2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
2．从今年两会传来的数据看新时代中国发展之变.截至2022年底，我国累计建设开通5G基站2310000个，实现“县县通5G”“村村通宽带”，将2310000这个数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆，若a＝4，b＝1时，则剩下的铁皮的面积为（　　）（π取3）

A．5 B．7 C．8 D．12
4．不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
5．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截是一个轴对称图形，其示意图如图2，若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
7．已知点是的边上一点，根据尺规作图痕迹，射线不一定与平行的是（   ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段．若反比例函数（为常数）的图象经过点，则的值为（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

二、填空题
9．下列各式：①；②；③；④．能用完全平方公式进行因式分解的是 ．（填序号即可）
10．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
11．使得二次根式有意义的的取值范围是 ．
12．如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）

13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．

14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．

三、解答题
15．已知x2＋5x＝﹣2，求代数式（2x＋3）2﹣x（x﹣3）的值．
16．某校初三年级共有3名市级三好学生，其中2名男生1名女生，想从中随机选取两名参加长春市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求选中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码、表示，女生用代码表示）
17．秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．求一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷．
18．如图，四边形内接于，是的直径，，的延长线交于点E，延长交于点P，．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)连接， ，，的长为 　 　．
19．如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，时，则的长为 ．
20．为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.第一次安全常识测试成绩统计表：
分组/分
人数

5

6

m

3
b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：

c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
第一次成绩
28.2

32
第二次成绩
35.8
36.5
37
d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.
e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)______，______．
(2)下列推断合理的是______（填写序号）．
①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．
②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．
(3)若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．
21．某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪＋提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成，
设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为（元），方式二的销售人员的月收入为（元），
(1)请分别写出、与x之间的函数表达式；
(2)哪种薪酬计算方式更适合销售人员？
22．【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

【问题解决】：
(1)如图①，四边形的形状是 　 　；
(2)如图②，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
(3)如图②，若，，则 　 　，＝ 　 　．
23．如图，在中，，，，点P沿方向以每秒2个单位长度运动，点D为AB的中点，连接、，将沿翻折得到，设点P的运动时间为t秒．

(1)线段___________．
(2)求线段的长．（用含t的代数式表示）
(3)当点Q在边右侧时，求点Q到边距离的最大值．
(4)当时，求出t的值．
24．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；
(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

参考答案：
1．C
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案．
【详解】解：从上面看，第一列有一个正方形，第二列有两个正方形，故选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】2310000用科学记数法表示为．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据题意剩下的铁皮的面积为长方形的面积减去圆的面积即可求解．
【详解】解：根据题意，得：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积
＝2ab﹣πb2
＝2×4×1﹣3×1
＝5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查列代数式，解题的关键是根据图形的特点求出阴影部分的面积.
4．A
【分析】移项即可求出不等式的解集．
【详解】∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
5．B
【分析】作于点F，根据等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题
【详解】作于点F，如图，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
6．B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
7．C
【分析】根据菱形的判定、平行线的判定方法判断图形即可．
【详解】、根据同位角相等，两直线平行，可得与平行，故不符合题意；
、根据作图痕迹可知：，从而可证其为菱形，由菱形的性质可得与平行，故不符合题意；
  
、根据尺规作图痕迹，射线不一定与平行，故符合题意；
、根据作图痕迹可知：平分，，则，可得一定与平行，故不符合题意；
  
故选：．
【点睛】此题考查了作图——基本作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
8．B
【分析】如图所示，过点C作轴于D，先求出、，然后根据一线三垂直模型证明得到，进而求出，则，然后把点代入反比例函数解析式中求出k的值即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，
∴，
∵、，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数（为常数）的图象经过点，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．①④/④①
【分析】直接根据公式求解即可．
【详解】，故能用完全平方公式进行因式分解；
，故不能用完全平方公式进行因式分解；
，故不能用完全平方公式进行因式分解；
，故能用完全平方公式进行因式分解；
故答案为：①④.
【点睛】此题考查因式分解，解题关键是完全平方法进行因式分解的公式为．
10．/0.25
【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可求得的的取值范围．
【详解】二次根式有意义，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．/
【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即，再根据圆的基本概念，得出，再根据弧长公式，计算即可．
【详解】解：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵是的直径，，
∴，
∴的长度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
13．289
【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．
14．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定y的取值范围即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为．
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，

当时，，
当时，．
∵方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．
15．3x2+15x+9，3
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x2+5x=-2代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（2x+3）2-x（x-3）
=4x2+12x+9-x2+3x
=3x2+15x+9，
当x2+5x=-2时，原式=3（x2+5x）+9=3×（-2）+9=3．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
16．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，选中一男一女参加比赛的有4种情况，
∴选中一男一女参加比赛的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷
【分析】设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，根据“一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系，列出方程是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)6

【分析】（1）证明，根据，得出，即，根据是的半径，即可证明结论；
（2）连接并延长交于点F，连接，根据是的直径，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，即可得出，在中，，根据三角函数得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：连接并延长交于点F，连接，如图所示：

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，解直角三角形，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据三角形三线合一，则点为的中点，再根据点为的中点，三角形中位线的定义，得，再根据平行四边形的判定，即可；
（2）根据三角形三线合一，则，根据勾股定理，求出，根据，三角形中位线，得，根据，平行四边形的性质，即可．
【详解】（1）∵，平分交于点，
∴点为的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，平分交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形，平行四边形的知识，解题的关键是掌握三角形的三线合一，平行四边形的判定和性质．
20．(1)6，28.5
(2)①②
(3)420（人）

【分析】（1）利用抽取的总人数减去其他组的人数即可求出m，再根据中位数的定义即可求出n的值；
（2）根据比较平均数和中位数即可进行判断；
（3）根据题意求出优秀人数，再利用第二次成绩中优秀人数所占的百分比乘以全校人数即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：，
把第一次的成绩从小到大的顺序排列可知处于中间的两个数是28、29，
∴第一次成绩的中位数是：，
故答案为：6，28.5．
（2）解：第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了，故①合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，他的第二次成绩低于第二次成绩的中位数，故②合理，
故答案为：①②．
（3）解：根据题意可得：第二次成绩在的人数为：（人），
若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，则优秀人数为（人），
（人），
答：估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为420（人）．
【点睛】本题考查统计表和扇形统计图、中位数和平均数及用样本估计总数，熟练掌握找中位数的方法和求出优秀人数是解题的关键．
21．(1)，
(2)当时，薪酬方式一更适合销售人员；当时，两种薪酬方式都适合销售人员；当时，薪酬方式二更适合销售人员．

【分析】（1）方式一的销售人员的月收入等于底薪加上提成（等于销售量乘以每一件的提成），方式二的销售人员的月收入等于提成（等于销售量乘以每一件的提成）即可得；
（2）先画出两个函数的图象，再联立两个函数表达式，求出它们的交点坐标，由此进行分析即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
．
（2）解：由（1）的结果，画出两个函数的图象如下：

联立，
解得，
则当时，；当时，；当时，，
所以当时，薪酬方式一更适合销售人员；当时，两种薪酬方式都适合销售人员；当时，薪酬方式二更适合销售人员．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
22．(1)正方形
(2)，见解析
(3)，

【分析】（1）证明，，，，再证明，可得，可得，可得四边形是菱形，结合，可得四边形是正方形；
（2）如图1，连接，证明，可得，从而可得结论；
（3）如图1，过点N作于点T．证明，可得，设，则，利用勾股定理可得，即，，设，则，可得，证明，设，证明，可得，可得，可得，可得，结合，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：结论：四边形是正方形．
理由：∵是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
（2）结论：．
理由：如图1，连接，
由（1）知，，

∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠知，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴．
（3）如图1，过点N作于点T．
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
即，，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，相似三角形的判定与性质，熟练的利用轴对称的性质解题是关键．
23．(1)
(2)；
(3)点Q到边距离的最大值为1；
(4)t的值为秒或秒．

【分析】（1）由勾股定理求得，再利用直角三角形的性质即可求解；
（2）分点P在和上两种情况讨论；
（3）过点Q作于点E，当D、E、Q三点共线时，则最长，即点Q到边距离有最大，利用三角形中位线定理即可求解；
（4）分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质和性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
或；
综上，；
（3）解：如图，过点Q作于点E，

由题意得点Q在以点D为圆心，为半径的圆上运动，
当时，的长最短，
∴当D、E、Q三点共线时，则最长，即点Q到边距离有最大值，
∵，，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
即点Q到边距离的最大值为1；
（4）解：如图，于点F，

∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
由折叠的性质得，，，
∴，，
∴，即，
解得（舍去）或；
如图，于点G，

则，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
由折叠的性质得，，，
∴，，，
∴，即，
解得（舍去）或；
综上，t的值为秒或秒．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，运用分类思想是解决问题的关键．
24．(1)
(2)或
(3)或或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点D作于点G，交于点H，先求出直线AC的解析式，设，则，证明△EDH∽△EOC得到，即可求出DH=3，据此求解即可；
（3）分D和F为直角顶点进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作于点G，交于点H，
设过点的直线的解析式为，则
，
解得，

∴直线的解析式为，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得或
将分别代入得
∴或；
（3）解：如图1所示，当点D与点C重合时，
∵点A（-4，0），点C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，
∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，
∴∠AOF=∠FOC=45°，
又∵OA=OC，
∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，
∴△OFC是直角三角形，
∴此时点D的坐标为（0，4）；

如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD，
由旋转的性质可得∠DOF=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，
∴C、D、F、O四点共圆，
∴∠FCD=∠FOD=45°，
∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴点D的纵坐标为4，
∴当y=4时，，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（-3，4）；

如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∵FG⊥DH，DH⊥y轴，
∴∠FGD=∠DHO=90°，
∴∠GDF+∠GFD=90°，
又∵∠GDF+∠HDO=90°，
∴∠GFD=∠HDO，
∴△GDF≌△HOD（AAS），
∴GD=OH，GF=DH，
设点D的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴点F的坐标为（，），
∵点F在直线AC：上，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．