初中数学人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质测试题

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专题22.5 二次函数y=a(x−h)2(a≠0)与y=a(x−h)2+k(a≠0)图象与性质（知识梳理与题型讲解）

【知识点1】二次函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
特别说明：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
【知识点2】二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
特别指出：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）（一般式在以后学习）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）（一般式在以后学习）

【考点一】二次函数与函数的对称轴、顶点坐标、开口方向
【例1】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1) (2) (3) ．
【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为；(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为；(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）（2）（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点拨】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式】已知抛物线．
(1) 该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　．
(2) 在直角坐标系中画出的图象．

【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见分析
【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可；（2）由表中的点，即可画出函数图象．
（1）解：由抛物线可知，a＝﹣1＜0，开口向下，
对称轴是：直线x＝2，顶点坐标为：（2，3）；
故答案为：下，直线x＝2，（2，3）；
（2）①列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
2
3
2
﹣1
…
故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）；
②描点、连线：

【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质．
【考点二】二次函数与函数的图象位置
【例2】已知二次函数，其中，，，，则函数图象大致是（    ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标在第四象限，即可求解．
解：，
抛物线开口向上，
，，
对称轴，顶点坐标在第四象限．
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（　　）
  
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据函数解析式得出顶点为，根据图像可得，即可得出，则 所在的象限即可判定．
解：二次函数，
顶点为，
由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限，
，
，
在第三象限．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的关键．
【变式2】若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．
解：∵，
∴顶点坐标为：，
∴顶点坐标在第四象限，
∴原点在函数顶点的左上方，
由图可知，坐标原点只可能是点；
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
【考点三】二次函数与函数的增减性
【例3】已知抛物线．
(1) 其开口方向为____________．
(2) 顶点坐标为______________．
(3) 当x___________时，y随x的增大而增大．
(4) 最______（填“大”或“小”）为________．
【答案】(1)向上；(2)；(3)；(4)小，
【分析】（1）根据，即可判断开口方向向上；
（2）根据顶点式的顶点坐标为求解即可；
（3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
（4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解．
（1）解：∵
∴，
∴其开口方向向上，
故答案为：向上；
（2）解：∵
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵开口向上，对称轴为
∴当时，y随x的增大而增大；
故答案为：；
（4）解：∵，开口向上，顶点坐标为，
∴函数有最小值，最小值为，
故答案为：小，．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中：当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线．
(1) 其开口方向为____________．
(2) 顶点坐标为______________．
(3) 当x___________时，y随x的增大而增大．
(4) 最______（填“大”或“小”）为________．
【答案】(1)向上； (2)； (3)； (4)小，
【分析】（1）根据，即可判断开口方向向上；
（2）根据顶点式的顶点坐标为求解即可；
（3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
（4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解．
（1）解：∵
∴，
∴其开口方向向上，
故答案为：向上；
（2）解：∵
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵开口向上，对称轴为
∴当时，y随x的增大而增大；
故答案为：；
（4）解：∵，开口向上，顶点坐标为，
∴函数有最小值，最小值为，
故答案为：小，．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中：当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．
【变式2】已知抛物线的图象经过点．
(1) 求a的值及顶点坐标；
(2) 若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．
【答案】(1)a的值是，顶点坐标是；(2)
【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题．
（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标是；
∵经过点，
∴，
解得，，
即a的值是；
（2）解：∵，，
∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，
∵点都在该抛物线上，
∴．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
【考点四】二次函数与函数的图象与性质综合
【例4】关于二次函数．下列说法错误的是（    ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．时，的值随值的增大而增大 D．当时，函数有最小值为5
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的图像与性质逐项判断即可得．
解：A、当时，，即图像与轴的交点坐标为，则此项正确，不符合题意；
B、二次函数的对称轴为直线，则图像的对称轴在轴的右侧，此项正确，不符合题意；
C、∵二次函数的对称轴为直线，
∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大，
则此项错误，符合题意；
D、∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线，下列结论错误的是（    ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴的交点坐标为
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、交点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
解：①抛物线中，，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
②由解析式得，当时，，因此B选项错误，符合题意；
③由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
④因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项正确，不符合题意．
故答案选：B ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
【变式2】已知函数．
(1) 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 当取何值时该函数有最值，并求出最值．
(3) 当取何值时，随的增大而减小．
【答案】(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线；(2)当时，函数有最大值；(3)当，随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可；
（2）根据开口方向和顶点坐标得出最值；
（3）由对称轴和开口方向得出增减性．
解：（1）∵，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）抛物线开口向下，函数有最大值，
∵顶点坐标为，
∴当时，函数有最大值-4；
（3）对称轴，开口向下
∴当，随的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键．
【考点五】二次函数与函数与几何综合
【例5】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在第一象限内，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B，C两点，顶点D在正方形OABC内部．若点D在直线上，则的值是 ．

【答案】10
【分析】设点B的坐标为，则点C的坐标为，先根据抛物线解析式求出抛物线对称轴和顶点坐标，再根据顶点坐标在直线上求出，将代入抛物线解析式得： ，求出m的值，进而求出a、b的值即可得到答案．
解：设点B的坐标为，则点C的坐标为，
∵抛物线经过B，C两点，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线顶点坐标为，
∵抛物线顶点坐标在直线上，
∴，
将代入抛物线解析式得：，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．  

【答案】1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
【变式2】如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连接AF． 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是 ．

【答案】
【分析】证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
解：四边形CEFG为正方形，
,
∠FEH+∠CED＝90°，
FH⊥AD，
，
∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE•FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+ ，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．