初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质同步训练题

这是一份初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质同步训练题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题22.7 二次函数y=a(x−h)2(a≠0)与y=a(x−h)2+k(a≠0)图象与性质（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．二次函数图象的对称轴是（    ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
2．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标为
C．该函数有最大值，最大值为5 D．当时，y随x的增大而增大
3．若点是二次函数图象上的三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（　　）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
5．如图，抛物线（，）与轴交于，两点，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，的解析式为，的解析式为，若，则和，和的关系都正确的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
6．如图，抛物线的顶点在的边所在的直线上运动，点的坐标为，点 的坐标为，若抛物线与的边都有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
7．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，都在抛物线（）上点在点左侧，下列选项正确的是（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，则h的值为（  ）
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，有下列结论：

① ；
②点的坐标为；
③图象的对称轴为直线
④当时，随的增大而减小
其中结论正确的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．抛物线，当时，的最小值是 ，的最大值是 ．
13．在平面直角坐标系中，点、在抛物线上．当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图像的最高点的纵坐标为3，则的值为 ．
14．已知：点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2＋k（k≠0）的图象上，也在函数y＝（x＋k）2﹣k的图象上，则m＋n的最小整数值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴，点A的坐标为，若抛物线在矩形内部的图象中，随的增大而减小，则的取值范围是 ．

16．已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 ．

17．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是 ．

18．在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．

三、解答题
19．已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．
(1) 求a和h的值；
(2) 求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．





20．已知二次函数（是实数）．
(1) 小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2) 已知点，都在该二次函数图象上，求证：．



21．已知抛物线经过点，，，连接、，令．
(1) 若，，求的值；
(2) 若，，求a的值．








22．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．








23．如图，已知二次函数的图象顶点是，且过C点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）已知直线与该二次函数图像相交于点，求两点的坐标．
（3）写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．








24．已知抛物线（a，h，是常数，a≠0），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1) 若，点C的坐标为，求h的值；
(2) 若，当时，对应函数值y的最小值是，求此时抛物线的解析式；
(3) 直线经过点M，且与抛物线交于另一点D．当轴时，求抛物线的解析式．







参考答案
1．C
【分析】根据对称轴方程解答．
解：∵的二次项系数，一次项系数，
∴对称轴，即．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．解答该题时，也可以利用顶点式方程来求二次函数的对称轴．
2．D
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
解：中，
的系数为1，，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为，时y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，所以，当时，y随x的增大而增大，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
3．C
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，利用二次函数的性质即可判断．
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为，
且时，随的增大而增大，
∵，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．
解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
时，在，
当时函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，对的分类讨论是本题的解题关键．
5．B
【分析】利用一次函数的特征，先求得，，再由抛物线（，）与轴交于，两点，得，进而一次函数平行的性质即可得解．
解：∵的解析式为，的解析式为，
∴令得，解得，
令得，解得，
∴，，
∵抛物线（，）与轴交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】先求得直线的解析式为：，然后由抛物线的顶点在直线上，可求得，于是得到抛物线的解析式为，由图形可知当抛物线经过点和点时抛物线与的边都有公共点，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而可判断出的取值范围．
解：设直线的解析式为：，
点的坐标为，
，
解得，
直线的解析式为：，
抛物线的顶点为：， 且在的边所在的直线上运动，
，
抛物线解析式为：，
当抛物线经过点时，
将代入得：
，解得，，
当抛物线经过点时，
将代入得：
，解得，，
综上所述，的取值范围为： ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，通过平移抛物线探究得出抛物线与的边都有公共点，抛物线经过的“临界点”为点和点是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
解：由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
8．D
【分析】根据题意画出二次函数的大致图像，利用数形结合的思想求解．
解：根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，再根据可以画出抛物线的大致图像，分为两种情况：
当时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得，故选项错误，选项正确；

当时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得，故、选项错误；

故选：．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，根据题意画出函数的大致图像利用数形结合的思想解题是解决本题的关键．
9．D
【分析】根据题意可得分类讨论当 或取最小即可得到答案．
解：由题意可得，
抛物线的顶点为，最小值为1，
∵当函数值y的最小值为，
∴有两种情况对称轴 ，
当时，
，时y随x增大而减小，
∴时取最小，
即 ，解得，（不符合题意舍去），
时，
，时y随x增大而增大，
∴时取最小，
即 ，解得，（不符合题意舍去），
综上所述或，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．
10．B
【分析】根据二次函数的图象判断，根据顶点式判断对称轴，增减性即可得出结果．
解：∵抛物线开口向上，
∴，故①正确；
无法确定、的坐标，故②错误；
∵，
∴抛物线的对称轴为：直线，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故④错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标；
解：是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
故答案为
【点拨】考查二次函数的性质，在顶点式中，顶点坐标是．
12．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴函数最大值为3，
∵，
∴若，当时，函数取最小值，
将代入，得，
∴的最小值为，最大值为3．
故答案为：，3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13．
【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即可．
解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，，不符合题意；
当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图像的最高点的纵坐标不可能为3，不符合题意；
当时，随增大而增大，
∴当时，函数值，
即，
解得，
∵，
∴，
故答案为：.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键．
14．1
【分析】由题意求出m=，n=k2+，则可得出答案．
解：∵点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y＝（x+k）2﹣k图象上，
∴，
解得：，
∴m+n＝＝，
∵k2＞0，
∴m+n的最小整数值是1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．
【分析】求出抛物线经过C，B两点时，m的值，可得结论．
解：由题意，A的坐标为，
∴C，B，
当抛物线经过点C时，，
∴．
当抛物线经过点B时，，
∴，
观察图象可知满足条件m的值为．
故答案为：．

【点拨】本题考查矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用数形结合思想．
16．
【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可．
解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
∴，，
根据翻折变换，关于x轴的对称点为，
∴曲线所对应的函数解析式为，
当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示：

①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点，
所以当时与图象②有四个公共点；
②当时，直线与有三个公共点，
所以当时，直线与新图象有四个交点．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键．
17．①②④
【分析】根据的图象在x轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出与的长，即可得到的值．
解：∵，
∴，
∴无论x取何值，的值总是正数，①正确；
∵抛物线与交于点，
∴，
∴，②正确；
当时，，，
∴当时，，③错误；
当时，，解得或1，
当时，，解得或5，
∴，
即，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
18．4
【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ===，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．

【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．
19．(1)，；(2)．
【分析】（1）利用对称轴为直线，可得，
（2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为．
（1）解：∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为：
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【点拨】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．
20．(1)对的，理由见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论．
（1）解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数（是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
（2）证明：点，都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入，得
∴c≤15．
【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)1；(2)
【分析】（1）当，点为抛物线的顶点，点、关于抛物线对称轴对称，即可求解；
（2）求出点、、的坐标分别为、、，即可求解．
（1）解：∵，，
则点为抛物线的顶点，点、关于抛物线对称轴对称，
故，
∴；
（2）解：若，则，
则，，，
即点、、的坐标分别为、、，
则，，
∵，即，
∴，解得，
∴．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键．
22．（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．
【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式.
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得
解得
解析式为y=﹣x+4．
（2）设M点的坐标为（m，n），
∵S△AMP=3，
∴（4﹣1）n=3，
解得，n=2，
把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，
M（2，2），
∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），
可得y=a（x﹣1）2，
把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．

【点拨】此题重点考查学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键.
23．（1）；（2）A（，），B（4，5）；（3）＜x＜4
【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点C坐标代入，即可求出解析式；
（2）令，解方程即可得到A、B的横坐标，从而计算出纵坐标；
（3）根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的x取值范围．
解：（1）∵二次函数的图象顶点是，
设二次函数表达式为，
∵过C点，代入，
，解得：a=2，
∴二次函数表达式为：；
（2）由题意可得：，
解得：x=或4，
+1=，4+1=5，
∴A（，），B（4，5）；
（3）由图像可得：
当一次函数图像在二次函数图像上方时，＜x＜4，
∴当＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合，用待定系数法求二次函数的解析式，是中档题，要熟练掌握．
24．(1)；(2)或；(3)．
【分析】（1）把，点代入函数，即可求出h的值；
（2）把代入函数得，根据当时，对应函数值y的最小值是，则分三种情况讨论：①若在对称轴的左边，则y随x的增大而减小，此时，且，，代入函数即可求出h的值；②若在对称轴的右边，则y随x的增大而增大，此时，且，，代入函数即可求出h的值；③若对称轴在内，则抛物线在顶点处取得最小值，为，不合题意，舍去．综上所述可得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线解析式可得顶点坐标为，又直线经过点M，从而可，抛物线解析式为：，抛物线与y轴交点C的坐标为，根据轴，且点D在抛物线上可得点D的坐标为．又直线经过点D，从而求得，因此抛物线解析式为．
（1）解：把，点代入函数，得
，
解得：．
（2）解：∵，
∴抛物线为，抛物线开口向上，对称轴为．
∵当时，对应函数值y的最小值是，
∴分三种情况讨论：
①若对称轴，则在对称轴的左边，y随x的增大而减小．
∴，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴抛物线的解析式为：．
②若对称轴，则在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
∴，，
∴
解得：（舍去）或
∴抛物线的解析式为：．
③若，则为抛物线在顶点处取得最小值，即当时，函数最小值为，不合题意，舍去．
综上所述，抛物线的解析式为：或．
（3）解：∵抛物线的顶点为，直线经过点M，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：．
当时，，
∴点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的纵坐标为为，
把代入抛物线中，得
，
解得或，
∴点D的坐标为．
∵直线经过点D，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．