2023年江苏省连云港市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年江苏省连云港市中考二模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省连云港市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（    ）
A．0 B．-2 C．1 D．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．若方程没有实数根，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
5．某篮球队10名队员的体重（单位：公斤）分别为，当他们每人都喝下一瓶同款的纯净水后，测得的体重（单位：公斤）分别为．对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是（    ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（      ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
8．小明遇到这样一道试题：如图1，在平行四边形中，点E是的中点，请利用无刻度直尺作图．
（1）在图1中，请过点E作的平行线交于点F．
（2）在图1中，请过点E作的平行线交于点G．
小明第（1）问的做法是：如图2，①连接交于点O；②连接并延长，交于点F，则即为所求．
小明第（2）问的做法是：如图3，①连接交于点O；②连接并延长，交于点M；③连接交于点N；④连接并延长，交于点G，连接，则即为所求．对小明的解答，下列说法正确的是（    ）

A．两问都正确 B．两问都不正确
C．第（1）问正确，第（2）问错误 D．第（1）问错误，第（2）问正确

二、填空题
9．若使分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．比较大小： ．（用“”、“”或“”填空）
11．生物的遗传信息大多储存在分子上，一个分子直径为，用科学记数法可表示为 .
12．已知，，则的值为 ．
13．一次函数的图像经过点，当时，x的取值范围是 ．
14．如图，是半圆O的直径，点P在的延长线上，切半圆O于点C，连接．若，则 ．

15．如图所示，将扇形沿方向平移得对应扇形，线段交弧点，当时平移停止，若，则两个扇形重叠部分的面积为 ．

16．如图，己知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为边在右侧作．其中，，连接，则的最小值是 ．
  

三、解答题
17．计算．
18．解不等式．
19．解分式方程：
20．某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1.你每周参加家庭劳动时间大约是________h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足，请回答第2个问题：
2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是________（单选）．
A．没时间        B．家长不舍得
C．不喜欢        D．其它
中小学生每周参加家庭劳动时间分为5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第________组；（直接写出答案）
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数是________；（直接写出答案）
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于，请结合上述统计图．对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
21．为阻断流感传播，某社区设置了三个发热检测点，假定甲、乙两人去某个检测点是随机的，且去每个检测点机会均等．
(1)甲在A检测点的概率为________；
(2)求甲、乙两人在不同检测点的概率．
22．在中，，是边上一点，于点，，．

(1)求证：；
(2)当，，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．

(1)求m和n的值；
(2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答案）
(3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为 ．（直接写出答案）
24．无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为90米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．

(1)填空：________，________；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
25．某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为10元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
15
20
25
30
销售量y（千克）
30
25
20
15
商品B的成本为3元/千克，销售单价为6元/千克，但是每天供货总量只有40千克，且当天都能销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1千克商品A，免费送1千克商品B．
(1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)设两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x的函数表达式；
(3)当商品A销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润两种商品的销售总额两种商品的成本）
26．已知二次函数过点、和三点．
(1)求抛物线函数表达式；
(2)将二次函数向右平移个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为4，试求k的大小；
(3)M、N、P是抛物线上互不重合的三点，已知M，N的横坐标分别是m，，点M与点P关于抛物线的对称轴对称，求的度数．
27．【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积．
【问题发现】（1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到．即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为________；（直接写出答案）
  
小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系．类比小明的做法，请完成下列探究：
【类比探究1】（2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，试求四边形的面积．
【类比探究2】（3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长交于点F，试求四边形的面积；

【拓展应用】（4）如图5，在矩形ABCD内，，，点E、F分别在边AB、BC上，，，连接EF，则EF的长为________．（直接写出答案）


参考答案：
1．B
【分析】根据实数的大小比较即可求解．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键．
2．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
3．A
【分析】按照整式运算的法则逐项计算，然后判断即可．
【详解】A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了合并同类项，去括号，同底数幂的除法运算，积的乘方，解决本题的关键是牢记公式与定义．
4．D
【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．
【详解】解：由题可知：“△＜0”，
∴,
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．
5．D
【分析】根据平均数、中位数和众数的定义，以及方差的计算公式进行判断即可．
【详解】解：∵他们每人都喝下一瓶同款的纯净水后，每个人的质量都会增加相同的量，
∴他们的平均质量增加，中位数、众数都要发生改变，而数据的稳定性不变，
∴他们的平均数、众数和中位数改变，而方差不变，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数和方差，解题的关键是熟练掌握相关的定义和方差计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．
6．C
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
7．B
【分析】如图，连接设的直径为，可求出，即可得，进一步可求出．
【详解】解：连接设的直径为，如图，

∵
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．
8．A
【分析】根据平行四边形的性质，得出，再根据中位线的判定，得出是的中位线，再根据三角形中位线的性质，即可判断小明第（1）问的做法；根据平行四边形的性质，得出，，进而得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出，再根据中位线的判定，得出是的中位线，再根据三角形中位线的性质，得出，再根据中位线的判定，得出是的中位线，再根据三角形中位线的性质，得出，再根据中位线的判定，得出是的中位线，再根据三角形中位线的性质，即可判断小明第（2）问的做法．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，即，故小明的作法正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
又∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，故小明的作法正确；
故选：A．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．
【分析】由分母不为零可得，从而可得答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．
10．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算各数，然后再比较即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．在本题中a应为，10的指数为．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，解题的关键是确定n和a的值．
12．8
【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：8
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
13．
【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：，解得：，
∵，
∴y随x增大而增大，
∴当时，x的取值范围是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定次函数的解析式，难度不大．
14．27
【分析】连接，由切线的性质可知是直角三角形，由可得，最后根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接，
∵切于点C，

∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴．
故答案为27．
【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，作辅助线连接圆心和切点、垂直构造直角三角形是解答本题的关键．
15．
【分析】连接，过点作，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据求出结果即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点作，

由平移性质知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在等腰中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，根据题意作出辅助线是解题的关键．
16．
【分析】连接，过点F作交延长线于点，证明，进而证明，分析出点F的轨迹，过点C作的对称点，连接，此时点时，有最小值，为的长，然后利用等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的判性质以及勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：连接，过点F作交延长线于点，
  
，，则
∴，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∴，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，，，
即F点在射线上运动，
过点C作的对称点，连接，作交的延长线于点H，
此时，有最小值，为的长，
∵点C与点关于对称，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的判性质，轴对称求最短路径，勾股定理等知识，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
17．0
【分析】根据绝对值意义、有理数的乘方、算术平方根的定义计算各数，然后再计算加减法即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查绝对值的意义、有理数的乘方、算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．
【分析】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1；依此计算即可求解．
【详解】解：，
去分母得，
去括号得，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
19．
【分析】两边都乘以化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
【详解】解：两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
20．(1)第二组
(2)175人
(3)该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议各学校严控课后作业总量．

【分析】（1）根据中位数是1200个数按从小到大排列后第600和601位的平均数，前两组总人数为603，得到中位数落在第二组；
（2）根据扇形统计图求出C所占的比例为，家庭劳动时间不足两小时的学生为1000人，计算即可；
（3）根据学生的家庭劳动时间没有达到2个小时以上的主要原因是学生没有时间．建议各学校严控课后作业总量．
【详解】（1）∵1200人的中位数是按从小到大排列后第600和601位的平均数，而前两组总人数为：，
∴本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第二组；
故答案为：二；
（2）∵扇形统计图中选择“不喜欢”的人数所占比例为：，
且扇形统计图只统计不足两小时的人数，总人数为：（人），
∴选择“不喜欢”的人数为：（人）；
故答案为：175人；
（3）该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间．建议各学校严控课后作业总量．答案不唯一，言之有理即可．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图．熟练掌握两种统计图的互补性，表示的必要信息，是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．(1)
(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有种等可能得结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：甲在A检测点的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
  
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有种结果，
∴甲、乙两人在不同检测点的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．(1)见解析
(2)．

【分析】（1）先证明，推出，再利用可证明；
（2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，，，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）根据待定系数法由条件可知，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将所给坐标代入函数解析式中，求出m,n的值；
（2）点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得，所以有两种情况,，结合反比例函数的性质，再根据e的取值得出f的取值范围；
（3）画出图形， 由条件算出相应点的坐标，再利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形面积公式等于底×高， 再通过，即可计算出．
【详解】（1）解：∵函数（）的图像过，
∴，解得m＝12．
又∵也在反比例函数图像上，
∴，解得：；
（2）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
当时，，
∵，
故每个分支y随x增大而减小，
故当时，或；
（3）解：把，代入得：，解得：，
即直线的解析式为，
令，则，
∴，
根据题意画图形如下：
，
由题意得：，
过A点作，
∵，，
∴，，
∴在中，，由勾股定理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数综合问题，涉及到勾股定理、菱形的性质等，灵活运用所学知识是关键．
24．(1)75，60
(2)米
(3)100米

【分析】（1）根据平角的性质即可求出，根据直角三角形的性质即可求出；
（2）根据四边形为矩形，可求出和的长度，根据直角三角函数求出，即可求得的高度；
（3）过点A作，垂足为Q，根据直角三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，从而得到三角形为等腰三角形，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出，进而得到的值，再根据直角三角函数即可求出，从而得到答案．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为H，如下图所示，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：75，60；
（2）解：∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
在直角三角形中，，
∴，
∴米；
（3）解：过点A作，垂足为Q，如下图所示，

∵，
∴,
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在，，，
∴，
∴，
在，，
∴，
∴，
∴，
∴此时无人机距离地面的高度为100米．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用直角三角函数，结合特殊角度的三角函数求出相应的边长．
25．(1)
(2)
(3)当商品A的定价为30.5元时，总利润最大，最大利润是330.25元

【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式；
（2）利用总利润两种商品的销售总额两种商品的成本，即可找出w与x之间的函数表达；
（3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为；
（2）解：根据题意得：，
即；
（3）解：∵，
∴，
∴当时，w取得最大值，最大值为330.25，
∴当商品A销售单价定为30.5元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是330.25元．
【点睛】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的相关性质．
26．(1)；
(2)或；
(3)或．

【分析】（1）将、和三点代入，求出a、b、c的值即可得出抛物线函数表达式；
（2）先写出原抛物线向右平移个单位后得到的新抛物线的表达式，将新抛物线与y轴的交点坐标用含有k的式子表示出来．由平移前A、B两点的坐标可求出的长，由于左右平移不改变抛物线与x轴两个交点之间的距离，根据新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为4，分两种情况：新抛物线与y轴的交点坐标大于0和小于0，进行计算即可．
（3）由于M，N的横坐标分别是m，，因此点M，N的坐标分别为，．由于点M与点P关于抛物线的对称轴对称，由此可得P的坐标为．分三种情况讨论：①当点P在N点的右侧时，过点N作于点D，将ND、DP 用含有m的式子表示出来，求出的值，即可知的度数．②当点P在M，N两点之间时，③当点P在M，N两点的左侧时解法同方法①．
【详解】（1）将、和三点代入，得
，                    
  解得 ，
所以抛物线函数表达式为；
（2）因为，
所以将二次函数的图像向右平移个单位，得到一条新抛物线的函数表达式为
，
整理得    ，
所以新抛物线与y轴的交点坐标为．
∵、，
，
∵左右平移不改变抛物线与x轴两个交点之间的距离，所以新抛物线与x轴的两个交点之间距离为4．
当时，由题意可得．
解得，（舍去）．
当时，由题意可得．
解得，（舍去）．
所以k的大小为或；
（3）因为M，N的横坐标分别是m，，
所以点M，N的坐标分别为，．
又因为点M与点P关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线．
所以可得点P的坐标为．
①如图，当点P在N点的右侧时，过点N作于点D，
  
在中，，．
所以，所以．所以．  
②当点P在M，N两点之间时，同理可得．
所以．
  
    
③当点P在M，N两点的左侧时，．
所以的大小为或．
【点睛】本题是一道关于二次函数和三角形的综合题．主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，已知三角形的面积求待定的系数．利用分类讨论法解题是解题的关键．
27．（1）25；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）由旋转可得，，可求面积，即可求解；
（2）由可证， 可得即可求解；
（3）由旋转的性质可得，， 由勾股定理可求，可求，由勾股定理可求的长，由面积和差关系可求解；
（4）由可证，可得， 通过证明， 可得，可求由勾股定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转， 得到，
∴， ，
∴，
∵面积
∴的面积
故答案为: ；
（2）如图，过点D作， 交的延长线于H，
  
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，

∴四边形是正方形，
∴四边形的面积；
（3）如图4， 将绕点D逆时针旋转得到，连接，过点C作于N，
  
，
，
∵， ，
∴，
∴，
∴，

∴，
，





∵四边形的面积，
∴四边形的面积 ；
（4）．
如图5，过点F作，交的延长线于Q，过点Q作，交的延长线于G，交的延长线于H，

∵，
∴四边形是矩形
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，


∴，
∵，，
∴，




，
.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.