2023年广东省梅州市梅县区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省梅州市梅县区中考一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省梅州市梅县区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A．3 B． C．9 D．
2．下列各式计算结果正确的是(   )
A．a+a＝a2 B．(3a)2＝6a2
C．(a+1)2＝a2+1 D．a•a＝a2
3．若直线a、b、c、d在同一平面内，且，，，则（    ）
A． B． C． D．
4．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是：（    ）
A．   B．  
C．   D．  
5．如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则sin∠DFC＝（    ）

A． B． C． D．
6．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
8．下列问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．圆的面积y与圆的半径x
B．汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x
C．小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x
D．三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x
9．如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）
  
A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
10．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，其中点的横坐标为3，当时，的取值范围是（    ）

A．或 B．或
C．或 D．或

二、填空题
11．“嫦娥三号”在月球着陆地点为虹湾，这是月球上最美丽的地标之一，它其实是一个直径达260000米的巨型陨石坑壁．虹湾的直径用科学记数法表示为 米．
12．方程的根是 ．
13．如图，是的中位线，，则 ．

14．已知m-n=6，mn=1，则=
15．如图，在等边三角形中，，为上一点（与点、不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的最小值是 ．


三、解答题
16．计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
17．已知关于、的方程组．根据要求，解答下列问题：
(1)当时，解这个方程组；
(2)若此方程组的解也是方程的一个解，则______．
18．如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的度数．
19．2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率

15
0.1

a
0.2

45
b

60
c
(1)表中___________，___________，___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
20．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
21．如图，AB是O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．

(1)求证：AD是⊙O的切线：
(2)若AB＝10，AC＝8，求AD的长．
22．综合与实践
【问题情境】
通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”．不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”．
【操作实践】
如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点E作交的延长线于点F，令．

【问题探究】
(1)求证：四边形为“标准矩形”．
(2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段，在线段上取一点P，连接，．

①当平分时，求的长；
②当的周长最小时，求的正切值．
23．如图1，若二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接，当的面积最大时，求出点P的坐标；
(3)如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点Q坐标．

参考答案：
1．C
【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
根据相反数的定义可知：的相反数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．D
【详解】根据合并同类项的法则，积的乘方的性质，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项计算后利用排除法求解．
解：A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确；
故选D．
点评：本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，运用完全平方公式时漏掉乘积二倍项是常犯的错误．
3．D
【分析】根据平行线的判定方法解答即可．
【详解】，



故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记同时垂直与同一直线的两直线平行是解题关键．
4．D
【分析】先解不等式，再判断哪个选项正确即可．
【详解】解：解不等式得，
，
在数轴上表示为  ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解不等式和在数轴上表示解集，解题关键是能够熟练解不等式，会在数轴上表示不等式的解集．
5．A
【分析】连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．
【详解】解：连接BD与AC交于点O，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，
∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝＝3，
由勾股定理得，DE＝，
∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△CFD，
∴，
∴DF＝DE＝2，
∴sin∠DFC＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．
6．B
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【详解】原式
故选B．
【点睛】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
7．A
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
根据题意，可列方程组为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
8．C
【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
【详解】解：A．圆的面积与圆的半径的函数关系式为，
，
该函数图象的开口应朝上，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B．设汽车的速度为为常数），
则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数），
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C．小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧，
变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；
D．设三角形的面积为为常数），
则，
为常数），
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系．
9．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D．
【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定．
10．B
【分析】根据正比例函数及反比例函数图像与性质，由正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点可知，与关于原点对称，从而根据点的横坐标为3，得到点的横坐标为，再由确定图像为正比例函数图像在反比例函数图像下方的部分，找出其对应的取值范围即可得到答案．
【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，
与关于原点对称，
点的横坐标为3，
点的横坐标为，
当时，或，
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数综合，涉及图像交点特征、利用函数图像交点求不等式解集等知识，熟练掌握正比例函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
11．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：根据题意可得：
虹湾的直径用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
12．
【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键．
13．4
【分析】由是的中位线，可得，继而得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：是的中位线，
，
∴，
，
∵，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形的中位线及相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．38
【分析】根据完全平方公式即可解题．
【详解】解：∵，m-n=6，mn=1，
∴，
∴，
故答案为：38．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用．
15．
【分析】由平行四边形的性质可得，，当时，此时有最小值，即可求解．
【详解】如图，设与交于点，连接，

四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，，
，，
，
，
当时，此时有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键．
16．--5
【分析】根据实数的性质化简即可求解．
【详解】原式=--4+-1-2×
=--4+-1-
=--5．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
17．(1)
(2)

【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可；
（2）把和组成方程组解出和，再代入原方程可得的值．
【详解】（1）解：当时，原方程组为，
得，，
把代入①得，，
方程组的解为；
（2）解：由已知得，方程组，
解得：，
将代入，
得：，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
18．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先判断四边形是平行四边形，继而根据已知条件推导出，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证；
（2）由矩形的性质得到，再由平行线的性质得到，然后由三角形的内角和求出，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键．
19．(1)30，0.3，0.4
(2)见解析
(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为

【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1），
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）频数分布直方图如图所示：

（3）用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：

A
B
C
d
A

BA
CA
dA
B
AB

CB
dB
C
AC
BC

dC
d
Ad
Bd
Cd

共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．(1)
(2)12元

【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式．
（2）根据总利润=每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：
（2）解：根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据利润公式准确列出方程．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由∠D=∠BFC及同弧所对的圆周角相等及∠AED=90°，求得∠DAO=90°，即可证明AD是⊙O的切线；
（2）先由垂径定理求出AE的长，再由勾股定理求OE的长，然后证明△OAD∽△OEA，列比例式求出AD的长．
【详解】（1）证明：∵∠BFC=∠ODA，∠BFC=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAO=∠BAC+∠DAC=∠D+∠DAC=90°，
∵AD经过⊙O的半径OA的外端，且AD⊥OA
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AC，AC=8，
∴AE=CE=AC=×8=4，
∵OA=OF=AB=5，
∴OE==3，
∵∠OAD=∠OEA=90°，∠AOD=∠EOA，
∴△OAD∽△OEA，
∴，
∴AD=，
故AD的长为．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解第（2）题的关键是探究题中的隐含条件证明三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出结果．
22．(1)见解析
(2)①；②

【分析】（1）由已知得，可证得，得证．
（2）①由，，可得，得，，设，由得，解出即可．
②延长BF至点，使得，连接，交EF于点P，连接PB，则此时的周长最小，由轴对称的性质，得，所以，分别求出，长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为“标准矩形”．
（2）①解：∵DP平分，
∴．
又∵，，
∴（SAS）．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
设，则．
∴，
解得．
∴．
②解：延长BF至点，使得，连接，交EF于点P，连接PB，如解图所示，则此时的周长最小．

∵，，
∴．
∴．
由轴对称的性质，得．
∴．
【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，涉及的知识点有勾股定理，全等三角形的判定和性质，应用轴对称求三角形的周长最短，锐角三角函数值的求法．熟练掌握相关的知识，添加适当的辅助线进行转化是关键．
23．(1)
(2)
(3)或．

【分析】（1）将、代入即可求得函数的解析式；
（2）连接，设 ，由，然后运用二次函数求最值得到t，最后确定P的坐标；
（3）设，过点B作轴，过点Q作交于M，则，可，求出；过点Q作轴交于N，，则，求出．
【详解】（1）解：将、代入可得：
∴，解得，
∴．
（2）解：如图1：连接，设
∵
∴C点的坐标为
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4），
∴AB＝5，OC＝4，
∴
∴，
∵在范围内
∴当时，最大，=6
∴点P的坐标为 ．

（3）解：设，
如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得（舍），
∴；  
如图3，过点Q作轴交于N，

∵ ，
∴，
∴，解得（舍）或，
∴；
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握分类讨论、数形结合思想是解题的关键．