2023年江苏省连云港市东海县东海县西部五校联考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年江苏省连云港市东海县东海县西部五校联考三模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省连云港市东海县东海县西部五校联考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四个数中最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．下列图形中不是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．已知点在反比例函数的图像上，则k的值是（    ）
A． B．2 C．4 D．8
4．某班5位同学的身高分别是155，160，160，161，169（单位：厘米），这组数据中，下列说法错误的是（    ）
A．众数是160 B．中位数是160 C．平均数是161 D．方差是20
5．如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（    ）
    
A． B． C． D．
6．抛物线的顶点坐标是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（      ）

A．3 B．2 C．1 D．0
8．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图像上的一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（    ）
  
A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小

二、填空题
9．若式子1＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
11．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
12．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为

13．若抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是 ．
14．在一个不透明的盒子中装有许多球，它们除颜色不同外，其余均相同．已知有8个白球，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，盒中共有球 个．
15．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷 后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷 顶．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．


三、解答题
17．计算．
18．化简：．
19．求不等式组的正整数解．
20．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：
填写下表：

中位数
众数
随机抽取的50人的社会实践活动成绩单位：分


估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．

21．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到_____元购物券，至多可得到_______元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．
22．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．
23．如图所示，一只渔船由西向东沿水平直线行驶，在航线的正南方有两个航标C、D．渔船在A处时，测得航标C、D在渔船的南偏东方向分别为30°和60°，渔船航行了6海里到B处时，测得航标 C在渔船的南偏西60°方向，而航标D恰好渔船的正南方．求航标C、D之间的距离．
  
24．某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，12天恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．
26．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标，C点坐标．
  
(1)求抛物线的函数关系式和点A坐标；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接当线段的长度最短时，求出点Q的坐标．
27．已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D．
  
(1)若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为______；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为______；
(2)若折叠后点B落在边OA上的点为，设，，试写出y关于x的函数关系式，并确定y的取值范围；
(3)若折痕经过点O，请求出点B落在x轴上的点的坐标；
(4)若折叠后点B落在的x轴上的点为，且使是直角三角形，直接写出点C的坐标．

参考答案：
1．D
【详解】∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴最大的数是1．
故选D．
2．B
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解题关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．D
【分析】利用待定系数法求解，即可得到答案．
【详解】解：点在反比例函数的图像上，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把图象上点的坐标代入是解题关键．
4．D
【分析】利用众数、中位数、平均数、方差的定义逐个判断即可．
【详解】因为众数是出现频数最高的数据即160厘米，所以A是对的；
对于中位数，因题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的一个数即160，所以B是对的；
根据平均数的公式得平均数为厘米，故C是对的；
这组数据的方差为：，所以D是错误的．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数及标准差．关键是熟练掌握理解定义．
5．B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．
6．A
【分析】根据抛物线的顶点式：，顶点坐标为即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线，
∴该函数的顶点坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解答本题的关键理解和掌握抛物线的顶点式．
7．A
【详解】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD,
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°,
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形.
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°.
∴BD=BC，②成立.
∴AB=2BC，③成立.
∴∠A=∠C.
∴DA=DC,①成立.
综上所述，①②③均成立.
故选：A．

【点睛】本题考查切线的性质；直角三角形两锐角的关系；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的判定．
8．C
【分析】连接、先证四边形是矩形，再利用反比例函数的性质得，进而得，矩形的面积为，即可推出矩形的面积是定值．
【详解】解：连接、
    
∵四边形是以原点对称中心作矩形，
∴，，，
∵轴轴⟂轴，
∴
∴
∴轴，轴，
∴四边形是矩形，
同理可证：四边形，四边形，四边形都是矩形，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形的面积为，
∴矩形的面积的大小不变，
故选C．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
9．x≠0
【分析】分式有意义分母不等于零，即可解答
【详解】∵要使1+ 有意义，分母不能为零
∴x≠0
【点睛】此题考查分式有意义的条件，难度不大
10．
【分析】综合提公因式法和公式法分解因式，即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
11．20°或50°或80°
【分析】分三种情况分析，是顶角，是顶角, 是顶角,
【详解】∵，
∴①当是顶角, 时，△ABC是等腰三角形；
②当是顶角，∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③是顶角，∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为:80°或50°或20°
12． /
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的Rt△ABD，算出AB的长，再求出BC的长，即可求出余弦值．
【详解】解：如图，设小正方形的边长为1，

则AB=4，BD=4，
∴cos∠B=，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，熟记三角函数的定义是解题的关键．
13．a＞3
【详解】∵原点是抛物线y=（a-3）x2-2的最低点，
∴a-3＞0，即a＞3．
故答案是：a＞3．
14．12
【分析】首先设盒中共有球x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．
【详解】设盒中共有球x个，根据题意得：

解得：．
∴盒中共有球个．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．解此题的关键是设盒中共有球x个，利用方程思想求解．
15．100
【分析】设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产顶帐篷，根据原来的时间比实际多4天建立方程求出其解即可．
【详解】设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产顶帐篷，
据题意得：，
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据生产过程中前后的时间关系建立方程是关键．
16．
【分析】作辅助线,先利用勾股定理求出AB的长,接下来证明△AFM∽△ABC，得 ,代入线段长即可求出FM的长,最后利用折叠的性质即可解题.
【详解】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，（勾股定理）
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴ ,即
解得，FM＝，
由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，
∴PM＝，
故答案为．

【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理,垂线段最短等知识，难度较大,解题的关键是正确找到点P位置．
17．7
【分析】先化简各项再计算即可．
【详解】原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是先化简再去计算．
18．
【分析】先算括号，再算除法即可．
【详解】原式
【点睛】本题考查分式的混合运算，注意运算顺序是解题的关键．
19．不等式组的正整数解是1，2
【分析】分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解．
【详解】解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的正整数解是1，2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．4，4； 分．
【分析】根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；
算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
【详解】解：由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24
∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4
∵成绩在4分的同学人数最多
∴本组数据的众数是4
故填表如下：

中位数
众数
随机抽取的50人的社会实践活动成绩单位：分
4
4
随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：
分．
估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：分．
【点睛】考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．
21．解：（1）10，50；
（2）；

【分析】试题分析：（1）由在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”元，“10”元，“20”元和“30”元的字样，规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以再箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：(1)10，50；
(2)解法一(树状图)：
,
从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P(不低于30元)＝＝；
解法二(列表法)：

0

10

20

30

0

﹣﹣

10

20

30

10

10

﹣﹣

30

40

20

20

30

﹣﹣

50

30

30

40

50

﹣﹣

从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P(不低于30元)＝＝；
考点：列表法与树状图法.
【详解】请在此输入详解！
22．（1）证明见试题解析；（2）2．
【分析】（1）由矩形的性质及已知条件可得到△AEF≌△DCE，即可证明AE=DC；
（2）由（1）得到AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．
【详解】（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
∵∠A=∠D，∠1=∠3，EF=EC，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC；
（2）由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在R△ABE中，，
即，
∴BE=2．
23．航标C、D之间的距离是海里
【分析】在中，求出，证明为直角三角形，再求出，过C作于E，求出和，再求出，即可用勾股定理求出．
【详解】由题意得：，，，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过C作于E．
  
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴航标C、D之间的距离是海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾服定理的计算是解题关键．
24．选择甲队．
【分析】设甲队单独完成工程需x天，然后根据等量关系：两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，列方程求解，然后求出乙单独完成工程的时间，比较大小后可得出结论．
【详解】设甲队单独完成工程需x天，
由题意，得：×9+5x=1，
解得：x=20，
经检验得：x=20是方程的解，
∵﹣，
∴乙单独完成工程需30天，
∵20＜30，
∴从缩短工期角度考虑，应该选择甲队．
考点：列方程解应用题．
25．（1）见解析；（2）3
【详解】试题分析：（1）连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
试题解析：（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=，
在Rt△POD中，cos∠POD=，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．

26．(1)点坐标
(2)点的坐标是或
(3)点Q的坐标是或时，EF最短

【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式中可得关于的二元一次方程组，解出的值得到抛物线的函数关系式，再令，求解即可得出点A的坐标；
（2）分两种情况讨论：或，再利用为等腰直角三角形，作垂直构造新的等腰直角三角形，最后设点坐标列出方程求解即可；
（3）根据题意画出图形，连接，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，因此当线段的长度最短时，线段最小，由垂线段最短可知当时，最小，此时由等腰三角形的性质可得点D为的中点，可得 ，再由得，即，以此即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）将B点坐标，C点坐标代入得：
，
解得，
∴，
∴，
∴，，
∴点坐标
（2）①当时，过点P作轴于M，如图1，
  
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
即；
②当时，过点P作轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，则有轴，

∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
即．
综上所述，点的坐标是或；
（3）连接，
  
则四边形为矩形，
∴，
∴当线段的长度最短时，线段最小，
∴当时，最小，
∵为等腰直角三角形，，
∴点D为的中点，
∴
∵轴，
∴，
∴为三角形AOC的中位线，
令得：，
解得，
当点Q的坐标是或时，最短．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，解题关键是：（1）利用点的坐标，正确求出函数解析式；（2）熟知等腰三角的性质，并利用分类讨论思想解决问题；（3）利用矩形的性质将线段转化为，利用垂线段最短来确定的最小值．
27．(1)，
(2)，
(3)点坐标
(4)或

【分析】（1）根据对折得出，根据求出点C的坐标即可；连接，推出，设则在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）连接，得出在中，由勾股定理得出方程，由（1）即可得出y的范围，求出即可；
（3）根据已知得出，即可得出答案；
（4）连接，和相似，求出的坐标，再利用求出点C的坐标即可．
【详解】（1）如图（1），
  
∵，延折叠后使点B与点O重合，
∴，
∴C的坐标是，
如图（2）连接，
  
∵，延折叠后使点B与点A重合，
∴，推出
，设在中，
设则
在中，由勾股定理得：，，
解得：，
即C，
故答案为：，．
（2）如图（3）连接，
  
∵延折叠后使点B与点重合，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
即，y的取值范围是．
（3）如图（4）
  
∵若折痕经过点O（C和O重合），点B落在x轴上的点，
∴，
即的坐标是．
（4）如图（5）连接，，则，，
  
当时，
∵，
∴
∴,
∴,
解得，，
∴
在中，由勾股定理得：，
解方程得： ，
∴C的坐标是．
当时，
  
∵，
∴
∴,
∴,
解得，，
∴
在中，由勾股定理得：，
解方程得： ，
∴C的坐标是．
综上所述，C的坐标是或．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度，方程思想的运用．