海南省海南中学2023届高三仿真考试数学试题（含解析）

这是一份海南省海南中学2023届高三仿真考试数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
海南省海南中学2023届高三仿真考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设全集为，集合，若集合满足，则不可能为（    ）
A．或 B．
C． D．
2．已知向量满足，，且，则的夹角为（    ）
A． B． C． D．
3．若，且，则（    ）
A． B． C． D．
4．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（    ）
A．100 B．125 C．150 D．175
5．函数的最小值是（    ）
A．-3 B．-1 C． D．3
6．如图，在山脚下处经过山腰到山顶拉一条电缆，其中，的长为，的长为，在处测得的仰角为，在处测得的仰角为.则此山的高度为（    ）
  
A． B． C． D．
7．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，三棱锥中，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（    ）
  
A． B． C． D．

二、多选题
9．为了研究某城市甲､乙两个智能手机专卖店的销售状况，统计了2023年4月到9月甲､乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（    ）
  
A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在内
B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C．根据甲､乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小
D．根据甲､乙两店的营业额折线图可知，月份的总营业额甲店比乙店少
10．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（    ）
A．ab有最大值 B．有最大值
C．有最小值2 D．有最大值
11．已知数列均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（    ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等差数列
12．如图，在矩形中，和交于点，将沿直线翻折，则正确的是（    ）
    
A．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面
D．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面

三、填空题
13．某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则其表面积为 .
14．已知菱形ABCD的边长为，，点分别在边BC，CD上，且满足，，则 .
15．函数是定义在上的函数，且为的导函数，若，则不等式的解集是 ．

四、双空题
16．椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点， ，若为直角三角形，则 .

五、解答题
17．已知的内角，所对的边分别是，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积，求a.
18．已知正项数列，，，是公差为2的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)记为数列的前n项和，求.
19．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，M，N分别是的中点.且，平面平面.

（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
20．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点，分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点.过点作与轴垂直的直线与椭圆交于点，证明：直线过定点.
21．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：

1
2
3
0





（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若，求，并根据全概率公式求；
(2)是否存在值，使得，请说明理由.
22．已知函数，.
（Ⅰ）求证：曲线在点处的切线方程与实数的取值无关；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：
1．D
【分析】根据补集的概念，先求出，再由子集的概念，即可得出结果.
【详解】因为全集为，集合，所以或，
又集合满足，选项ABC对应的集合都是的子集，而D选项对应的集合显然不是的子集.
故选：D.
2．B
【分析】由数量积的运算法则求得，再根据数量积的定义可得向量夹角．
【详解】由，，
所以，
解得，
则，
又，
所以的夹角为．
故选：B．
3．A
【分析】由，结合复数的运算及复数相等，求得的值，再利用复数的模的计算公式，即可求解.
【详解】由，可得，
所以，解得，所以，
故选：.
4．D
【解析】由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得，进而可求解，得到答案.
【详解】由题意，成绩近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
又由，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键.
5．C
【分析】化简函数，结合二次函数与余弦函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
令，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为.
故选：C.
6．B
【分析】作图分析结合几何图形的性质求解即可.
【详解】如图，设分别为在地平面的投影，，则由题意，，
，故此山高度m.
    
故选：B
7．D
【分析】根据抛物线的定义可得动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，
所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.
所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，
即其最小值是.
      
故选：D
8．A
【分析】根据题目中的垂直关系先找出球心，然后根据勾股定理结合基本不等式求解.
【详解】取中点，连接，设，
依题意，由于是斜边的中线，
故，同理，故，
于是为三棱锥外接球的球心，设该外接球半径为，即，
由勾股定理，，由，
由基本不等式，，即，当时，取得最小值，
于是外接球的表面积的最小值为.
故选：A
  
9．ABD
【分析】根据折线图对选项逐一分析即可知，甲店月营业额的平均值为，可判断A正确；由折线图可知乙店每月的营业额总体呈上升趋势，故B正确；根据折线图可知甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以C错误；易知甲店月份的总营业额为，乙店的总营业额为，所以D正确.
【详解】对于A，甲店月营业额的平均值为，，所以A正确；
对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确；
对于C，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为，
乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以C错误；
对于D，由营业额折线图可知，甲店的月份的总营业额为，
乙店的月份的总营业额为，，所以D正确.
故选：ABD
10．AB
【解析】对A,根据基本不等式求的最大值；
对B,对平方再利用基本不等式求最大值；
对C,根据再展开求解最小值；
对D,对平方再根据基本不等式求最值.
【详解】对A,,当且仅当时取等号.故A正确.
对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确.
对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.
对D, ,即,故有最小值.故D错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.
11．AC
【分析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算分析判断即可
【详解】设等比数列的公比分别为，
对于A，因为，所以数列是以为公比的等比数列，所以A正确，
对于B，若，则，此时数列不是等比数列，所以B错误，
对于C，因为为常数，所以数列是等差数列，所以C正确，
对于D，若，则，此时无意义，所以数列不是等差数列，所以D错误，
故选：AC
12．ABC
【分析】当时,可得面，从而可判断选项A；可得面，判断选项B；取，当将沿直线翻折到时，可判断选项C；若平面，又平面，则，则与与相矛盾，可判断选项D.
【详解】对A，当时，所以此时矩形为正方形，则
将沿直线翻折，若使得面面时,
由，面，面面，
所以面,又面,所以，故选项A正确.
对B，又，，且，
所以面，又面，所以，故选项B正确，
对C，在矩形中，, ，
所以将沿直线翻折时，总有，
取，当将沿直线翻折到时，有，
即，且，则此时满足平面，故C正确.
对D，若平面，又平面，则，
所以在中，为斜边，这与相矛盾.故D不正确.
故选：ABC
13．
【分析】根据表面积公式计算可得.
【详解】因为圆锥的母线，底面半径，
所以圆锥的侧面积，底面积，
所以圆锥的表面积.
故答案为：
14．3
【分析】将分别用的线性组合表示出来，然后根据向量的平行四边形法则结合线段长度求解出的结果.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以为等边三角形，所以，
所以，
故答案为：.

15．
【分析】由导数确定函数单调性，根据单调性分类讨论求解即可.
【详解】由题意可知在单调递增，
又，时，时，；
对于，当时，不等式成立，
当时，，不等式不成立；
当时，，且，不等式成立.
综上不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据函数的单调性及，利用将实数集分为三个区间讨论，即可求出不等式的解，属于中档题.
16． 6 1或
【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义判断为定值，结合图象可判断若为直角三角形，则或为直角，进而可得.
【详解】      
设椭圆的左焦点为，则
所以；
由图可得，若为直角三角形，则或为直角.
当为直角时，为的纵坐标，且横坐标均为，
故，由可得.
当为直角时，将与椭圆方程联立，解得，
则，，又因为，
∴，
即，解得.
故答案为：6；1或
17．（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A的大小；
（2）利用面积公式以及余弦定理，解出的值．
【详解】（1）因为，由正弦定理得；

所以
得
因
故
（2）
得



所以
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由题意可得，又，再结合等差数列的求和公式即可求出，最后由等差数列的定义即可证明；
（2）由裂项相消法求解即可
【详解】（1）由题意，，
因为是首项为3公差为2的等差数列，
所以，

，
又因为，所以，
故，
所以是等差数列.
（2）由（1）得，故，
.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先证是正三角形，从而，从而平面，从而，结论得证.
（2）根据三棱锥的体积为求出，从而通过建立空间直角坐标系来求.
【详解】（1）连接，显然且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，∴是正三角形，∴，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵，且，
∴平面.

（2）连接，易知，∴.
在中，，且，
∴，，
，∴
以D为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
，
设平面的一个法向量，
，∴，∴，取；
设平面的一个法向量，
，∴，∴，取；
∴，，，
设二面角所成的角为，，
经观察知为锐角，所以二面角的余弦值.
20．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由已知求得a，c，可得出椭圆的标准方程；
（2）设，，则，直线，与椭圆的方程联立，得出根与系数的关系，代入直线QB的方程中，可得直线恒过的定点.
【详解】解：（1）因为过椭圆的左、右焦点倾斜角为的两条直线间的距离为.所以，所以，
又因为椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，直线，则，
因为直线与坐标轴不垂直，所以直线，
所以，
由，得，所以，
所以，
所以直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系之定点问题，关键在于联立直线与椭圆的方程，得出根与系数的关系，并代入所求的直线中，得出定点.
21．(1)，
(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出，计算出，然后利用全概率公式可求得结果，
（2）假设存在，使，由于，两式相乘后得，设，利用导数可求出其最小值进行判断.
【详解】（1）当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得

又，所以.
（2）由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.
【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查离散型随机变量的分布列，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据概率和为1，和期望公式列方程，化简后利用导数解决，考查数学计算能力，属于较难题.
22．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）求出导函数，并求出以及，求出切线方程即可证出.
（Ⅱ）讨论或，分离参数，转化为求函数的最值，利用导数求出函数的最值即可求解.
【详解】（Ⅰ）由，
则，
，由，
所以在点处的切线方程为，
所以在点处的切线方程与实数的取值无关，即证.
（Ⅱ）对恒成立，
即对恒成立，
对恒成立，
当时，恒成立，
当时，对恒成立，
令，

，
令，解得，
在，上单调递增，在上单调递减，
，
，
故实数的取值范围为.