2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、辉县市百泉镇初级中学二模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、辉县市百泉镇初级中学二模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、辉县市百泉镇初级中学二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中，绝对值最小的是（    ）
A． B． C．0 D．3
2．锂是一种银白色、质软、密度最小的金属，锂原子的半径为，已知，则锂原子的半径用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列不是正方体展开图的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
4．下列各式中，运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（    ）
A．某项比赛中，强队战胜弱队是必然事件
B．神舟十四号飞船发射前的零件检查，选择抽样调查方式
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为2的概率是
D．数据1，，，0的方差比数据，，0，1的方差大
7．已知方程□．在□中添加个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是（    ）
A．0 B．1 C． D．
8．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ）
  
A． B． C． D．
9．我们知道，五边形具有不稳定性．正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，点P为边的中点，固定边，将正五边形向右推，使点A、B、C三点共线，且点C落在y轴上，如图2所示，点P的对应点，则此时点D的坐标为（    ）
  
A． B． C． D．
10．在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“纵变点”．例如：点的“纵变点”为，点的“纵变点”为．若点A在直线上，点A的“纵变点”在第三象限，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．分式方程的解是 ．
12．如图，，，则的度数为 ．
  
13．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为，则k的值为 ．
14．如图，在矩形中，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径画弧，交于点E，若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为 ．

15．在中，，有一个锐角为，．点D为的中点，连接，则点C到中线的距离为 ．

三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．在“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识测试（满分：100分）．测试完成后，在九（1）班和九（2）班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：
九（1）班20名同学的测试成绩统计如下：
82，94，86，90，100，98，96，100，100，98，96，94，88，100，86，100，100，100，98，94．
九（2）20名同学的测试成绩统计如图所示：
九（2）班抽取同学测试成绩频数分布直方图
  
其中，九（2）班20名同学的测试成绩高于92，但不超过96分的成绩为：94，96，96，94，96，96．
九（1）班和九（2）班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
九（1）班
95
97
n
九（2）班
95
m
98
(1)根据以上信息可以求出：__________，__________；
(2)你认为九（1）、九（2）两个班哪个班的学生测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
(3)若该校九年级有1200人，规定96分以上为优秀，请估计该校参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？
18．中岳庙，位于河南省登封市嵩山南麓，是五岳中现存规模最大，保存较完整的古建筑群，同时也是河南省规模最为巨大、最完整的古代建筑群，中岳庙的中轴线是条由青石板铺成的大甭道，沿中轴线从南向北，由低而高，依次为中华门、遥参亭、天中阁、配天作镇坊、祟圣门、化三门、峻极门、嵩高峻极坊、峻极殿、中岳寝殿、御书楼．某数学兴趣小组通过所学知识测量中岳庙中轴线的长．他们把测量中岳庙中轴线的长作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在中岳庙正后方山上点A处用测角仪测得点（中华门的俯角为，测得点（御书楼）的俯角为．已知点的高度．为了减小测量误差，小组在测量两个俯角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题
测量中岳庙中轴线的长
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图

说明：线段表示中岳庙中轴线的长，点、、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值








…




任务一：表中__________，__________；
任务二：请你帮小组的同学求出中岳庙中轴线的长（结果精确到，参考数据，，，）；
任务三：已知中岳庙的中轴线的实际长度为．试分析数学兴趣小组测量数据不准确的原因（写出一条即可）．
19．【教材呈现】如图是人教版九年级上册第86页部分内容：
圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
如图，已知：A、B、C三点在上，，求证：为直径．

证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角，
∴，且．
∴，点O在线段上，即三点共线，
则为的直径．上述推理：得．
【定理应用】如图1，四边形为圆内接四边形，是的直径，过点C作的切线，与的延长线交于点E．平分，求证：．
【拓展应用】如图2，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点E是的中点，连接．若，求的面积．

20．北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元．
(1)求购进A、B两种滑雪板的单价；
(2)若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？
21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)设点为抛物线上一点，当时，，求代数式的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象经过，两点，．
  
(1)求，两点的坐标；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(3)线段、分别与（2）中所作的垂直平分线相交于点、．若点为轴上一动点求的最小值．
23．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
如图23.4.2，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：

，且，
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
【定理证明】请根据教材内容，结合图1，写出证明过程．
【定理应用】如图2，在矩形中，，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连接、、．

（1）当时，与的数量关系是__________，的值为__________；
（2）如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接．
①求的度数；
②直接写出的值．

参考答案：
1．C
【分析】根据绝对值的化简，实数的大小比较，计算判断即可．
【详解】∵，，，，
∴绝对值最小的数是0．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．
2．B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：由题意可得：．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．B
【分析】根据正方体常见展开图判断即可．
【详解】由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故B选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的常见展开图是解题的关键．
4．D
【分析】根据二次根式的减法法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方的运算法则对各项进行计算即可．
【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不合题意；
B．原式，不合题意；
C．原式，不合题意；
D．原式，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．
5．C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于坐标原点对称的点位于第一象限，
点在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
6．D
【分析】根据事件的分类、调查方式、简单事件的概率、方差的意义分别进行判断即可．
【详解】解：选项A中的事件是随机事件，此选项错误，不符合题意；
选项B中的调查，应采用全面调查，此选项错误，不符合题意；
选项C中掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为2的概率是，此选项错误，不符合题意；
选项D中数据1，，，0比数据，，0，1波动大，故前者的方差比后者大，
故选：D．
【点睛】此题考查了事件的分类、调查方式、简单事件的概率、方差的意义，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
7．B
【分析】设□中的数字为a，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】设□中添加的数字为a，则方程为，
根据题意，得，且，
解得且，
∴符合题意的只有选项B．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．C
【分析】图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一．
【详解】如下图．
  
∵小正六边形的边长是大正六边形边长的，即
由知，，
∴
∴阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的．
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．
故选C．
【点睛】本题考查了几何概率，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
9．D
【分析】如图2中，连接，分别过、B作x轴的垂线，垂足分别为点M、N．求出点B的坐标，证明四边形是菱形，推出D，B关于对称，可得结论．
【详解】∵，
∴，，
由正五边形的性质可知，，
∴点B为的中点，
∴，
如图，连接，分别过、B作x轴的垂线，垂足分别为点M、N．
  
∴，易知为的中位线，
∴，，，
∴点，
∵，
∴四边形为菱形，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．D
【分析】根据“纵变点”的定义可知且在第二象限，代入上得，然后根据列出关于m的不等式求解即可．
【详解】∵在第三象限，
∴，，
∴且在第二象限，
∵点A在直线上，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，平面直角坐标系点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，求出且在第二象限是解答本题的关键．
11．
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当，时，，
是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．/130度
【分析】延长交于点，根据三角形的外角性质得出的度数，再根据垂直定义结合三角形的外角性质即可得到的度数．
【详解】解：如图，延长交于点，
  
则有，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，作出辅助线，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律，得到平移的解析式，后建立等式计算即可．
【详解】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
14．
【分析】连接交于点F，利用矩形的性质证明，可得，进而可得，即可求解．
【详解】如图，连接交于点F，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O为的中点，点E为的中点，
∴，

在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，证明是解题关键．
15．或
【分析】分两种情况，由直角三角形的性质求出长，得到长，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：分两种情况：
①如图，当，

在中，，，
∴，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
在中，，
∴．
②如图，当，在中，，，

∴，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
在中，，
∴．
综上可知，点C到中线的距离为或．
【点睛】本题考查勾股定理，含角的直角三角形，三角形的面积，关键是要分两种情况讨论．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据立方根，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
【点睛】本题考查了立方根，负整数指数幂，零指数幂，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．(1)96；100
(2)九（1）的学生的测试成绩较好，理由：两个年级的平均成绩一样，而九（1）班的中位数、众数均高于九（2）班，说明就（1）班的学生测试成绩较好．
(3)人

【分析】（1）按照中位数和众数定义进行求解即可；、
（2）从平均数、中位数、众数三个方面进行分析即可；
（3）用全校人数乘以九（1）、九（2）两个班抽取的学生总数中优秀学生占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由直方图可知，九（2）班的测试成绩20个数据按从小到大的顺序排列，第10、11个数分别为96．96，
∵九（2）班的数据的中位数：，
∴，
甲班的成绩出现次数最多的是100，共出现了7次，
∴众数．
故答案为：96；100
（2）根据以上数据，九（1）的学生的测试成绩较好．理由：两个年级的平均成绩一样，而九（1）班的中位数、众数均高于九（2）班，说明就（1）班的学生测试成绩较好．
（3）（人），
答：估计该校参加此次测试的学生中优秀的学生有人．
【点睛】此题考查了频数分布直方图，中位数、众数、平均数等统计量，样本估计总体等知识，读懂题意，准确求解是解题的关键．
18．任务一：；；任务二：；任务三：导致计算结果产生误差的原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等．
【分析】任务一：根据算术平均数的计算方法，进行计算即可解答；
任务二：根据题意可得：，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
任务三：从测量步骤中需要注意的事项考虑，即可解答．
【详解】解：任务一：由题意得：，，
故答案为：，，
任务二：由题意可知米，，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，∴，
∴，解得：，
∴中岳庙的中轴线的长度为．
任务三：导致计算结果产生误差的原因可能是：皮尺未拉直；测角仪摆放不平衡等．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．【定理应用】证明见解析；【拓展应用】
【分析】定理应用：连接，由切线的性质得出，证出，，由相似三角形的判定可得出结论；
拓展应用：连接，过点C作于点F，证明在以为直径的圆上，由等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】定理应用：证明：如图，连接，

∵为的切线，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴．
拓展应用：如图，连接，过点C作于点F，

∵是等边三角形，点E是BC的中点，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴A、E、C、D在以为直径的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
20．(1)购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元
(2)5种

【分析】（1）设购进A种滑雪板的单价是x元，B种滑雪板的单价是y元，根据“购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购进m副A种滑雪板，则购进副B种滑雪板，根据“购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可求出m的取值范围，结合m，均为正整数，即可得出该校共有5种购买方案．
【详解】（1）设购进A种滑雪板的单价是x元，B种滑雪板的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元；
（2）设该校购进m副A种滑雪板，则购进副B种滑雪板，
根据题意得：，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为76，78，80，82，84，
∴该校共有5种购买方案．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
21．(1)，点B的坐标为
(2)25

【分析】（1）把代入求出a的值，即可得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点B即可；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，得到当时，y取最大值为4，分别求出和时的函数值，得到当时，，进一步求出代数式的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴交A、B两点，
当时，，
解得，，
∴点B的坐标为．
（2）∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴时，y取最大值为4，
将代入得，
将代入得，
∴当时，，
∴．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式、抛物线与x轴交点、函数的取值范围等知识，根据题意准确求解是解题的关键．
22．(1)，
(2)见解析
(3)

【分析】（1）将点，两点，代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据题意，作出线段的垂直平分线；
（3）过点作轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，在中，勾股定理求得，设，，在中，，作点关于轴的对称点，则，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为．过点作轴，交的延长线于点，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点，
∴，解得，（负值舍去），
∴，
∴，
，解得（负值舍去），
∴，
∴．
（2）解：如图，直线即为所求．
  
（3）如图，过点作轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，
  
∵，
∴，，
在中，，
∵垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
，
设，，在中，，
即，解得（负值舍去），
∴，
∴，，作点关于轴的对称点，则，连接，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为．
过点作轴，交的延长线于点G，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，作垂直平分线，求正切，勾股定理，轴对称求线段和的最小值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）（或，；（2）①；②
【分析】
[定理证明]可以证明, 进一步得出结论；
[定理应用]可证明点是的中点，进而得出四边形是矩形，进一步得出结果;
①连接, 可证明是等边三角形，进一步得出结果；
②连接,作于, 则 , , 解 表示出, 进而解求得的值．
【详解】解：【定理证明】证明：在中，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，
∵，
∴∽，
∴，，
∴，．
【定理应用】（1）如图，

由于，
∴，，
∴，，（或．
∵点N为的中点，点O为的中点，
∴为的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①如图，

连接,
由定理可得：
∵,

∵是的中点,

∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∴；
②如图3,

连接,作于,则,
∵,
∴,
在中,,
∴,
在中, ，
由勾股定理得，

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理证明和运用，平行四边形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质形,解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用三角形中位线定理.