2023年浙江省衢州市衢江区中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年浙江省衢州市衢江区中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省衢州市衢江区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．单项式的系数是（    ）
A．1 B．3 C． D．
2．如图是由五个大小相同的正方体组成的几何体，则它的俯视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
3．下列各式中，计算结果为的是（    ）
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（   ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为（    ）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，则该函数图象不经过的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为4m/s，则导火线的长应满足的不等式为（    ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．
9．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ）

A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象经过，两点，若，，则的值可能为（    ）
A．1 B．2 C．4 D．6

二、填空题
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
12．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是 .
13．某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
14．如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．

15．如图，点在函数的图象上，过点作轴，交函数的图象于点，交轴于点，．若点在函数的图象上，且在直线的下方，，则点的横坐标是 ．


三、解答题
16．如图，准备在宽24米的迎宾大道路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂长4米，且与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直，灯柱与大道路面垂直，此时恰好为中点．
  
（1）的度数为 ．
（2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂缩短为1米，其它的位置关系不变．则现在路灯的灯柱高度应该比原设计高度缩短了 米．
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．已知：如图，在中，点在的延长线上，且．求证：．

19．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图：

(1)在图1中作的中线．
(2)在图2中找一格点，连接，使与互补．
20．为了解学生心理健康情况，某校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成五个等级：，，，和，并绘制了如图1和图2所示的两幅不完整的统计图．
  
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求本次抽取参与测试的学生人数，并直接补全图1中的统计图；
(2)学校对于测试成绩低于85分的学生有心理健康评估建议，比如培养良好品格、养成科学生活方式、加强自我心理调节等，若该校共有2000名学生，请估计收到评估建议的学生大约有多少人？
21．如图，在中，，是半径，是劣弧上的一点，且．
  
(1)求的度数．
(2)若．求证：四边形是菱形．
22．（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析  可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．

由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号
型
型
报价（万元／台）
20
14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
23．如图1，在正方形中，点在线段上，连接，将沿着折叠得到，延长交于点．
      　　 　　  
(1)求证：．
(2)如图2，当点是中点时，求的值．
(3)如图3，当时，连接并延长交于点，求的值．
24．根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1
电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），按如图建立坐标系（轴在水平方向上），点、、在同一水平线上，经测量，米，斜坡的坡比为．

素材2
若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线轴分别交直线和抛物线于点、．点距离坡面的铅直高度为的长）
任务1
确定电缆形状
求点的坐标及下垂电缆的抛物线表达式．
任务2
判断电缆安全
上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
任务3
探究安装方法
工程队想在坡比为的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为20米，电缆抛物线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？

参考答案：
1．C
【分析】根据单项式系数的定义进行求解即可．
【详解】解：单项式的系数是−3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．
2．D
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形即可解答．
【详解】从上面看到该几何体的图形为：
  
故选D．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图．掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
3．C
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 不是同类项，不能合并，不符合题意；
C．，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂的乘法、除法的法则．
4．A
【分析】根据方差的意义可作出判断即可．
【详解】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是甲，故A正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．A
【分析】过点D作于E，由题意得米，根据求出答案．
【详解】解：如图，过点D作于E，

由题意得O米，
在中，，，
∴栏杆端点A上升的垂直距离米，
故选：A．
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意构建直角三角形是解题的关键．
6．D
【分析】先求出一次函数的解析式，然后判断一次函数图像不经过得象限解题．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∴
∴一次函数的图象过不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图像，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
7．C
【分析】根据题目要求列出不等式即可．
【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
8．B
【分析】过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到计算即可.
【详解】过点D作交于H,

则 ，
，
∵,
∴,
故选:.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
9．B
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．
【详解】设圆心为O，为纸条宽，连接，，

则，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴半径，
即直径为，
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
10．D
【分析】根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线过，两点，易知关于对称轴对称的点为，可知在上方，可得，然后解不等式后进行判断．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
而，两点，则关于对称轴对称的点为：，

∵在上方，
∴，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11．
【分析】根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，注意：分式有意义的条件是分母不为0．
12．
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.
【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
掷的点数大于4的概率为.
故答案为.
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.
13．2
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】解：设此圆锥的底面半径为，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
，

故答案为．
【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．
14．
【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接，

∵是的切线，
∴，即，
又，的半径为3，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
15．或
【分析】过点P作，垂足为D，先求得，由求得，进而求出的值，设点为，然后根据列式即可．
【详解】解：过点P作，垂足为D．

把代入可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴点B的纵坐标与点A相同，都是4，
∴点，
把代入可得：，
∵，
∴，
∴，
设点为，则，，
，
解得：或，
经检验是原方程的解．
∴点P横坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的知识、等腰直角三角形的知识，难度不大，关键是求得反比例函数的解析式，设点为，得方程．
16． /
【分析】（1）利用四边形的内角和即可求出；
（2）延长，交于，由直角三角形的性质求出，的长，即可求出的长，从而问题得解．
【详解】解：（1），
。
，
，
故答案为：
（2）延长，交于点，在中，，
当米时，点为的中点，（米），
，（米），
在中，，（米），
米
当米时，
在中，，
（米），
米，，
（米），（米），（米），
米
高度应该比原设计高度缩短了：米，
故答案为：．
  
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是延长，交于，构造直角三角形．
17．（1）     （2），
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后加减解题；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：

或
，．
【点睛】本题考查实数的运算和一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适，简便的的方法解题．
18．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得，，进而可证得四边形是平行四边形，可得，即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）如图，连接与交点即为中点D，连接即可；
（2）如图，过点A作，则点E即为所作．
【详解】（1）如图，点D即为所作，

（2）如图，点E即为所作，
【点睛】本题考查限定工具作图，掌握矩形的对角线互相平分和两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
20．(1)人，补图见解析
(2)人

【分析】从两个统计图可知样本中B等级的学生人数是人，占调查人数的，根据频率领取即可求出调查总人数，求出C等级的人数即可补全条形统计图；
求出样本中，测试成绩低于85分的学生所占的百分比，进而估计总体中测试成绩低于85分的学生所占的百分比，进而求出相应的人数即可.
【详解】（1）解：(人),C等级的人数为(人),
补全条形统计图如下：
  
（2）(人),
答：该校共有名学生中收到评估建议的学生大约有人.
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提.
21．(1)
(2)见解析

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解；
（2）证，通过“四条边都相等的四边形是菱形”即可求证．
【详解】（1）解：是劣弧上的一点，且，
劣弧的度数为，优弧的度数为，
，；
（2）证明：连接，如图所示：
  
是半径，点在上，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
同理得：，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了圆的相关性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等．掌握相关知识点是解题关键．
22．（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量
（2）1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨
（3）当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元
【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，由题意得到关于、的二元一次方程组并解方程组即可；
（3）设采购型机器人台，由题意可以用表示型机器人的台数，并求得的取值范围．然后用表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨；
故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，
则：，解之可得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；
（3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台），
则：，
解之可得：（为整数），
由题意可知，采购费用为：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，采购费用最低，为（万元），
此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台，
答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质证明，即可得结论；
（2）由（1）可得，结合题意知，设，，可知，由勾股定理可得，即，可得，再利用正切定义即可求解；
（3）由（2）可知，由，设，，，可知，，，由勾股定理可得：，即，可得或（舍去），可知，，过点作，则，得，，利用相似三角形的性质求得和即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知，，，，
则：，，
又∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，，，
∴，
∵点是中点，
∴，
设，，则，，，
∴，
由勾股定理可得：，
即：，
亦即，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，
∵，设，，
∴，，，
由勾股定理可得：，即：，
整理得：，即：，解得：或（舍去），
∴，，
过点作，则，
    
∴，，
∴，即，则，，
，即，
∴．
【点睛】本题属于几何综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，翻折的性质，勾股定理，求正切值，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
24．任务1：点的坐标为，
任务2：这种电缆的架设不符合安全要求，理由见解析
任务3：两个塔柱的水平距离应为米
【分析】任务1：过点作垂直于的延长线，交轴于，利用矩形的性质和解直角三角形可得米，米，进而可得点的坐标，设下垂电缆的抛物线表达式为，代入即可求解；
任务2：由（1）可知：，，，利用待定系数法求得斜坡解析式为，可得电缆与坡面的铅直高度，易知当时，有最小值，即可求解；
任务3：如图，以为坐标原点，方向为轴正方向建立直角坐标系，则，过点作轴，可得电缆抛物线为，设，则，，由斜坡坡比为，可知，，斜坡的解析式为：，可得电缆与坡面的铅直高度，由电缆下垂恰好符合安全高度要求可得，求得，将代入中，求得即可求解．
【详解】解：任务1：过点作垂直于的延长线，交轴于，则四边形，四边形，四边形都是矩形，

∴米，米，米，
则米，
∵斜坡的坡比为，
∴，则米，米，
∴点的坐标为；
∵米，
∴米，
则，，，
设下垂电缆的抛物线表达式为，
将代入，可得：，
解得：，
∴；
任务2：这种电缆的架设不符合安全要求，理由如下：
由（1）可知：，，，
设斜坡解析式为，代入，，
可得：，解得：，
∴斜坡解析式为，
则电缆与坡面的铅直高度，
∵，
∴当时，有最小值，
∴这种电缆的架设不符合安全要求；
任务3：如图，以为坐标原点，方向为轴正方向建立直角坐标系，则，过点作轴，

∵电缆抛物线的形状与任务1相同，
∴电缆抛物线为，
设，则，，
∵斜坡坡比为，
∴，则：，
则斜坡的解析式为：，
则电缆与坡面的铅直高度，
∵电缆下垂恰好符合安全高度要求
∴，即：，
解得：（舍去），
∴，
将代入中，可得：，
解得（舍去），
即：，
∴两个塔柱的水平距离应为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，二次函数在实际生活中的应用，应熟练运用二次函数的性质求最值．