专题13 捆绑法模型-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题13 捆绑法模型
【方法技巧与总结】
捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤：①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【典型例题】
例1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C
【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.
方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.
故选：C.
例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ）
A．34种 B．56种 C．96种 D．144种
【答案】C
【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，有种结果，
讲座和必须相邻，共有种结果，
根据分步计数原理知共有种结果.
故选:C．
例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与队员C相邻，则不同的排法共有（    ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】D
【解析】因为队员A和B不相邻且均与队员C相邻，
所以队员C站在队员A和B的中间，故将队员看作个整体，其内部共有种排法，
而这个整体与其他3名队员进行排列，则有种排法，
所以不同的排法共有种.
故选：D.
例4．（2023·全国·高三专题练习）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ）
A．48 B．72 C．144 D．96
【答案】B
【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法，
再把小吃店与玩具店全排共有种排法，
然后把2家文创店插空全排共有种排法，
所以共有6×2×6＝72种
故选：B.
例5．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（    ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
【答案】B
【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有种坐法，
此时周明家其余人有种坐法，同理李亮家其余人有种坐法，
所以他们不同的坐法有种.
故选：B
例6．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，
由间接法可知，满足条件的排法种数为种.
故选：D.
例7．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（    ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
【答案】D
【解析】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，
故不同的站法共有种.
故选：D.
例8．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．54种
【答案】A
【解析】第一步从3篇文章中选2篇全排列，共有种方法，第二步从4个音频中选2个，共有种方法，第三步将2篇文章捆绑，再与已选取的2个音频进行全排列，共种方法，故所求的总方法数为（种）.
故选：A．
例9．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】分析可知“数”排在第节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，
再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的节，有种排法，
所以不同的安排顺序共有（种）．
故选：C．
例10．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
【答案】C
【解析】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有种不同的排法，
又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式，
由分步计数原理可得，不同的排法共有种，故选C．
例11．（2023·上海·高三专题练习）2014年3月8日，马航航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有个水下机器人，，和个蛙人，，各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水， 和必须相邻安排，则不同的搜寻方式有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】和捆绑，相当于个，先排第一位，则方法数有种，
故选：B.
例12．（2023·甘肃·模拟预测）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
【答案】C
【解析】若丙排月日，共有，若丁排月日，共有，若丙排日且丁排日共有，若不考虑丙，丁的条件限制，共有，∴共有(种）．
考点：1、分步计数原理；2、排列组合．
例13．（2023春·陕西榆林·高二校考期中）A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法共有（    ）
A．24种 B．12种 C．48种 D．36种
【答案】B
【解析】先安排A，B，共有种方法；
再把他们看作一整体，与其他人一起安排，共有种方法；
所以不同的排法共有种.
故选：B.
例14．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）甲乙丙丁戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端､丙和丁相邻的不同排列方式有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】将丙和丁看作一个整体，有种方法；
将乙、戊和丙丁的整体首先安排到两端，则有种方法，再安排甲和剩余的人，有种方法；
根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种.
故选：A.
例15．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校联考期末）五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（    ）
A．24 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【解析】若要求李阳的父母相邻，他的父母先站好有种方法，然后将其看成一个人再与李阳以及李阳的妹妹站成一排有种排法，所以共有种不同的站法.
故选：B.
例16．（2023秋·湖北孝感·高三校联考阶段练习）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为个“冰墩墩”完全相同，将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，
先将甲、乙、丙、丁位运动员全排，然后将、元素插入这位运动员所形成的空中，
且、元素不相邻，则不同的排法种数为.
故选：B.
例17．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若微、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为___________.（用数字作答）.
【答案】24
【解析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有，然后与宫、商、角进行全排有，考虑到顺序问题,
则可排成不同的音序的种数为.
故答案为：24．
例18．（2023·全国·高三专题练习）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_______.
【答案】1296
【解析】将每家人看作一个整体排座有种情况，
3个家庭所有成员内部的排序为种情况，
所以总的情况有种坐法.
故答案为：1296.
例19．（2023·全国·高三专题练习）中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种.
【答案】72
【解析】分别将隶书､草书､楷书当作整体，排法总数为，
隶书内部顺序，草书内部顺序，
故方法总数为种.
故答案为：.
例20．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种．
【答案】
【解析】以全集表示“甲与乙需安排在相邻的两天”，集合表示“乙与丙安排在相邻的两天”，
集合表示“丙安排在周一”，如下图所示：

要选人负责每周周一至周六的疫情防控工作，则只需从除甲、乙、丙以外的人中再抽取人，
全集表示的排法中，将甲、乙两人捆绑，则，
集合表示的排法中，将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，则，
集合表示的排法中，丙排在周一，将甲、乙两人捆绑，则，
集合表示的排法中，丙排在周一，且将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，
则，
因此，满足条件的排法种数为.
故答案为：.
例21．（2023秋·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答）
【答案】
【解析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，
然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.
接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，
其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，
此时共有种排法.
综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法.
故答案为：.
例22．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种．
【答案】144
【解析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能，再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）．
故答案为：144.
例23．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为__．
【答案】576
【解析】可以分步完成：
①甲丁捆绑后排序有种方法，
②捆绑后的甲丁与另外的3人（不包含乙丙）排序，有种方法，
③第②步完成后，有5个空位，去掉与甲相邻的1个空位，将乙丙用插空法排入四个空位中，有种方法.
由分步乘法计数原理，共有种方法．
故答案为：.
例24．（2023·全国·高三专题练习）2名老师和3名学生站成一排照相，则3名学生中有且仅有2人相邻的站法有________种.
【答案】72
【解析】第一步：先取两个学生捆绑，则有种；
第二步：两名老师全排列，则有种；
第三步：两名老师有3个空，将两组学生安排在3个空中的两个，则有种，
则一共有种.
故答案为：72
例25．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁戊5名同学排成一列，若甲不站在排头，乙和丙相邻，则不同的排列方法有______种．
【答案】36
【解析】1、将丁戊排成一排，有种，
2、把乙丙捆绑有种，再插入丁戊所成排的3个空中有种，
3、在第2步成排的后3个空中任选一个空，将甲插入有种，
所以，不同排列方法数有种.
故答案为：36