专题10 统计-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

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专题10 统计



知识点一
随机抽样

1.几个概念
总体：统计中所考察对象的全体叫做总体．
个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本．
样本容量：样本的个体的数目叫做样本容量．
2．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
3．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
知识点二
用样本估计总体

1．频率分布直方图
(1)纵轴表示，即小长方形的高＝；
(2)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1.
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
知识点三
常见数字特征

1.众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；
2.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；
平均数：反应一组数据的平均水平；
3.方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n 2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
4.标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．
5.百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p%）的数据大于或等于这个值.
知识点四
茎叶图、条形图、折线图及扇形图

1.茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．
①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一；
②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
2.条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．
3.折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．
4.扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．




考点01 随机抽样
【典例1】（2023春·甘肃酒泉·高一校考阶段练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有（     ）
A．某连队从200名官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴某地参加救灾工作；
B．箱子中有100支铅笔，从中选10支进行试验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子；
C．从50个个体中一次性抽取8个个体作为样本；
D．从2000个灯泡中不放回地逐个抽取20个进行质量检查．
【典例2】（2023·贵州·统考模拟预测）从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第一行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（    ）
0347
4373
8636
9647
3661
4698
6371
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676
（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）
A． B． C． D．
【例3】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为（    ）
A．300 B．320 C．340 D．360
【总结提升】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2. 分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．
(2)遵循的两条原则：
①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
3.命题方向：
（1）抽样的概念
（2）抽样方案的设计.
考点02 统计数据与图表在实际问题中的应用
【典例4】（2023·河南新乡·统考三模）一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（    ）

A．2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多
B．这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10
C．这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元
D．这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年
【典例5】【多选题】（2021秋·高一课时练习）已知在某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断正确的是（    ）

A．乙班的理科综合成绩强于甲班
B．甲班的文科综合成绩强于乙班
C．两班的英语平均分分差最大
D．两班的语文平均分分差最小
【典例6】【多选题】（2023·山东济宁·统考二模）下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表．下列叙述中正确的是（    ）

学生
测试序号
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲同学
138
127
131
132
128
135
乙同学
130
116
128
115
126
120
丙同学
108
105
113
112
115
123
班级平均分
128.2
118.3
125.4
120.3
115.7
122.1
A．甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平
B．乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动
C．丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平
D．通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高
考点03 频率分布直方图
【典例7】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：
中位数




评价
优秀
良好
合格
不合格
2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（    ）

A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
【典例8】（2023·上海闵行·统考二模）在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（    ）

A．样本容量
B．图中
C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等
【总结提升】
1.两个主要考查角度：
（1）利用频率分布直方图求频率、频数．
（2）利用频率分布直方图估计总体
2.熟记结论：(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1；
(2) ×组距＝频率；
(3)频数/样本容量＝频率，此关系式的变形为频数/频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数
3.易错防范：频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率
考点04 数字特征的计算及应用
【典例9】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（    ）
A．平均值 B．中位数 C．众数 D．方差
【典例10】【多选题】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（    ）

A．年收入在万元的中小企业约有14家
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元
D．年收入的样本数据的80%分位数为480万元
【典例11】【多选题】（2023届福建省福州市高三质量检测数学试题）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（    ）
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．第40百分位数
【总结提升】
1.众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．
2.在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．
3.平均数反映了数据取值的平均水平；
4.方差(标准差)越大，说明数据的离散性越大；方差(标准差)越小，说明数据的离散性越小，数据越集中、稳定．
5．用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，这些偏差是由样本的随机性引起的．虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征，而是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，样本的数字特征稳定于总体的数字特征．
考点05 总体数字特征的实际应用
【典例12】【多选题】（2022秋·高一课时练习）（多选）某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位:103km）.
A类轮胎:；
B类轮胎:.
根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是（　　）
A．A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数
B．A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差
C．A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数
D．A类轮胎的性能更加稳定
【典例13】（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．
A(单位kg)
60
50
40
60
70
80
80
80
90
90
B(单位kg)
40
60
60
80
80
50
80
80
70
100
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【典例14】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的值和第60百分位数；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【总结提升】
1.明确样本数字特征所反映样本的特征，一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等．因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题．
2.主要命题角度有三个：
（1）样本的数字特征与频率分布直方图交汇
（2）样本的数字特征与茎叶图交汇
（3）样本的数字特征与优化决策问题交汇：利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
②用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．

1．（2022·全国·高考真题（理））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：


则（    ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2.（2022·天津·高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（    ）

A．8 B．12 C．16 D．18

一、单选题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如下：
甲的环数
7
7
10
6
10
8
7
9
7
9
乙的环数
7
8
8
9
8
7
7
9
8
9
下列说法正确的是（    ）
A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数等于乙的中位数
C．甲、乙的众数都是7 D．乙的成绩更稳定
二、多选题
2．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）某班级体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（    ）

A．乙同学体温的极差为
B．乙同学体温的众数为，中位数与平均数相等
C．甲同学的体温比乙同学的体温稳定
D．甲同学体温的第70百分位数为
3．（2023·广东潮州·统考二模）根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（    ）
A．平均数小于4 B．平均数小于4且极差小于或等于3
C．平均数小于4且标准差小于或等于4 D．众数等于5且极差小于或等于4
三、填空题
4．（2023春·重庆南岸·高二校考期中）2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.
5．（2023春·河南焦作·高一统考期中）2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________ .
6．（2022秋·高一单元测试）一个高中研究性学习小组对本地区2019年至2021年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭______万盒.

7．（2023·甘肃武威·统考三模）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．
四、解答题
8．（2022秋·高一单元测试）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）
(2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则分数段抽取的人数是多少？
9．（2021·高一课时练习）某校初一某班数学测试成绩如下：
100分6人，99分5人，98分6人，95分4人，88分5人，85分5人，80分8人，79分2人，78分4人，65分3人，50分2人
(1)如 85 分以上（含 85 分）为优秀，则成绩为优秀的人的频率是多少？
(2)利用计算加权平均数的方法，求出这次考试的平均成绩.
10．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值，并估计这100人竞赛成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）
(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率.
11．（2021·高一课时练习）随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：
评价指数





频数
10
10
20
40
20

(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；
(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（精确到0.1）附：.
12．（2021·高一课时练习）甲乙两人进行射击比赛，甲射击6次，成绩分别为：10，9，8，7，8，6；乙射击4次，成绩分别为9，8，7，10，则甲乙两人共射击10次的平均成绩和方差分别是多少？