即点在平面上的投影为，为侧棱与底面所成角，在中，，，为等边三角形，设其边长为，平面，平面，，在中，，，，，即侧棱与底面所成角的大小为.（2）取的中点为，连接，在正方形中，；在等边中，，为二面角的平面角，平面，平面，；在中，，，，二面角的大小的余弦值为.9.（2023·高一课时练习）如图，在长方体中，，点为的中点．(1)求直线与平面所成的角；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】(1)连接BP，则平面，得为直线AP与平面所成角，利用线面垂直的性质求出即可求解；(2)过点P作，根据线面垂直的性质和判定定理可得平面，即PE为点P到平面的距离，求出PE即可.【详解】（1）连接BP，则，在长方体中，平面，所以为直线AP与平面所成角，由平面，得，即，由，得，所以直线AP与平面所成的角为；（2）过点P作，垂足为E，在长方体中，平面，平面，得，又平面，所以平面，即PE为点P到平面的距离，而，所以点P到平面的距离为.10.（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）连接BD交AC于O，连接FO，得，根据线面平行的判定可得平面；（2）根据线面平行，将线到面的距离化为点到面的距离，再根据等体积法可求出结果.【详解】（1）连接BD交AC于O，连接FO，∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.取AD的中点E，连接EF，CE， 则，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面，所以，因为菱形且，，所以，，则，，，，设点D到平面ACF的距离为，由得即直线PB到平面ACF的距离为.11.（2023·高一课时练习）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因为，所以⊥AD，因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，如图，平面，AD，AC平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，因为，，由勾股定理得：，则∠ADB=30°，同理可得，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，故，，，在△BCP中，由余弦定理得：，则，，在△CDP中，由余弦定理得：，在△CDE中，，因为，所以DE⊥PC，所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：.12. （2023春·全国·高一专题练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.【答案】(1)证明见解析(2)(3)在线段上靠近点的处，【分析】（1）由题可得平面，故.根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）根据题干数据结合即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使最大，则需使最小，此时，从而可求解.【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.因为平面，所以.因为四边形为菱形，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以.（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，所以，.所以.因为，所以.设点到平面的距离为，由得，即，解得.故点到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，平面，∴到平面的距离即为到平面的距离.过作垂线平面交于点，则，此时，要使最大，则需使最小，此时.由题意可知：，因为平面，且，所以，，在中，由余弦定理可得：，所以，由面积相等，即，经计算得，，则，此时在线段上靠近点的处.