2023年广东省梅州市丰顺县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省梅州市丰顺县中考一模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省梅州市丰顺县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．据国家卫健委统计，截至2022年9月17日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约343000万剂次．数343000用科学记数法表示是（    ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（    ）

A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
5．同时抛掷，两个均匀的小正方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两个正方体朝上的数字分别是，，并以此确定点，那么点落在函数上的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴的交点分别为，，则不等式的解为（    ）
  
A． B． C． D．
7．如图，在 中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的长度为（      ）
  
A．3 B． C． D．
8．某班主任为调查学生课后体育锻炼的情况，其从班里的30名男生和20名女生中，随机调查了五名男生和五名女生的课后锻炼时长，五名男生的体育锻炼时长分别是0.8，1.4，1.2，2.1，1.0（单位：小时/天），其中位数和方差分别记为和，女生的体育锻炼时长分别是1.1，0.9，1.7，1.5，1.3（单位：小时/天），其中位数和方差分别记为和，则下列说法一定正确的是（     ）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，在中，点E，F分别在边上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形是平行四边形的是（     ）
  
①；②；③；④
A．① B．② C．③ D．④
10．如图是二次函数的图象，有如下结论：①；②；③：④．其中正确的结论有（　　）个
  
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
11．计算： ．
12．方程组的解是 ．
13．已知，那么代数式的值是 ．
14．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，若，则线段的长为 ．

15．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．

16．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：
  
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ．

三、解答题
17．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
18．化简求值：，其中整数与，构成三角形的三边．
19．某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：

(1)图中m的值为______，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于______；
(2)统计的这组数据的平均数是______万元，中位数是______万元，众数是______万元；
(3)如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解）
20．如图，点E，A，C，F在同一直线上，，，．
求证：

(1)≌；
(2)四边形是平行四边形．
21．已知一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，且点的横坐标，求：

（1）反比例函数的解析式．
（2）的面积．
（3）直接写出满足时的取值范围．
22．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价
甲
乙
进价（元/千克）


售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
24．如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点Q，以为边作菱形，点N在线段上．设点P的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．
  
(1)当点Q在边上时，的长为　．（用含x的代数式表示）
(2)当点M落在边上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．  
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：343000的3后面有5个数位，用科学记数法表示为，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当∆≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
5．D
【分析】先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在双曲线上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
甲
乙
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
∵一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点P落在函数上的有，
∴点P落在双曲线上的概率为：．
故选：D．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
6．B
【分析】根据直线与两坐标轴的交点分别为，，以及函数的增减性，即可求出不等式的解集．
【详解】解：直线与两坐标轴的交点分别为，，且随的增大而减小，
不等式的解集为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．C
【分析】根据作图可知：，由已知条件可得，最后由勾股定理计算可得的长．
【详解】解：根据作图可知：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据中位数和方差的定义分别求解即可得出答案．
【详解】解：男生体育锻炼时长重新排列为0.8、1.0、1.2、1.4、2.1，其中位数，平均数为，
方差；
女生体育锻炼时长重新排列为0.9，1.1，1.3，1.5，1.7，其中位数，平均数为，
方差；
，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和中位数的定义．
9．A
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，；
∴；
①，不能保证四边形是平行四边形，符合题意；
②∵，，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；不符合题意；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；不符合题意；
④∵，
∴，
∴，
同②即可得到四边形是平行四边形；不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查添加条件证明四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
10．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵二次函数的图象对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，①错误；
当时，，②正确；
∵，
∴，即，③错误；
设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，，
由图象可得，，，
∴当时，即，
∴，
∴，即，④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐条分析4个结论的正误，解决该题型题目时，根据二次函数的图象找出二次函数系数的正负是关键．
11．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则及零指数幂的运算法则分别计算后，根据有理数加法运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：


，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及负整数指数幂的运算及零指数幂，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
12．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
①+②×2得：，
解答：，
把代入②得：，解得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
13．/
【分析】由可得，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，由可得是解答本题的关键．
14．8
【分析】根据题意，得出垂直平分，再根据垂直平分线的性质，得出，，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而得出，再根据，计算得出，同理得出，再根据，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：垂直平分，
∴，，
在中，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
在中，
∵，
，
，
，
∴．
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
15．50
【分析】过点A作AD⊥BD于点D，根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BD于点D，

根据题意得：∠B=30°，
∵AD⊥BD，，
∴米，
即这名滑雪运动员的高度下降了50米．
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．128
【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
•••
当时，展开式的项系数和为，
故答案为：128．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．
17．，数轴见解析
【分析】求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
把不等式的解集表示在数轴上，

∴原不等式组的解集是．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18．，．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据三角形的三边关系求出的范围，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
【详解】解：原式，
，
，
，
∵整数与，构成三角形的三边，
∴，即，
∵和，
∴，
则原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、三角形的三边关系是解题的关键．
19．(1)28；
(2)；18；21
(3)

【分析】（1）用1减去其他情况所占的百分数，用乘上12万元所占的百分数；
（2）所有数据加起来除以数据的个数等于平均数，将一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，奇数个数据最中间的数据即为中位数，偶数个数据最中间两个数据的和的平均数即为中位数，一组数据中出现次数最多的数据即为众数；
（3）用列表法将所有情况列出来即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
；
故答案为：28；；
（2）解：，
平均数为万元，
抽查了25名营业员，
中位数为从大到小排列后的第13个数据，
中位数为18万元，
21出现次数最多，出现了8次，
众数为21万元；
故答案为：；18；21；
（3）解：A等级3人，B等级2人，列表如下：




































一共有20种等可能结果，至少有一个是A等级的有18种，
∴P（至少有一个是A等级）．
【点睛】本题考查了数据的分析和概率的计算，正确理解并掌握平均数、中位数、众数的概念，能熟练用列表法求概率是解决问题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）由（1）可知，≌，
，，
，
，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）或.
【分析】(1)把x=-1代入一次函数的解析式，得到交点（-1,8），即可求反比例函数的解析式；
(2)求出点B的坐标，把三角形AOB的面积适当分割，即可求解；
(3)利用交点横坐标，数形结合思想，分两个象限写出符合题意的不等式即可.
【详解】解：（1）把分别代入，得
，
∴，
把代入，
得 ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为，

（2）设与轴交点为
∴，
解，
得或，
∴，
∴
，
（3）根据图像的意义，知当时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，理解交点的意义，学会数形结合的思想，方程组思想，图形分割思想，不等式思想是解题的关键.
22．(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克
(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元

【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y元，
由题意可知：

甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
，
解得：，即，
在中，，则y随m的增大而减小，
当时，y最大，且为（元），
购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；
（2）过点O作于F，利用即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）过点O作于F，如图，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由题意可得，则可得的长度．
（2）作出点落在边上的图象，由求解．
（3）分类讨论，，并作出图象求解．
【详解】（1），，
，
．
故答案为：．
（2）如图，
    
，
，
，
为等边三角形，
，即，
，
解得．
（3）当时，作于点，
  
，，
，
，
．
当时，，交于点，，
    
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
当时，重叠部分为等边三角形，
  
，
．
综上所述，．
【点睛】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．
25．(1)
(2)，最小值为4
(3)存在，

【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）先求出点，则，进一步得到是等腰直角三角形，则，如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形,由题意可知，则，即，又得到，则= ，利用二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.先证明，则，则，又，得到点M的坐标为，由点M在上，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
则 ，解得，
∴抛物线表达式为；
（2）在中令，得，
∴，
∴    
∵，
∴，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形,，
如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形,
由题意可知 ，
∴，即，
又，  
∴，
∴
=
=
=
∵当P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴，
∵,
∴当时，四边形的面积取得最小值4；
（3）存在，理由如下：
如图②，连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.
  
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，又，
∴点M的坐标为，
∵点M在抛物线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
∴M点的坐标为
【点睛】此题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．