2023年陕西省西安市庆安初级中学第五次模考数学试题（含解析）

这是一份2023年陕西省西安市庆安初级中学第五次模考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省西安市庆安初级中学第五次模考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值是（　　）
A． B．3 C． D．
2．志愿服务传递爱心，传播文明．下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列各式运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（    ）
A．当AC⊥BD时，它是矩形 B．当AC＝BD时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是正方形 D．当AB＝BC时，它是菱形
5．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（　　）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
7．如图，分别与相切于，两点．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…

0
1
3
…
y
…
6



…
下列结论：
①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（    ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④

二、填空题
9．下列实数：，，中最小的实数是 ．
10．如图，将绕点C顺时针旋转得到，边相交于点F，若，则的度数为 ．

11．把这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为 ．

12．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，反比例函数的图象与BC交于点D(1，4)，与AB交于点E，则E点的坐标是 ．

13．如图，四边形ABCD中，ABCD，AD=5，AB=BC=BD=6.5，则∠ACD的正切值是 ．


三、解答题
14．计算：．
15．解不等式组：
16．
17．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°．在边BC上求作一点D，连接AD，使得∠C+∠CAD=90°；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

18．如图，点A、B、C、D在直线l上，，．
求证：．

19．如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点上．

(1)以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为；
(2)点和点之间的距离是________．
20．在如图所示的电路图中，有四个断开的开关、、、和一个灯泡．

（1）若任意闭合其中一个开关，则灯泡发亮的概率为 ；
（2）若任意闭合其中两个开关，请用列表法或画树状图法求灯泡发亮的概率．
21．如图，为测量某建筑物的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的C点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E点处，在E点测得该建筑物顶端A的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点在同一平面内，斜坡CD的坡度．请根据小刚的测量数据，计算出建筑物AB的高度．（结果要求精确到个位，参考数据：）

22．某商店王老板借助网络平台了解到A、B两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：

A款杯子
B款杯子
进价（元/个）
100
85
售价（元/个）
150
120
王老板计划购进A、B两款网红杯子共160个进行销售，设购进A款杯子x个，A、B两款网红杯子全部售完后获得的总利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若王老板计划用不超过15000元资金一次性购进A、B两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．
23．寒假归来，为检测初三同学假期锻炼的效果并为一个月后的体考做准备，学校组织了一次体育模拟考试，考试后体育王老师为了解所带A、B两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取10名同学的立定跳远成绩（满分15分）进行整理、描述，分析（立定跳远成绩用x表示，x为整数，共分为3个等级：为不合格，为良好，为优秀），下面给出了部分信息：
A班10名同学立定跳远成绩：7，15，15，13，11，15，9，10，13，12
B班立定跳远成绩是“良好”等级的有4人，其成绩分别是：10，12，11，11．

众数
中位数
平均数
方差
优秀等级比例
A班立定跳远成绩
a
12.5
12
6.8
50％
B班立定跳远成绩
11
b
12
3.4
40％
B班立定跳远情况

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：表中的______，______；
(2)初三学生共有2000人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？
(3)根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由（写出一条理由即可）．
24．如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求AE的长．
25．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标．
26．（1）问题提出：如图①，在中，，BD是的平分线，，求的面积．
（2）问题解决：如图②，是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形ABCD，，BD是一条长200米的健身步道，且BD是的平分线，．为了增加花卉的种植面积，规划在BD上找点P，在BC上找点Q，沿线段AP、PQ修建两条健身步道，将四边形ABCD分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉，若，设BP的长为x（米），种植花卉区域的面积为y（平方米）．
①求y与x之间的函数关系式；
②试求当新修建的健身步道总长度最小时，种植花卉区域的面积．


参考答案：
1．B
【分析】一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解：的绝对值：，
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的问题，解题的关键是掌握绝对值的定义．
2．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、a2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
4．D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解： A、当AC⊥BD时，它是菱形，说法错误，不符合题意；
B、当AC=BD时，它是矩形，说法错误，不符合题意；
C、当AC=BD且AC⊥BD时，它是正方形，说法错误，不符合题意；
D、当AB＝BC时，它是菱形，说法正确，符合题意；
故选：D．

【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
5．A
【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形状，从而可以求得sin∠BAC的值．
【详解】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为a，
则CDa，
ACa，
AD2a，
∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sin∠BAC＝sin∠CAD，
故选：A．

【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状．
6．A
【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后
得到的解析式为：，
化简得：，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．
7．C
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
8．B
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
由题意知：，
解得，
∴二次函数的解析式为，
①函数图象开口向上，故①选项正确；
②对称轴为直线，故②选项错误；
③当时，函数值y随x的增大而增大，故③选项正确；
④方程的解为，，故④选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
9．－2
【分析】先判断-与-2的大小，再根据实数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：∵3<4，
∴<2，
∴->-2，
∴，即最小是数是-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，还考查了无理数的估算．
10．
【分析】由旋转的性质得到，则由三角形外角的性质即可得到．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】．本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．1
【分析】由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程，列出方程，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．
12．
【分析】由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，则根据的坐标求得．
【详解】解：∵矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，
∴的横坐标为5，
由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，
反比例函数，
在反比例函数图象上
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，掌握矩形的性质，反比例函数的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据已知AB=BC=BD=6.5，可得点A、D、C在以B为圆心，BA长为半径的圆上，再利用直径所对的圆周角是直角，想到延长AB交⊙B于点E，然后利用平行线的性质可得∠ACD=∠CAE，最后在Rt△ACE中即可解答．
【详解】解：∵AB=BC=BD=6.5，
∴点A、D、C在以B为圆心，BA长为半径的圆上，延长AB交⊙B于点E，

∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠DCB=∠CBE，∠ACD=∠CAE，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABD=∠CBE，
∴AD=CE=5，
∵AE是⊙B的直径，
∴∠ACE=90°，
在Rt△ACE中，AE=2AB=13，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形作辅助圆是解题的关键．
14．．
【分析】直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案．
【详解】解：原式=
=
=．
15．-1 【分析】分别计算两个不等式的解集，再写出公共解集即可
【详解】解：
由①得：5x>-5
x>-1
由②得：3x-3≤x+5
x≤4
∴不等式组的解集为：-1 【点睛】本题考查解不等式组，正确解不等式是关键，找到两个不等式的公共解集是重点
16．无解
【分析】解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要进行检验．
【详解】解：，
两边同乘得，
解这个方程得，
经检验是增根，所以原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分．
17．见解析
【分析】以点A为圆心，任意长为半径画弧，交BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点A，与BC的交点即为点D．
【详解】解：如图，点D即为所求，此时∠C+∠CAD=90°．

【点睛】此题考查了作三角形的垂线，正确掌握高线的作法是解题的关键．
18．见解析
【分析】证明，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握证明直角三角形全等，是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)5

【分析】（1）分别找出的中点、、，顺次连接、、即可得到；
（2）根据两点之间的距离公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：如图，点和点之间的距离是5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了网格中作位似图形．解题的关键是掌握位似图形的概念及作图方法．
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；
（2）根据题意，列表如下

























由表可知，任意闭合两个开关共有种情况，其中能使灯泡发光的情况有种
（灯泡发光）．
【点睛】本题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键．
21．建筑物的高度约为米
【分析】过点作，垂足为，延长交于点，则，根据斜坡的坡度，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，

则，
∵斜坡的坡度，
设，则，
在中，，
，
∴
解得，
∴，

在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴建筑物的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．(1)
(2)A款网红杯子购买93个，B款网红杯子购买67个；获得最大利润6995元

【分析】（1）根据总利润=A款网红杯子的利润+B款网红杯子的利润即可求得函数关系式；
（2）由题意可求得x的取值范围，根据（1）中得到的函数关系式即可求得最大利润及进货数量．
【详解】（1）由题意得：，
化简得：，
即y与x的函数关系式为：．
（2）∵王老板计划用不超过15000元资金一次性购进A、B两款网红杯子，
∴，
解得：，
∵x为非负整数，
∴．
∵，且，
∴当x=93时，y取得最大值，且最大值为6995，
即A款网红杯子购买93个，B款网红杯子购买160-93=67（个）时，获得最大利润6995元．
【点睛】本题是一次函数与不等式的综合，考查了一次函数的图像与性质，解一元一次不等式等知识，根据题意列出函数关系式、利用一次函数的性质是解答本题的关键．注意本题中自变量x只能取非负整数．
23．(1)15，11.5
(2)400人
(3)A班的成绩更好，理由：A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%

【分析】（1）先求出B班“优秀”等级的人数，即可求出B班“不合格”等级的人数，再根据中位数、众数的定义即可作答；
（2）统计出A、B班“不合格”的人数，继而求解出样本中的不合格率，即可估计出全年级不合格人数；
（3）结合众数、平均数、方差、中位数以及优秀率作答即可．
【详解】（1）将A班成绩从小到大排列：7，9，10，11，12，13，13，15，15，15，
∴A班的众数为：15，故，
B班优秀的人数为：（人），
则B班不合格的人数为：（人）
将B班成绩从小到大排列：不合格（2人），10，11，11，12，优秀（4人），
则B班中位数为：，故；
（2）A、B班中不合格比例为：，
即：（人），
答：估计初三年级立定跳远成绩不合格的有400人；
（3）∵A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%，
∴A班的成绩更好，
即A班的成绩更好，理由：A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了中位数、众数、方差、平均数、扇形统计图以及用样本估计总体等知识，注重数形结合，并掌握利用中位数、众数、方差、平均数等参数做决策是解答本题的关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；
(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）证明：






（2）解：如图：连接BE

是的直径，AB=4
，
是的切线


又


又
，解得
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．
25．(1)
(2)或．

【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当为矩形对角线时，当为对角线时，如图，再结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，当为矩形对角线时，

∵，，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，如图，

由矩形可得，
此时，重合，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，矩形的性质与判定，利用数形结合的方法解题是关键．
26．（1）；（2）①；②总长度最小时，种植花卉区域的面积为平方米．
【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质可得，解即可求解；
（2）①过点作，连接，证明，，根据即可求解；
②根据①可得，当时，取得最小值，即总长度最小，将代入关系式即可求解．
【详解】（1）如图，过点作于点，

在中，，，
，
为的角平分线，
，，
，
即，
，则，
设，
，
，
解得，
；
（2）如图，过点作，连接，

是的角平分线，，，，
，，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，
，



，
，
②，由①可得，当时，取得最小值，
此时中，，
，
，
即总长度最小时，种植花卉区域的面积为平方米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，二次函数的应用，垂线段最短，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．