2022-2023学年河南省驻马店市正阳县八年级（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年河南省驻马店市正阳县八年级（下）期末数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省驻马店市正阳县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡上.
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．3﹣＝3 C．+＝ D．（3）2＝18
3．在2，5，3，7，2，6，2，1这组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．标准差 B．中位数 C．平均数 D．众数
4．将直线向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　）
A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与y轴交于（2，0） D．与x轴交于（﹣4，0）
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
6．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+b的图象上，则m与n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m≤n D．无法判断
7．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠OED的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段AB上一动点，过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别是点D、E，连接DE，则线段DE的最小值为（　　）

A．2.7 B．2.6 C．2.5 D．2.4
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB恰好落在MD边上．则该矩形纸片ABCD的长宽比的值为（　　）

A． B． C． D．
10．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点B（﹣1.5，0.5）到x轴、y轴的距离分别为0.5，1.5，距离和为2，则点B是“成双点”，点C（1，1），D（﹣0.8，﹣1.2）也是“成双点”．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l经过点（﹣3，﹣4），且图象l上存在“成双点”，则k的取值范围为（　　）

A．≤k≤2 B．≤k≤2 C．≤k≤4 D．≤k≤4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．已知点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，则代数式2020﹣4a+b的值等于 　 　．
13．已知矩形ABCD，请添加一个条件：　 　，使得矩形ABCD成为正方形．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 　 　．

15．如图1，在△ABC中，∠B＝45°，点P从△ABC的顶点出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M，N为曲线部分的两个端点，则△ABC的周长是　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．计算：（1）；
（2）；
17．如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，则△ABC是 　 　三角形．
18．在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下：

＝
＝
＝
根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
19．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

20．小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）第15天小颖家草莓的日销售量为 　 　千克．
（2）当4≤x≤12时，求草莓价格m与x之间的函数关系式．
（3）第7天小颖家草莓的销售金额是 　 　元．

21．2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：
a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），
b：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79．
根据以上信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 　 　分；
（3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当四边形BECD是菱形时，D在AB的什么位置？请说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，则当∠A＝　 　度时，四边形BECD是正方形．

23．学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，通过探究，我们得出垂美四边形ABCD的面积S等于两对角线乘积的一半．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　 　．
（2）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②四边形BCGE的面积是 　 　．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡上.
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，利用排除法求解．
解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、，是最简二次根式，故本选项正确；
C、，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．3﹣＝3 C．+＝ D．（3）2＝18
【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断．根据二次根式的性质对D进行判断．
解：A、原式＝2﹣，所以A选项的计算错误；
B、原式＝2，所以B选项的计算错误；
C、原式＝2+3＝5，所以C选项的计算错误；
D、原式＝9×2＝18，所以D选项的计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．在2，5，3，7，2，6，2，1这组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．标准差 B．中位数 C．平均数 D．众数
【分析】根据众数的定义即可得出答案．
解：∵2出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变，
∴一定不会改变的是众数．
故选：D．
【点评】此题考查了众数、标准差、中位数以及平均数，熟练掌握定义和运算公式是解题的关键．
4．将直线向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　）
A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与y轴交于（2，0） D．与x轴交于（﹣4，0）
【分析】直线向上平移2个单位长度后得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案．
解：直线向上平移2个单位长度后得到的解析式为，
A．∵，b＝2＞0，故经过第一、二、三象限，
故A不符合题意；
B．∵，故y随x的增大而增大，
故B不符合题意；
C．令x＝0，则y＝2，
所以与y轴交点为（0，2），
故C不符合题意；
D．令y＝0，则x＝﹣4，
则与x轴的交点为（﹣4，0），
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握函数图象平移规律“上加下减”以及一次函数的性质是解题关键．
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+b的图象上，则m与n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m≤n D．无法判断
【分析】由题意k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜3，即可得出m＞n．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣2＜3，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠OED的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，
∴∠DAO＝∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，
∴∠DOA＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OE＝BD＝OD，
∴∠OED＝∠ODE＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段AB上一动点，过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别是点D、E，连接DE，则线段DE的最小值为（　　）

A．2.7 B．2.6 C．2.5 D．2.4
【分析】连接OC，则OC＝DE，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，利用勾股定理，可求出AB的长，结合三角形的面积公式，可求出AB边上的高，再由点到直线垂直线段最短，即可求出OC（即DE）的最小值．
解：连接OC，如图所示．
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，OE⊥OD，
∴四边形ODCE为矩形，
∴OC＝DE．
当x＝0时，y＝﹣×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4．
在Rt△OAB中，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴AB边上的高＝＝＝2.4．
当OC⊥AB时，DE取得最小值，最小值为2.4．
故选：D．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的判定与性质、勾股定理以及点到直线的距离，利用矩形的性质及点到直线垂直线段最短，找出DE的最小值是解题的关键．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB恰好落在MD边上．则该矩形纸片ABCD的长宽比的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由第一次折叠可知∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，则四边AMA′D为正方形，AM＝A′M＝AD，DM＝，由第二次折叠可知∠BMC＝∠B′MC，利用平行线的性质得∠DCM＝∠BMC，于是可得∠B′MC＝∠DCM，由等边对等角得CD＝DM＝，以此即可求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
由第一次折叠可知，∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，
∴四边AMA′D为正方形，
∴AM＝A′M＝AD，
∴DM＝＝，
由第二次折叠可知，∠BMC＝∠B′MC，
∵BM∥CD，
∴∠DCM＝∠BMC，
∴∠B′MC＝∠DCM，
∴CD＝DM＝，
∴AB＝CD＝，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
10．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点B（﹣1.5，0.5）到x轴、y轴的距离分别为0.5，1.5，距离和为2，则点B是“成双点”，点C（1，1），D（﹣0.8，﹣1.2）也是“成双点”．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l经过点（﹣3，﹣4），且图象l上存在“成双点”，则k的取值范围为（　　）

A．≤k≤2 B．≤k≤2 C．≤k≤4 D．≤k≤4
【分析】取E（﹣2，0），F（2，0），G（0，﹣2）连EG，FG，EG取点P，PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分别为M，N，PN＝OM，可得△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，从而得△PEM为等腰直角三角形，进而得PM+PN＝OE＝2，继而得到线EG上的点为“成双点”，线FG上的点为“成双点”，可得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l与线EG或线FG有交点时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l上存在“成双点”，再分别求出当一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l经过点E时，当一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象L经过点G时，k的值，即可求解．
解：如图，取E（﹣2，0），F（2，0），G（0，﹣2），连接EG，FG，EG取点P，PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分别为M，N，PN＝OM，
∵OE＝OF＝OG＝2，
∴△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，
∴△PEM为等腰直角三角形，
∴PM＝EM，
∴PM+PN＝OE＝2，
∴点P是“成双点”，
即线EG上的点为“成双点”，
同理线段FG上的点为“成双点”，
∴当一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l与线EG或线FG有交点时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l上存在“成双点”，
∵一次函数的图象经过（﹣3，﹣4），
∴﹣3k+b＝﹣4，
解得b＝3k﹣4，
∴一次函数的解析式y＝kx+3k﹣4，
当一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l经过点E时，﹣2k+3k﹣4＝0，解得k＝4，
当一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象l经过点G时，3k﹣4＝﹣2，解得k＝，
∴k的取值范围．
故选：D．

【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥﹣2且x≠3　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解：y＝中自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠3；
故答案为：x≥﹣2且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．已知点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，则代数式2020﹣4a+b的值等于 　2023　．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝4a+3，再将其代入2020﹣4a+b中，即可求出结论．
解：∵点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，
∴b＝4a+3，
∴2020﹣4a+b＝2020﹣4a+4a+3＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
13．已知矩形ABCD，请添加一个条件：　AB＝BC（答案不唯一）　，使得矩形ABCD成为正方形．
【分析】根据正方形的判定添加条件即可．
解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 　　．

【分析】证明四边形ADCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出DF的长．
解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD，
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB＝12，AC＝16，
∴BC＝＝20，
∴AH＝＝＝，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CD＝CE，
∴S菱形ADCE＝EC•DF＝CD•AH，
∴DF＝AH＝．
故答案为．
【点评】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等，掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
15．如图1，在△ABC中，∠B＝45°，点P从△ABC的顶点出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M，N为曲线部分的两个端点，则△ABC的周长是　24+8　．

【分析】根据P点在AB段、BC段运动时，AP长度的变化，结合图2中的图象分析出AB和AC长，借助45°，作AH⊥BC，构造出两个直角三角形，利用勾股定理可求BC段长度．
则三角形的周长可求．
解：当P点从A到B运动时，AP逐渐增大，当P点到B点时，AP最大为AB长，从图2的图象可以看出AB＝8；
当P点从B到C运动时，AP先逐渐减小而后逐渐增大，到C点时AP最大为AC长，从图2的图象可以看出AC＝10．
过A点作AH⊥BC于H点，∵∠B＝45°，∴AH＝BH＝AB＝8．
在Rt△ACH中，CH＝＝6．
∴BC＝8+6＝14．
所以△ABC的周长为8+10+14＝24+8．
故答案为24+8．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析出动点运动过程在函数图象的增减性，找到关键点（特殊点）求解问题．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．计算：（1）；
（2）；
【分析】（1）先算括号内的，再算乘除；
（2）先展开，化为最简二次根式，再合并即可．
解：（1）原式＝×（2﹣）+
＝×+
＝+4；
（2）原式＝3﹣（2+2+1）+（3﹣1）
＝3﹣3﹣2+2
＝﹣1．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
17．如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，则△ABC是 　钝角　三角形．
【分析】（1）作一个边长为的正方形即可；
（2）利用数形结合的思想画出三角形即可；
（3）判断出∠ACB＞90°，可得结论．
解：（1）如图1中，正方形ABCD即为所求；
（2）如图2中，△ABC即为所求；
（3）如图3中，取格点J，连接CJ，AJ，则△ACJ是等腰直角三角形，
∵∠ACB＞ACJ＝90°．
△ABC为钝角三角形．
∴故答案为：钝角．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18．在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下：

＝
＝
＝
根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【分析】直接利用完全平方公式结合二次根式的性质化简得出答案．
解：原式＝
＝
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
19．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）第15天小颖家草莓的日销售量为 　20　千克．
（2）当4≤x≤12时，求草莓价格m与x之间的函数关系式．
（3）第7天小颖家草莓的销售金额是 　1764　元．

【分析】（1）将x＝15代入y＝﹣20x+320，求解即可；
（2）根据图象信息，利用待定系数法求m与x之间的函数关系式即可；
（3）先根据已知条件求出第7天的销售量和草莓价格，再利用销售金额＝销售量×草莓价格求解即可．
解：（1）∵当10＜x≤16时，y＝﹣20x+320，
∴当x＝15时，y＝﹣20×15+320＝20，
答：第15天小颖家草莓的日销售量为20千克，
故答案为：20；
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，将（4，24），（12，16）代入得，
，解得，
∴m＝﹣x+28（4≤x≤12）；
（3）∵当0≤x≤10时，y＝12x，
∴当x＝7时，y＝12×7＝84，
∵当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，
∴当x＝7时，m＝﹣7+28＝21，
∴第7天小颖家草莓的销售金额是84×21＝1764元，
故答案为：1764．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解题意，找准等量关系，利用待定系数法求得函数关系式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
21．2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：
a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），
b：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79．
根据以上信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 　75　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 　79　分；
（3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．

【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；
（3）利用样本估计总体，即可求解．
解：（1）第2组的人数为：50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），
补全频数分布直方图如图所示：

（2）第3组数据出现次数最多的是75，共出现3次，因此众数是75；
抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79，
则样本中位数为（79+79）÷2＝79（分），因此中位数是79，
故答案为：75，79；
（3）（人），
估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当四边形BECD是菱形时，D在AB的什么位置？请说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，则当∠A＝　45　度时，四边形BECD是正方形．

【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）由边形BECD是菱形，推出DC＝DB，再证明∠A＝∠DCA，推出DC＝DA，可得DA＝DB；
（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；

（2）解：结论：D是AB的中点．
理由：∵四边形BECD是菱形，
∴DC＝DB，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴DC＝DA，
∴AD＝DB，
∴D是AB的中点．

（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：45．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
23．学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，通过探究，我们得出垂美四边形ABCD的面积S等于两对角线乘积的一半．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　菱形，正方形　．
（2）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②四边形BCGE的面积是 　130　．

【分析】（1）根据垂美四边形的定义判断即可；
（2）①根据正方形的性质可证得△GAB和△CAE全等，得出∠GBA＝∠CEA，由∠BAE＝90°得出∠CEA+∠AME＝90°，再根据对顶角相等得到∠AME＝∠BMN，于是有∠GBA+∠BMN＝90°，从而得出BG⊥CE，根据垂美四边形的定义得出四边形BCGE为垂美四边形；
②先根据平角的定义证得点F、C、B在一条直线上，在Rt△ABC中根据勾股定理求出BC的长，在Rt△BFG中根据勾股定理求出BG的长，由①可得CE＝BG，最后根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果．
【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形，
∴一定是垂美四边形的是菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）①证明：连接CG，BE，设CE与AB交于点M，BG与CE交于点N，

∵四边形ACFG是正方形，
∴AC＝AG，∠GAC＝90°，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AE＝AB，∠BAE＝90°，
∴∠GAC+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠GBA＝∠CEA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠CEA+∠AME＝90°，
∴∠GBA+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠GBA+∠BMN＝90°，
∴∠BNM＝90°，
即BG⊥CE，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②∵四边形ACFG是正方形，
∴∠ACF＝∠CFG＝90°，AC＝CF＝FG＝8，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠ACB＝180°，
∴点F、C、B在一条直线上，
在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，
由勾股定理得，
∴BF＝BC+CF＝6+8＝14，
在Rt△BFG中，由勾股定理得，
由①知△GAB≌△CAE，
∴BG＝EC＝，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积是，
故答案为：130．
【点评】本题考查了新定义﹣垂美四边形，理解题意，掌握新定义以及正方形、直角三角形的性质是解题的关键