2023年广东省梅州市蕉岭县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省梅州市蕉岭县中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，问物价几何？译文为，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省梅州市蕉岭县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．8的相反数是（    ）
A． B．8 C． D．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是(　　)

A．20° B．22° C．28° D．38°
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二、问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？（　　）
A．118 B．102 C．88 D．78
8．若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则a的值为（    ）
A．2 B．1 C． D．0
9．如图，在半径为6cm的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形OCAB的面积为；④四边形ABOC是菱形其中正确结论的序号是　　

A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
10．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　）
  
A．4 B． C．5 D．

二、填空题
11．分解因式： = ．
12．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，89，91，85，92，90．则这组数据的中位数为 ．
13．已知，那么代数式的值是 ．
14．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，若，则线段的长为 ．

15．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝ ．

16．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是 m.

17．南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”．






…
则展开式中所有项的系数和是 ．

三、解答题
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．先化简，再求值：．其中x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，且x为整数．
20．为纪念“五·四”运动，某校举办了“青春心向党·奋进新时代”的文艺汇演活动，并邀请了8位评委为各节目评分，其中1至3号为专业评委，4至8号为大众评委．活动策划组提出了如下评分方案：

方案一：取各位评委所给分数的平均数．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余6位评委所给分数的平均数．
例如，M节目演出后各个评委所给分数如表：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
评分/分
7.2
7.3
7.4
7.6
8.2
9.8
7.9
7.0
按照方案一，该节目的得分为（分）．
按照方案二，该节目的得分为（分）．
策划组经过讨论，认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此又设计了如下方案：
方案三：先计算1至3号评委所给分数的平均数，4至8号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）．如当时，则．此时该节目的得分为（分）．
请回答下列问题：
(1)你认为“方案一”与“方案二”相比，哪个更合理？请说明理由．
(2)关于评分方案，下列说法正确的有 ．
A．当时，M节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
B．当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
C．当时，M节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；
D．以上说法都不对．
(3)策划组准备从同学们推选出的A，B，C，D，E这5名候选人中随机抽取2人作为主持人，其中同学A，B，C三人在同一年级，请用列表或画树状图的方法求抽到的2名同学恰好在同一年级的概率．
21．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，，，．求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．

(1)求一次函数的解析式：
(2)根据函数的图像，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
23．如图，为⊙O的直径，A为⊙O上一点，点E为的延长线上一点，连接、、，且．
  
(1)求证：为⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径，求阴影部分的面积．
24．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价
甲
乙
进价（元/千克）


售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
25．如图1，已知，抛物线经过、、三点，点P是抛物线上一点．
　
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若，求直线PC的解析式；
(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：二万八千亿 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．B
【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
【详解】解：过C作CD∥直线m，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．B
【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：

红
蓝
蓝
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
黄
（黄，红）
（黄 ，蓝）
（黄 ，蓝）
上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色， 所以可配成紫色的概率是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
7．B
【分析】设共有x人，这个物品的价格是y元，根据每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元，列出二元一次方程组，解方程组即可.
【详解】设共有x人，这个物品的价格是y元，
由题意得：，
解得：，
即这个物品的价格是102元，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程租的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
8．D
【分析】将a当做已知，解原方程组后，根据同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此题结果了．
【详解】解：
解方程组得：
x，y是二元一次方程的解，

即
解得
故选：D
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键．
9．D
【分析】利用垂径定理可对进行判断；根据圆周角定理得到，则为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出，则可对进行判断；通过判断为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对进行判断；利用可对进行判断．
【详解】解：点A是劣弧的中点，
，所以正确；
，，
为等边三角形，
，所以错误；
同理可得为等边三角形，
，
，
扇形OCAB的面积为，所以正确；
，
四边形ABOC是菱形，所以正确．
故选D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
10．B
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把点代入中得，
解得，
∴，
∵点，四边形为正方形，
∴，
设点A横坐标为m，则，
代入得，
解得或（舍去）．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．
11．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
12．89
【分析】根据中位数的定义即可得．
【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为，
则中位数为89，
故答案为：89．
【点睛】本题考查了中位数，熟记定义是解题关键．
13．/
【分析】由可得，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，由可得是解答本题的关键．
14．8
【分析】根据题意，得出垂直平分，再根据垂直平分线的性质，得出，，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而得出，再根据，计算得出，同理得出，再根据，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：垂直平分，
∴，，
在中，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
在中，
∵，
，
，
，
∴．
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
15．2
【分析】由题意易得，，则有，，然后问题可求解．
【详解】解：∵D、E为边AB的三等分点，
∴，
∵EF∥DG∥AC，
∴，，
∴，，
∵AC＝12，
∴，
∴；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．16
【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，
∴，
解得：，
则（m）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．
17．
【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，

当时，展开式的项系数和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键．
18．－1≤x＜2；数轴见解析
【分析】根据不等式性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：
把它们的解集在数轴上表示如下：

∴原不等式组的解集为
【点睛】本题考查了解已于一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集，也考查了用数轴表示不等式的解集．
19．，
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据三角形的三边关系可得，再代入，即可求解．
【详解】解：



∵x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，
∴，即，
∵x为整数，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，三角形的三边关系，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20．(1)方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响．
(2)BC．
(3)

【分析】（1）根据平均数的计算方法，以及“绝端值”对平均数的影响进行解答即可；
（2）根据题意逐项进行计算可得答案；
（3）根据题意画树状图，共有20种等可能的情况数，其中抽到的2名同学恰好在同一年级的情况有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响，
故答案为：方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响．
（2）解：A．当时，M节目按照“方案三”评分的结果为（分），
由于，即“方案三”评分的结果“方案一”评分的结果
因此A不正确；
B．当时，M节目按照“方案三”评分的结果为（分），
当时，M节目按照“方案三”评分的结果分，说明“专业评委”打分所占的比例要比“群众评委”的高，说明评分更注重节目的专业性，
因此B正确；
C．当时，M节目按照“方案三”评分的结果为（分），
由于，即“方案三”的评分结果比“方案一”和“方案二”的评分结果都高；
因此C正确；
D．以上分析可得BC选项均正确，
因此D不正确；
故选：BC．
（3）画树状图如图：

有20种等可能的结果，选中2名同学恰好在同一年级的结果有6种，
∴选中2名同学恰好在同一年级的概率为．
【点睛】本题考查平均数，加权平均数，树状图法求概率等知识，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）运用即可证明；
（2）由得到，，则，再证即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想是解题的关键．
22．(1)
(2)或
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据，求出的面积，设 ，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或；
（3）解：连接，由题意，

，
设，
由题意，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
23．(1)详见解析
(2)

【分析】（1）连接，结合半径相等得出，再根据已知条件，求出即可得出结论．
（2）结合角之间的关系求出的度数，从而求出，利用扇形面积减去的面积即可得出．
【详解】（1）证明：如图所示连接，
  


为直径

又

为⊙O的切线
（2）解：，



过A点作交于H点




【点睛】本题主要考查了切线的定义及性质，扇形面积，三角形面积等知识，熟练掌握切线的性质，扇形面积，运用整体减去部分的方法求阴影面积是解题的关键．
24．(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克
(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元

【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y元，
由题意可知：

甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
，
解得：，即，
在中，，则y随m的增大而减小，
当时，y最大，且为（元），
购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
25．(1)
(2)
(3)是，

【分析】（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，由题意可得tan∠BCM==，求出BM=，再由∠NBM=45°，求出点M（2，1），求直线CM的解析式即为所求；
（3）设P（t，-t2+2t+3），分别由待定系数法求出直线AP的解析式，直线BP的解析式，就能求出CE和CF的长，即可求解．
【详解】（1）解：设，
把、、代入解析式，则
∴
解得，
∴．
（2）解：过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，

∵A（-1，0）、C（0，3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，BC=，
∴tan∠ACO=，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠BCM==，
∴BM=，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴∠NBM=45°，
∴MN=NB=1，
∴M（2，1），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为y=2x+3；
（3）解：的值是为定值．理由如下：
设P（t，t2+2t+3），
设直线AP的解析式为y=k1x+b1，
∴，
∴，
∴y=（3t）x+（3t），
∴E（0，3t），
∴CE=t，
设直线BP的解析式为y=k2x+b2，
∴，
∴，
∴y=（t1）x+3t+3，
∴F（0，3t+3），
∴OF=3t，
∴，
∴的值是为定值．
【点睛】本题是二次函数的综合题，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．