热点专测专练04 空间角与距离的计算问题-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

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热点专测专练：空间角与距离的计算问题


注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·吉林长春·统考三模）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．
3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知正方体的棱长为为空间内一点且满足平面，过作与平行的平面，与交于点，则（    ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．
5．（2023·江西·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．2
6．（2023·河北保定·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为（    ）


A．2 B． C． D．
7．（2022春·福建·高一福建省泉州第一中学校考期中）在平面四边形中，，，现将沿折起，连接，得到一个三棱锥，当二面角的大小为时，所得三棱锥的体积为（    ）
A． B．4 C． D．12
8．（河南省十所名校2022-2023学年高中毕业班阶段性测试（六）理科数学试题）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，正四棱柱中，，、分别为的中点，则（    ）

A．
B．直线与直线所成的角为
C．直线与直线所成的角为
D．直线与平面所成的角为
10．（2023·河北唐山·统考二模）如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，则（    ）

A．与所成角的余弦值为
B．与所成角的余弦值为
C．与平面所成角的正弦值为
D．与平面所成角的正弦值为
11．（2023·全国·高二专题练习）已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（    ）
A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条
B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条
C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条
D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条
12．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A．
B．三棱锥外接球的体积为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023·高一课时练习）如图，在正方体中，E、F分别为AB、AD的中点．

（1）与所成角的大小为______；
（2）与所成角为______．
14．（山东省德州市2022-2023学年高二上学期期末）在正六棱柱中，若底面边长为1，高为3，则BC到平面的距离为______．
15．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为________．

16．（2023春·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知四面体的棱长均为2，下列判断正确的是______.
①；    
②直线与平面所成的角的正弦值为；
③点A到平面的距离为；
④两相邻侧面夹角的余弦值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022春·高一校考课时练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．

(1)求异面直线BC与PD所成角的正切值；
(2)求证：CD⊥PE．
18．（2023·贵州·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面侧面，，，， ，.

(1)求证：平面平面；
(2)若点A关于中点的对称点为，三棱锥的体积为，求点A到的距离.
19．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在直三棱柱中，，，．

(1)求证：；
(2)设与底面ABC所成角的大小为，求三梭雉的体积．
20．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为.

(1)求正四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：；
21．（2023·江西南昌·统考一模）已知直四棱柱的底面为菱形，且，，点为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
22．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点.

(1)求点B到平面B1CD的距离；
(2)求异面直线AC1和B1C所成角的余弦值.