江西省赣州市兴国县2023届高三高考考前最后一卷（全国乙卷）数学（文）试题（含解析）

这是一份江西省赣州市兴国县2023届高三高考考前最后一卷（全国乙卷）数学（文）试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省赣州市兴国县2023届高三高考考前最后一卷（全国乙卷）数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分用如图所示的茎叶图表示，茎叶图中甲运动员每场比赛得分的中位数为18.5，若甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的平均数分别用，表示，标准差分别用，表示，则（    ）
  
A．， B．，
C．， D．，
5．我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”科学地求出了圆周率的结果.他的方法是从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正十二边形、正二十四边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，他通过计算正3072边形的面积估算出了的值.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11
6．（    ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的奇函数，满足是偶函数，且当时，，则（    ）
A． B．0 C．1 D．1012
8．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度（纵坐标不变）后得到函数的图象，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
9．如图，在正四棱台中，，、分别为棱、的中点，则下列结论中一定不成立的是（    ）
  
A．平面 B．
C．平面 D．
10．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
11．已知过抛物线C：的焦点的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，为坐标原点，则的面积为（    ）
A． B． C． D．4
12．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、填空题
13．若实数、满足约束条件，则的最小值是 .
14．已知向量，，且在方向上的投影是，则 .
15．已知双曲线C：，过其右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设为坐标原点，若的面积为面积的2倍，且，则双曲线C的离心率为 .
16．如图，正三角形中，、分别为边、的中点，其中，把沿着翻折至的位置，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 .
  

三、解答题
17．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式;
(2)求使成立的的最小值.
18．随着《年中国诗词大会》在央视持续热播，人们掀起了学习古诗词的热潮，这也使得古诗词书很畅销.某书店统计了连续天中第天来购买古诗词书的人数的相关数据，
如下表所示：

1
2
3
4
5

25
30
40
45
55
(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并预测第天来购买古诗词书的人数；
(2)在《年中国诗词大会》.上集结了“少儿团”、“青年团”、“百行团”、“亲友团”的诗词爱好者.某平台为了解喜欢古诗词与性别的关系，随机调查了位男性，位女性，其中不喜欢古诗词的男性有人，女性有人，能否有的把握认为喜欢古诗词与性别有关?
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；，.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.
  
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
20．已知椭圆C：经过点，且与椭圆有共同的焦点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.若，求点P的坐标.
21．已知函数.
(1)若函数，讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，.
22．在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.
23．已知函数.
  
(1)画出的图象；
(2)若函数的最小值为m，x，y，满足，求证：.

参考答案：
1．C
【分析】利用交集定义直接求解．
【详解】集合，，
．
故选：C．
2．A
【分析】利用复数的除法可化简复数.
【详解】因为，则.
故选：A.
3．A
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，
所以.
故选：A
4．D
【分析】根据甲运动员的中位数求得，根据茎叶图求得平均数和标准差，由此求得正确答案.
【详解】甲运动员得分为：，，，，，，，，
由于甲运动员每场比赛得分的中位数为，，
所以，所以甲运动员得分为：，，，，，，，，
所以，

.
乙运动员得分为：，
，

.
所以，.
故选：D
5．B
【分析】模拟执行程序，即可计算输出值.
【详解】执行第一次循环，；
执行第二次循环，；
执行第三次循环，；
执行第四次循环，.
执行第五次循环，；
执行第六次循环，；
执行第七次循环，.
执行第八次循环，；
执行第九次循环，；
因为，所以结束循环，输出.
故选：B
6．C
【分析】利用诱导公式和余弦两角和公式求解即可.
【详解】


.
故选：C.
7．B
【分析】由奇函数，满足是偶函数，可得函数的周期为，分别求解，从而可得的值.
【详解】已知定义在上的奇函数，所以①，且，
又是偶函数，所以，即②，所以，
由①②可得：，所以，则，则函数的周期为，
当时，，则，所以，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】化简的解析式，然后根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】，

，
所以的最小值为.
故选：D
9．C
【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；取棱的中点，连接、，推导出、相交，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】对于A选项，连接，如下图所示：
  
在正四棱台中，，则且，
因为为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
由正四棱台的几何性质可知，四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，则平面平面，
因为平面，所以，平面，A对；
对于B选项，将正四棱台补成正四棱锥，
连接交于点，则为的中点，连接，
  
因为，为的中点，则，
又因为四边形为正方形，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，故，B对；
对于C选项，取棱的中点，连接、，
  
在梯形中，且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为且，故且，
故四边形为梯形，且、为两腰，则、相交，
又因为平面，从而直线与平面有公共点，
即与平面不平行，C错；
对于D选项，连接，如下图所示：
  
因为，，为的中点，则且，
因为且，所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
若，则，不妨设，，
在平面内，以点为坐标原点，为轴，
过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
  
设点到直线的距离为，则、、、、，
，，则，解得，
即当点到直线的距离为时，，D对.
故选：C.
10．D
【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
故当时，，则，所以，
因为，则，
当时，证明，令，其中，则，
所以函数在上为增函数，故当时，，
所以当时，，则，所以，
所以，因此.
故选：D.
11．B
【分析】先求得抛物线的方程，然后求得直线的方程，求得以及原点到直线的距离，进而求得的面积.
【详解】依题意，，所以抛物线的方程为.
依题意可知与抛物线的准线垂直，
在直角三角形中，，
则，
所以直线的方程为，
由消去并化简得，
易得，，则，
原点到直线的距离为，
所以.
故选：B
  
12．A
【分析】将表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.
【详解】，
由正弦定理得，
，
由于，
所以，
所以，
由于，所以，所以，
所以，则，
函数的开口向上，对称轴为，
所以.
故选：A
13．
【分析】作出可行域，利用线性规划求出的最小值，结合对数函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所示：

联立，可额，即点，
平移直线，当直线经过可行域的顶点时，
直线在轴上的截距最小，则取最小值，
此时，也取最小值，且.
故答案为：.
14．
【分析】根据向量的投影列方程，化简求得的值.
【详解】依题意，（其中），
解得.
故答案为：
15．
【分析】设出直线的方程并与双曲线的渐近线方程联立，求得两点的坐标，根据与面积的关系，求得点的坐标，根据列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由解得，即，
同理可求得，
由于的面积为面积的2倍，所以，
，解得，
此时，由于，
所以①，由于，
所以①可化为，
两边除以得，
即.
故答案为：

16．
【分析】判断出四棱锥的体积最大时平面平面，通过计算等边三角形和等腰梯形的外接圆半径来求得四棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】设分别是的中点，则三点共线，且，
设等边三角形的外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理得，，
设等腰梯形的外接圆圆心为，半径为，
，所以，解得，
故与重合，，
依题意可知，当四棱锥的体积最大时，平面平面.
设得四棱锥外接球的半径为，则，
所以外接球的半径为.
故答案为： .
  
17．(1)
(2)的最小值为2

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出即可；
（2）先求出，再解一元二次不等式即可．
【详解】（1）数列为公差不为0的等差数列，，
，解得，
；
（2），
，
或，
使成立的的最小值为2．
18．(1)回归方程为；预测第天来购买古诗词书的人数约为人
(2)有，理由见解析

【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出关于的线性回归方程，再将代入回归方程可得结果；
（2）根据题中信息列出列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【详解】（1）解：由表格中的数据可得，，
，
，
所以，，，
所以，关于的线性回归方程为，
当时，.
因此，预测第天来购买古诗词书的人数约为人.
（2）解：由题中信息可得如下列联表：

喜欢古诗词
不喜欢古诗词
合计
男性



女性



合计



则，
因此，有的把握认为喜欢古诗词与性别有关.
19．(1)证明见解析
(2)存在，且点为棱的中点

【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）当点为棱的中点时，推导出平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
（2）解：当点为的中点时，平面平面，
  
因为四边形为矩形，则，因为，则，
因为四边形为菱形，则，
因为，则为等边三角形，
因为为的中点，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
因此，当点为的中点时，平面平面.
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆C的标准方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由求得的坐标.
【详解】（1）对于椭圆，，则对于椭圆，也有，
由于椭圆过点，
故，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，则，
由消去并化简得①，
设，则，
，
由于，
所以，
整理得，
，
，，
整理得，则，
此时，对于①，.
  
【点睛】思路点睛：求椭圆的标准方程，主要的思路是根据已知条件求得，是两个未知量，所以需要找到个已知条件来求解.如本题中，焦点以及椭圆所过点的坐标，这就是两个已知条件，由此列方程来求得，从而求得椭圆的标准方程.
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.
（2）转化要证明的不等式，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【详解】（1），
，
当时，在区间上，，单调递增，
当时，若，即时，
在区间上，，单调递增，
若，即时，
函数的开口向上，对称轴，
令，即，
解得，
而，所以是两个正根，
所以在区间上，单调递增，在区间上，
单调递减.
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
（2）要证明：当时，，
即证明：当时，，
即证明：当时，，
构造函数，
，函数在上为减函数，
，所以存在，使，
所以在区间上单调递增，
在区间上，单调递减，

，
即，所以当时，，
所以当时，.
【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调性，在求得导函数后，要对参数进行分类讨论，在分类讨论的时候，要注意做到不重不漏，分类讨论的标准可根据导函数的形式，考虑定义域、一元二次方程的根、判别式等方面来制定.
22．(1)的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为
(2)

【分析】（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.
【详解】（1）的参数方程为，即（为参数），
因为曲线的极坐标方程为，即，
所以化简得，
所以的直角坐标方程为；
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得，
整理，得，
此时，
设两点对应的参数分别为，，则，，
所以，异号，，
所以.
23．(1)图象见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）将表示为分段函数的形式，进而画出的图象.
（2）先求得，根据基本不等式证得不等式成立.
【详解】（1）依题意，，
由此画出的图象如下图所示：
  
（2）由（1）可知，当时，的取得最小值为，
所以，
故，
由于，，
，
所以，
即，
所以，
即.