中考数学真题汇编第1期07 二次函数

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数学

中考数学真题汇编第1期
专题07 二次函数
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（    ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
3．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）
  
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
4．（2023·河北·统考中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）
  
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2023·浙江·统考中考真题）一个球从地面坚直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ）
A．5 B．10 C．1 D．2
7．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
8．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（    ）
  
A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
9．（2023·湖南·统考中考真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ）
A． B． C． D．
10．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（    ）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ）
①；
②；
③方程的两个根为；
④抛物线上有两点和，若且，则．
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023·山东枣庄·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　）
  
A．5 B．4 C．3 D．2
16．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
17．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ）
  
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（    ）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   )
A．①② B．②③ C．② D．③④
20．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）
      
A．       B．  
C．       D．      
21．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（    ）
  
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
23．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ）
A． B． C． D．
24．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ）
A．10 B．12 C．13 D．15
25．（2023·四川·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（    ）
  
①，
②，
③当线段长取最小值时，则的面积为
④若点，则
A． B． C． D．
26．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    )
A． B．或
C． D．或
27．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）
  
A． B． C． D．（为实数）
28．（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ）
A． B． C． D．
29．（2023·四川广安·统考中考真题）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为(    )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
二、填空题
30．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．
  
31．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．
  
32．（2023·山东临沂·统考中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是_____________（只填写序号）．
33．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
34．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则__________．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
35．（2023·四川·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________．
36．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
  
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
37．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为____________．

38．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则________．
三、解答题
39．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
  
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
40．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
41．（2023·四川·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
  
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
42．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
43．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．
  
(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．
44．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
45．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线过点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
47．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
48．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
  
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
49．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
50．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
52．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．
  
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
53．（2023·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

参考答案
1．A
2．D
3．C
4．A
5．B
6．D
7．B
8．C
9．B
10．A
11．C
12．B
13．C
14．C
15．C
16．D
17．B
18．D
19．B
20．A
21．B
22．C
23．D
24．B
25．C
26．B
27．C
28．D
29．B
30．10
31．或
32．②③④
33．（答案不唯一）
34．
35．或
36．②③
37．/2.25米/米/m/米/m
38．9
39．（1）解：将点，．代入得，

解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴,
∵．
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
  
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴,
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或．

40．（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，

四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，

四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；

如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，

理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，

，
同理可求：，




；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
41．（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为

与x轴另一交点为                               
∴设抛物线为



∴抛物线的表达式为
（2）在抛物线上
∴设
在第一象限


                            

∴当时，有最大值为
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为
由（2）知
设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．
  
①当以为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即

在抛物线上

的坐标为                               
②当以为对角线时
同理可得，即
则
的坐标为                                 
③当以为对角线时
，即
则
的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形．
的坐标为
42．（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
  
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
43．（1）解：①∵，
∴顶点的横坐标为1．
∴当时，，
∴点的坐标是．
设抛物线的函数表达式为，把代入，
得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为，
即．
②如图1，过点作于点．
  
设直线为，把代入，得，
解得，
∴直线为．
同理，直线为．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．
①如图，当时，存在．
记，则．
∵为的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为6．
  
②如图2-2，当时，存在．
记．
∵为的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
    
③如图2-3，当时，存在．记．
   
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
④如图2-4，当时，存在．记．
∵，
∴．
    
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
综上，点的横坐标为．
44．（1）解：①当时，，
∴顶点坐标为．
②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值7．
又
∴当时取得最小值，最小值；
∴当时，．
（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴二次函数的表达式为．
45．（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
  
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
（3）存在，或或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
综上可得：
或或，．
46．（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，

若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，

，
解得，

当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得

综上所述或．
47．（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴

，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；

②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；

如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴

如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或

48．（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，
  
如图，当时，
∴．
49．（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴


，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
50．（1）解：依题意，，
解得：，
∴；
（2）（ⅰ）设直线的解析式为，
∵，
∴
解得：，
∴直线，
如图所示，依题意，，，，
  
∴，
，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，
  
当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）
  
综上所述，．
51．（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如图，当点N在对称轴的右侧时，
∵，
∴对称轴为直线，
  
设，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如图，当点N在对称轴的左侧时，
∵，
∴对称轴为直线，
  
设，，，，
∴，
∴．
综上所述，．
（3）当的外接圆与相切，切点为M时， 最大，
设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接，，交圆于点T，
则，根据三角形外角性质，得，故，
∴最大，  
设与圆交于点H，连接，，根据切线性质，
∴，
作直径，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点E作，垂足为F，过点C作，垂足为G，交于点P，
根据垂径定理，得，四边形是矩形，
∴，
  
根据，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，
∴当最大时，．
52．（1）解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，

即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，
  
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
53．（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
    
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴

，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
（3）解：根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，  
∴，
设，，
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴或，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．