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江西省上饶市2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学试卷（含答案）
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这是一份江西省上饶市2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省上饶市2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设集合，，则( )
A. B. C. D.
2、在等比数列中，，则“”是“数列的公比为2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A. B.
C. D.
4、已知A，B为圆上两个不同的点（C为圆心），且满足，则( )
A. B. C.2 D.4
5、若函数在处有极值10，则( )
A. B.0 C.7 D.0或7
6、若函数在上存在两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、已知数列满足，，则下列结论中正确的是( )
A. B.为等比数列
C. D.
8、已知实数：a，b，，且，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l垂直的是( )
A. B. C. D.
10、已知数列，下列结论正确的有( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，则数列是等比数列
D.若，则数列前5项的和最大
11、已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
12、已知，，且，则下列结论正确的是( )
A.xy的取值范围是 B.的取值范围是
C.的最小值是 D.的最小值为
三、填空题
13、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________.
14、已知定义域为的奇函数则的值为__________.
15、已知函数，，且，则的最小值为______.
16、定义：满足下列两个条件的有穷数列，，…，为n阶“期待数列”.
①，②.
试写出一个3阶“期待数列”；若2023阶“期待数列”是递增的等差数列，则________.
四、解答题
17、如图，在直三棱柱中，，E为棱上靠近B点的三等分点，，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面ABC所成角的余弦值.
18、已知数列，若__________.
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.
①；
②，，（，）；
③，点，在斜率是2的直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19、已知函数.
（1）若关于x的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求m的取值范围；
（2）设函数，，若，对总有成立，求n的取值范围.
20、今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次.三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力.上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
频数
3
4
8
11
41
20
8
5
（1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
（2）若上饶市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若，则，，.
21、已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，B为C的上顶点，且的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M、N.求证：为定值.
22、已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，当时，证明：.
参考答案
1、答案：A
解析：解不等式，即，而，所以.故答案为：A
2、答案：B
解析：设等比数列的公比为q，
由，，得，则；
由，，得.
故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件.
故选：B
3、答案：A
解析：对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；
对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；
对于C，函数，因为，故C错误；
对于D，函数，，故D错误，故选：A.
4、答案：C
解析：依题意，，由，得，解得，
所以.
故选：C
5、答案：C
解析：函数，求导得，
依题意，，解得，，或，，
当，时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当，时，，当时，，时，，
于是是函数的极值点，符合题意，所以.
故选：C
6、答案：B
解析：令，则在上存在两个交点，
令，则，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以，
又，，
与的图象如图所示：
所以，
故选：B.
7、答案：C
解析：数列满足，，则，，，
有，，，A错误；
显然，，因此数列不是等比数列，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选：C
8、答案：D
解析：由，，，得，，，令，，则，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，则，
即，因此，即，又a，b，，所以.
故选：D
9、答案：AB
解析：的定义域为，
，即直线l的斜率，
设与l垂直的直线的斜率为m，则，
所以，.
故选：AB.
10、答案：BD
解析：对于选项A，由，得，则，故A项错误；
选项B.由，则，累乘可得故，，故B正确；
对于选项C，因为，当时，，当时，，将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于D，，则为首项为9，公差为的等差数列，令，解得，又因为，则，则数列的前5项均为正数，且第6项开始为负数，则数列前5项的和最大.
故选：BD.
11、答案：ABD
解析：对于A，函数为增函数，则有，，
则其零点，A正确；
对于B，是方程的零点，则，变形可得，
两边同时取对数可得，B正确；
对于C，是函数的零点，则，
则，故，
又由，则，根据对勾函数图象与性质知，则，故C错误，
对于D，，则，则，正确.
故选：ABD.
12、答案：AC
解析：对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号由，即，解得，即，A正确；
对于，由，，，当且仅当时取等号，得，所以，又，所以，即，故B错误；
对C选项，因为，，，则，得，结合，则，所以，当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D选项知：，当且仅当时，即，但由于，因此等号不成立，故D不正确.
故选：AC.
13、答案：0.8
解析：中途停车修理，
：经过的是货车，
：经过的是客车，
则，
由贝叶斯公式有
.
14、答案：0
解析：因为函数是定义在上的奇函数，
则有，解得，
，解得，
所以.
故答案为：0
15、答案：或
解析：函数，，且，则，于是，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
16、答案：，0，，（答案不唯一）
解析：符合条件的一个3阶“期待数列”为：，0，；
，数列是等差数列，且，则，即，
又数列递增，且，则，
即，所以.
故答案为：，0，；
17、答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
则，又，，，，平面，
因此平面，平面，所以.
（2）依题意，平面ABC，，分别以，CA，CB所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为E为棱上靠近B点的三等分点，，，
则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，
令，得，显然平面ABC的一个法向量为，
平面与平面ABC所成角为，，
所以平面与平面ABC所成角的余弦值为.
18、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）若选①，由，当时，，
两式相减可得：，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式.
若选②，由得：数列为等差数列，
又因为，，则公差，于是，
数列的通项公式.
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，即，
因此数列为等差数列，，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
所以.
19、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）函数，，由得，
依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，
，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，取最小值，最小值为，
，，又，
所以.
（2）由总有成立知，
函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，
由（1）知，在区间上，，
当时，，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
于是，则有，即，
所以n的取值范围是.
20、答案：（1）；
（2）（ⅰ）14.56万；
（ⅱ）分布列见解析；均值为.
解析：（1）从频率分布表知，旅游支出不低于1万元的有33人，
从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于1万元的概率为.
（2）（ⅰ）依题意，，
因此，，X服从正态分布，
，则(万)，
所以估计上饶市有14.56万市民每年旅游费用支出在15000元上.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，则，于是，
因此，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
P
均值为.
21、答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）设椭圆C的半焦距为c，因为的周长为，则，
椭圆的离心率为，则，解得，，则，
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线，与椭圆方程联立解得，，
则，，
当直线l的斜率存在时，设直线，
由消去y并整理得：，
显然点P在椭圆C内，即直线l与C必交于两点，有，
又直线l与圆相切，即，即
得，
显然，，即有，，
因此，
所以为定值.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）的定义域为，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由得，，
所以.
则，
要证，需证
即证，
需证.
令，设.则，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以，在上单调递增.
由，得，所以，
所以需证，即证.
令，且，
则，
所以在上单调递增，则，
所以成立，故，得证.
江西省上饶市2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设集合，，则( )
A. B. C. D.
2、在等比数列中，，则“”是“数列的公比为2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A. B.
C. D.
4、已知A，B为圆上两个不同的点（C为圆心），且满足，则( )
A. B. C.2 D.4
5、若函数在处有极值10，则( )
A. B.0 C.7 D.0或7
6、若函数在上存在两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、已知数列满足，，则下列结论中正确的是( )
A. B.为等比数列
C. D.
8、已知实数：a，b，，且，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l垂直的是( )
A. B. C. D.
10、已知数列，下列结论正确的有( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，则数列是等比数列
D.若，则数列前5项的和最大
11、已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
12、已知，，且，则下列结论正确的是( )
A.xy的取值范围是 B.的取值范围是
C.的最小值是 D.的最小值为
三、填空题
13、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________.
14、已知定义域为的奇函数则的值为__________.
15、已知函数，，且，则的最小值为______.
16、定义：满足下列两个条件的有穷数列，，…，为n阶“期待数列”.
①，②.
试写出一个3阶“期待数列”；若2023阶“期待数列”是递增的等差数列，则________.
四、解答题
17、如图，在直三棱柱中，，E为棱上靠近B点的三等分点，，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面ABC所成角的余弦值.
18、已知数列，若__________.
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.
①；
②，，（，）；
③，点，在斜率是2的直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19、已知函数.
（1）若关于x的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求m的取值范围；
（2）设函数，，若，对总有成立，求n的取值范围.
20、今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次.三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力.上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
频数
3
4
8
11
41
20
8
5
（1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
（2）若上饶市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若，则，，.
21、已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，B为C的上顶点，且的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M、N.求证：为定值.
22、已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，当时，证明：.
参考答案
1、答案：A
解析：解不等式，即，而，所以.故答案为：A
2、答案：B
解析：设等比数列的公比为q，
由，，得，则；
由，，得.
故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件.
故选：B
3、答案：A
解析：对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；
对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；
对于C，函数，因为，故C错误；
对于D，函数，，故D错误，故选：A.
4、答案：C
解析：依题意，，由，得，解得，
所以.
故选：C
5、答案：C
解析：函数，求导得，
依题意，，解得，，或，，
当，时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当，时，，当时，，时，，
于是是函数的极值点，符合题意，所以.
故选：C
6、答案：B
解析：令，则在上存在两个交点，
令，则，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以，
又，，
与的图象如图所示：
所以，
故选：B.
7、答案：C
解析：数列满足，，则，，，
有，，，A错误；
显然，，因此数列不是等比数列，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选：C
8、答案：D
解析：由，，，得，，，令，，则，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，则，
即，因此，即，又a，b，，所以.
故选：D
9、答案：AB
解析：的定义域为，
，即直线l的斜率，
设与l垂直的直线的斜率为m，则，
所以，.
故选：AB.
10、答案：BD
解析：对于选项A，由，得，则，故A项错误；
选项B.由，则，累乘可得故，，故B正确；
对于选项C，因为，当时，，当时，，将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于D，，则为首项为9，公差为的等差数列，令，解得，又因为，则，则数列的前5项均为正数，且第6项开始为负数，则数列前5项的和最大.
故选：BD.
11、答案：ABD
解析：对于A，函数为增函数，则有，，
则其零点，A正确；
对于B，是方程的零点，则，变形可得，
两边同时取对数可得，B正确；
对于C，是函数的零点，则，
则，故，
又由，则，根据对勾函数图象与性质知，则，故C错误，
对于D，，则，则，正确.
故选：ABD.
12、答案：AC
解析：对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号由，即，解得，即，A正确；
对于，由，，，当且仅当时取等号，得，所以，又，所以，即，故B错误；
对C选项，因为，，，则，得，结合，则，所以，当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D选项知：，当且仅当时，即，但由于，因此等号不成立，故D不正确.
故选：AC.
13、答案：0.8
解析：中途停车修理，
：经过的是货车，
：经过的是客车，
则，
由贝叶斯公式有
.
14、答案：0
解析：因为函数是定义在上的奇函数，
则有，解得，
，解得，
所以.
故答案为：0
15、答案：或
解析：函数，，且，则，于是，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
16、答案：，0，，（答案不唯一）
解析：符合条件的一个3阶“期待数列”为：，0，；
，数列是等差数列，且，则，即，
又数列递增，且，则，
即，所以.
故答案为：，0，；
17、答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
则，又，，，，平面，
因此平面，平面，所以.
（2）依题意，平面ABC，，分别以，CA，CB所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为E为棱上靠近B点的三等分点，，，
则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，
令，得，显然平面ABC的一个法向量为，
平面与平面ABC所成角为，，
所以平面与平面ABC所成角的余弦值为.
18、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）若选①，由，当时，，
两式相减可得：，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式.
若选②，由得：数列为等差数列，
又因为，，则公差，于是，
数列的通项公式.
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，即，
因此数列为等差数列，，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
所以.
19、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）函数，，由得，
依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，
，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，取最小值，最小值为，
，，又，
所以.
（2）由总有成立知，
函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，
由（1）知，在区间上，，
当时，，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
于是，则有，即，
所以n的取值范围是.
20、答案：（1）；
（2）（ⅰ）14.56万；
（ⅱ）分布列见解析；均值为.
解析：（1）从频率分布表知，旅游支出不低于1万元的有33人，
从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于1万元的概率为.
（2）（ⅰ）依题意，，
因此，，X服从正态分布，
，则(万)，
所以估计上饶市有14.56万市民每年旅游费用支出在15000元上.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，则，于是，
因此，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
P
均值为.
21、答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）设椭圆C的半焦距为c，因为的周长为，则，
椭圆的离心率为，则，解得，，则，
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线，与椭圆方程联立解得，，
则，，
当直线l的斜率存在时，设直线，
由消去y并整理得：，
显然点P在椭圆C内，即直线l与C必交于两点，有，
又直线l与圆相切，即，即
得，
显然，，即有，，
因此，
所以为定值.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）的定义域为，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由得，，
所以.
则，
要证，需证
即证，
需证.
令，设.则，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以，在上单调递增.
由，得，所以，
所以需证，即证.
令，且，
则，
所以在上单调递增，则，
所以成立，故，得证.
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