第12讲 直线与圆压轴题精选-【同步题型讲义】2023-2024学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

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第12讲 直线与圆压轴题精选
题型一：单选题
【例1】（2022·全国·模拟预测（文））已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过过点作圆的两条切线，，切点分别为，，能得到是以为直径的圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，从而求得直线恒过定点坐标.
【详解】
圆的方程可化为，所以圆心.
则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，
则.
所以以为直径的圆的方程为.
过点作圆的切点分别为，,
两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.
将两圆的方程相减可得直线的方程为，
即.令得.
所以直线必过定点.
故选：A.
【点睛】
本题解题的关键是把圆的切线问题转化为求两圆的公共弦问题，然后就能得到直线的方程，再利用含参直线过定点的解题策略求定点坐标即可.


【例2】（2022·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】
由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B
【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】
依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，
显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：

，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：.
故选：B
【点睛】
思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.
【例4】（2022·广东汕头·高二期末）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.
【详解】
解：∵，而，
∴，又，即，
又，，
∴，
若，则，
∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.
故选：B.

【点睛】
关键点点睛：由已知确定，， 构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.
【例5】（2022·江西抚州·高二期末（理））已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】
【分析】
设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.
【详解】
设，中点，则，，
又，，则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，则.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.
【例6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.
【详解】

易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，
设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，
故，整理得，又点在直线上，
故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为
圆心到直线的距离减去半径1，即.
故选：B.
【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.
【详解】
当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，

由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.
【例8】（2022·浙江·高三专题练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（       ）
A． B．9 C．7 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．





【题型专练】
1.（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（       ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2
D．直线恒过定点
【答案】D
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质得切线长利用点到直线的距离判断B，由题意四边形ACBP面积为判断C，由题知A，B在以为直径的圆上，利用两圆方程得直线AB的方程判断D.
【详解】
由圆C：，则圆心，半径，
∴圆心到直线l：的距离为，而，故A错误；
由圆的性质，切线长，
∴当最小时，有最小值，又，则，故B错误；
∵四边形AMBP面积为，
∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设，由题知A，B在以为直径的圆上，又，
∴，即，
又圆C：，即，
∴直线AB的方程为：，即，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.
故选：D.
2．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（       ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
【答案】D
【解析】
【分析】
取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得，再利用圆的性质可得取值范围，即求.
【详解】
取AB中点为Q，连接PQ

，

，
又，
，
∵点P为⊙C上一动点，
∴
的取值范围[－8，72].
故选：D.

3．（2021·江苏·高二专题练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程.
【详解】
由，则动圆心的轨迹方程为.
为圆上的动点，又，
∴，
∵，，，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.

故选：A
4.（2021·浙江·高二期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以为一边作正方形，然后把问题转化为正方形的中心在圆上或圆内，从而求出的取值范围.
【详解】
以为一边作正方形，若对角线与圆有交点，则满足条件的存在，此时正方形的中心在圆上或圆内，即，
所以，所以，所以.

故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值．
【详解】
设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为，
又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，
又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，
所以，所以的最小值为，
故选：A．

【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
6．（2021·江苏·高二专题练习）已知A、B是圆O：上两个动点，点P的坐标为，若，则线段长度的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意设出Q的坐标，根据勾股定理得到Q的轨迹方程，求出的最大值，根据即可求解.
【详解】
解：如图所示：

取的中点Q，连、，
由圆的性质可知，
由可知：，
设点Q的坐标为，
在中，，
即   ，整理为，
可化为，
故Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
的最大值为，
故．
故选：D.
7．（2021·辽宁营口·高三期末）已知圆的半径为3，是圆的一条直径，为圆上动点，且，点在线段上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，，结合向量数量积的性质，展开即可求解．
【详解】
解：由题意得，，
，
，
，

当时，取最小值，此时．
故的最小值为．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：由，所以取最小值时，取得最小值，分析知当时，是本题解题的关键.
8．（2021·江苏·高二专题练习）直线 ，动直线 ，动直线 ．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线l1与l2交于点P，则的面积最大值（       ）
A． B． C． D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两直线的交点为，联立直线方程用表示参数，整理可得点轨迹为圆，而，要使的面积最大，即到直线 距离最大，进而求面积.
【详解】
由题意，动直线l1与l2交于点，则，
∴消去参数a，整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆上，而到直线 的距离，故到直线 最大距离为，
由，则，
∴此时有最大面积为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：根据两动直线的交点，通过设动点结合动直线方程求其轨迹—圆，结合圆上点到直线距离最大时有最大面积，即可求三角形面积的最大值.
9．（2020·安徽·安庆一中高二期中）已知点P(1，0)及圆C：，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，设点M，N的中点为，因为PM⊥PN，所以直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即，又由垂径定理有，所以，由此可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.根据圆的性质即可得和，从而可得和，进而可得答案.
【详解】
解：由题意，设点M，N的中点为，
因为PM⊥PN，所以直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即，
又由垂径定理有，
所以，即，

则有，化简得，即，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以由圆的性质有，
又，
所以，，
所以的取值范围为，
故选：A.
10．（2021·江苏·高二专题练习）已知直线：与直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，点D是线段的中点.则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据条件可先判断出并结合直线过定点确定出的轨迹方程，再根据条件计算出的长度，结合图示说明何时有最大值并计算出最大值.
【详解】
由题意得圆C的圆心为，半径，易知直线：恒过点，
直线：恒过，且，的轨迹是以为直径的圆，
点P的轨迹方程为，圆心为，半径为，
若点D为弦的中点，位置关系如图：

连接，由，易知.
，此时三点共线且在线段上，
故选：D.
【点睛】
本题考查和圆有关的轨迹问题，解答此类问题时作出图示能有效帮助分析问题，这类问题对学生的分析与作图能力要求较高，难度较难.
题型二： 多选题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知点为圆内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为，则（       ）
A． B． C．l与圆相交 D．l与圆相离
【答案】BD
【解析】圆的圆心为，，则直线为，即，直线：，所以，圆心到直线的距离为，则l与圆相离.
故选：BD
【例2】（2021新高考1卷多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
【例3】（2022·重庆·二模）已知点，过直线上一点作圆的切线，切点分别为，则（       ）
A．以线段为直径的圆必过圆心
B．以线段为直径的圆的面积的最小值为
C．四边形的面积的最小值为4
D．直线在轴上的截距的绝对值之和的最小值为4
【答案】BC
【解析】由题知，可设点，则以BC为直径的圆方程为，
两圆做差可得直线，易得直线过定点，故圆心到直线的距离不是定值，不恒成立，故选项不正确；
因为直线过定点，故当时最小，，故最小半径为，所以线段为直径的圆的最小面积为，B选项正确；
四边形的面积，
，故，C选项正确；
当时，直线过原点，两截距均为0，故选项不正确.
故选：BC
【例4】（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P的轨迹为C，则（       ）
A．C的周长为 B．OP平分∠APB
C．面积的最大值为6 D．当时，直线BP与圆C相切
【答案】ABD
【解析】

设.因为，，点P满足，所以，整理化简得：.
即曲线C的方程为：.
对于A：曲线C为半径为2 的圆，故周长为.故选：A；
对于B：因为，，所以，所以.延长BP到Q，使，连结AQ.

因为，所以，所以，所以,.
因为，所以.
所以，即OP平分∠APB，对于C：的面积.
要使的面积最大，只需最大，由点P的轨迹为C：可得：，
所以面积的最大值为3.故C错误；
对于D：当时，或.不妨取，则直线BP：，即.

因为圆心到直线BP的距离为：,
所以，即直线BP与圆C相切.故D正确.
故选：ABD.
【例5】（2021·福建宁德·高二期中）（多选）下列命题正确的有（       ）
A．直线 恒过定点
B．已知圆与圆 相交于两点，则直线的方程为.
C．圆与圆 恰有三条公切线，则
D．已知点分别为圆与直线上的动点，则的最小值为3.
【答案】AC
【解析】对于A，直线化为：，
令，解得，所以直线 恒过定点，故A正确；
对于B，两圆的方程相减得，所以直线的方程为，故B错误；
对于C，若圆与圆 恰有三条公切线，
所以两圆外切，圆的圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
所以圆心距，解得，故C正确；
对D，已知点分别为圆与直线上的动点，
则的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
圆心到直线的距离为，
所以的最小值为，故D错误.
故选：AC.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为.下列结论中正确的是（       ）
A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为
C．直线l的方程为 D．直线l的方程为
【答案】AD
【解析】圆满足 ，可得 ，
又由题意弦AB的中点为可得点M在圆内，
将点M坐标代入圆的方程可得：，即，故A正确，B错误；
根据圆的性质可得： ，由圆，
得圆心，而，∴直线l的斜率k为，
由点斜式可得直线l的方程为： ，即，故C错误，D正确；
故选：AD
【例7】（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（       ）
A．直线l与圆C相交
B．的最小值是1
C．若P到直线l的距离为2，则点P有2个
D．从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3
【答案】BCD
【解析】对于A:由圆C：，得圆C的标准方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.

故A错误；
对于B:圆心到直线的距离,所以的最小值为.

故B正确;
对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设.由，解得：或.

当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为1.
当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相离，不合题意.
综上所述，圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确.
对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长.要使切线长最小，只需最小.

点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为,故D正确.
故选：BCD
【例8】（2022·湖北·二模）设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（       ）
A．直线l过定点
B．当取得最小值时，
C．当最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
【答案】AD
【解析】由题意，圆心坐标为，半径，
对A：直线，即，
由，可得直线l过定点，故选项A正确；
对B：当取得最小值时，，所以，即，
所以，故选项B错误；
对C：当最小，即取得最小值时，，此时，
从而可得，所以，故选项C错误；
对D：，
所以当取得最大值，即为直径时，，此时，故选项D正确.
故选：AD.
【题型专练】
1.（2022·山东·青岛二中高三期末）点P在圆M：上，点A（4，0），点B（0，2），下列结论正确的是（       ）
A．过点A可以作出圆的两条切线
B．圆M关于直线AB对称的圆的方程为
C．点P到直线AB距离的最大值为
D．当∠PBA最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，判断出点A（4，0）在圆M外，据此判断A；对于B，求出圆M关于直线AB对称的点为，进而得到圆M关于直线AB对称的圆的方程；对于C，先求点M到直线AB距离，加上半径即点P到直线AB距离的最大值；对于D，当与圆M相切时，∠PBA最大或最小，求出即可.
【详解】
解：对于A，，点A（4，0）在圆M外，所以过点A可以作出圆M的两条切线，故A正确；对于B，有题知，直线AB的方程为：，设圆M关于直线AB对称的点为，由解得，圆M关于直线AB对称的圆的方程的圆心为，圆M关于直线AB对称的圆的方程为，故B错误；对于C，点M到直线AB距离为，所以点P到直线AB距离的最大值为，故C正确；对于D，如图，当与圆M相切时，∠PBA最大或最小，此时，故D正确.

故选：ACD

2．（2022·辽宁锦州·一模）关于直线与圆，下列说法正确的是（       ）
A．若直线l与圆C相切，则为定值 B．若，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若，则直线l与圆C相离 D．是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】A. 若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为，即，故A正确；
B.弦长，当时，，故B正确；
C.联立方程，，得，
，当时，
整理为恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；
D.直线与轴的交点是，当时，在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD
3．（2021·辽宁大连·高二期中）点在圆上，点在圆上，则（       ）
A．的最小值为3 B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交
【答案】ABC
【解析】根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，圆心距>R+r，故两圆外离，故D错误；
则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确；
对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C正确.
故选：ABC.
4．（2022·浙江浙江·高二期中）已知圆，直线，则下列结论正确的有（       ）
A．圆C的圆心坐标为，半径为9
B．对于任意实数m直线l恒过定点
C．若直线l交圆C于A，B两点，则弦长的最小值为4
D．当时，直线l交圆C于A，B两点，D是圆C上的动点，则面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，圆化为标准方程得圆，故圆C的圆心坐标为，半径为，故A选项错误；
对于B选项，由题知直线，所以直线过直线与直线的交点，所以直线过定点，故B正确；
对于C选项，由于点在圆内，故当直线与直线垂直时，弦取得最小值，此时最小弦长为，故C正确；
对于D选项，当时，直线，此时圆心到直线的距离为，弦长，所以面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点在圆上，点，，则（       ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有2个
C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ABCD
【解析】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为.A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个.B正确；
对C，设，则直线MB,NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为.C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，，
所以，所以D正确.
故选：ABCD.
6．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）以下四个命题表述正确的是（     ）
A．若点在圆外，则实数m的取值范围为
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于
C．圆和圆外切
D．实数满足，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】A, 点在圆外,
,，A选项正确，B,圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，B选项正确，C,的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，
所以圆心距为，所以C选项错误，D,圆的圆心为，半径为，
表示圆上的点与点连线的斜率，当直线与圆相切时，如图所示，
，所以，
结合对称性可知的取值范围是，D选项正确.
故选：ABD

7．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二阶段练习）以下四个命题表述错误的是（       ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为直线，
即，令，解得，
即直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为圆的圆心是，半径为，
则圆心到直线的距离为，
故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故B正确；
对于C，曲线，即，
圆心为，半径为，
曲线，即，
圆心为，半径为，
若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，
解得，故C错误；
对于D，因为，
故当最小时，最小，
又最小值为圆心到直线的距离，即，
故的最小值为，故D错误．
故选ACD．

题型三： 解答题
【例1】（2021·浙江高二期末）已知圆C经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，
（1）求圆C的方程；
（2）求过点且与圆C相切的直线方程．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）设出圆的一般式方程，两坐标轴上的四个截距之和是2，令和，利用韦达定理和圆过，坐标可求．
（2）由（1）可得圆的圆心坐标与半径，可判断切线的斜率存在，设斜率为，表示出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可．
【详解】
解：（1）由题意设圆，
令，得，则，
令，得，则，
两坐标轴上的四个截距之和是2，

且圆过两点，
将，代入方程得，
解得：，，．
故得圆．
（2）由（1）得圆，即，圆心，半径，
过作圆的切线，显然切线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或

【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
(1)
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.




【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知圆与直线交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值.
【答案】
【解析】
【分析】
设，联立直线和圆的方程，结合韦达定理以及数量积公式得出m的值.
【详解】
设，由得出
则，由，解得
因为
所以，解得
【例4】（2020·西安市·陕西师大附中）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．
（Ⅰ）若，求圆的方程；
（Ⅱ）当取所允许的不同的实数值时（，且），圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）设圆的方程为，令 得，与是同一方程，可求得，
再令 得，因为方程有一根为，代入可得，再将代入即可.

（Ⅱ）根据由（Ⅰ）圆的方程为，转化为： ，令求解.
【详解】
（Ⅰ）设圆的方程为，
令 得，与是同一方程，
所以，
令 得，方程有一根为，
所以，
所以圆的方程为，
当时，圆C的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆的方程为，
转化为： ，
令，
解得 或.
故圆经过定点 .
【例5】（2020·嘉祥县第一中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若点，当在上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值.
（3）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）设点，由，利用两点之间距离公式可得,即为圆的方程.
（2）设得，利用两点之间距离公式化简可得，又，即可求得最大值和最小值，进而求得.
（3）设切点，利用点斜式求得直线方程为：，同理直线方程为：，由均过点，代入可得，，即点都在直线上，即直线的方程.
【详解】
（1）设点，由，且得
，整理得,
所以圆的方程为
（2）由，设得
，
而，当时，取得最小值；，当时，取得最大值，所以.
（3）设切点，则，
直线方程为：，整理得，
同理可得直线方程为：，
由直线均过点，则，
即点都在直线上，所以直线的方程为.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O､B，其中O为坐标原点.
(1)试写出圆C的标准方程；
(2)求证：的面积为定值；
(3)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）已知圆心，求出半径，就可圆的标准方程；
（2）求出两截距的长度，即可求出面积；
（3）由及弦的垂直平分线必过圆心可知直线斜率，则可求得值，也就得到圆的方程.
(1)
圆心，圆过原点，所以，则圆的标准方程为；
(2)
证明：由（1）知，圆的标准方程为，令，得，令，得，则，所以的面积为定值；
(3)
由可知垂直平分线过原点，又弦的垂直平分线必过圆心，可得直线与直线垂直，则有，即，解得，所以圆心或，圆的方程为或，由于当圆的方程为时，圆心到直线的距离，直线与圆不相交，故舍去，所以圆C的标准方程为.

【题型专练】
1.（2022·浙江浙江·高一期中）已知圆的方程：.
(1)求实数的取值范围；
(2)若圆与直线交于，两点，且，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
(1)
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
2.（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）已知圆经过坐标原点，且与直线相切，切点为.
(1)求圆的标准方程；
(2)过圆内点的最长弦和最短弦分别为和求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出直线的方程与线段的中垂线方程，联立这两条直线方程，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程；
（2）求出、，分析可知，进而可求得四边形的面积.
(1)
解：设坐标原点为，则，线段的中点为，
线段的中垂线方程为，即，
直线的斜率为，由圆的几何性质可知，直线与直线垂直，
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即圆心，
圆的半径为，
故圆的标准方程为.
(2)
解：过圆内点的最长弦为，
当过点的弦与直线垂直时，弦的长度取得最小值，即，此时，
由勾股定理可得，
此时，四边形的面积为.
3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）设圆C的圆心在x轴的正半轴上，与y轴相交于点，且直线被圆C截得的弦长为.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设直线与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能，或
【解析】
【分析】
(1)设圆的标准方程，由条件列方程求出圆心坐标和半径由此可得圆的方程；(2)联立直线与圆的方程，利用设而不求的方法求出的中点坐标，结合条件求出直线方程.
(1)
设圆心，，半径为r，则圆心到直线的距离为，
所以且
解得，
所以圆C的方程为
(2)
设，是直线与圆C的交点，
将代入圆C的方程得：.
，所以，
且，
所以MN的中点为
假如以MN为直径的圆能过原点，则.
又圆心到直线MN的距离为，
所以.
所以，
解得
经检验时，直线MN与圆C相交，
所以MN的方程为或
4.（2022·浙江·海宁一中高二期中）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.
【答案】(1)外离；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)判断两圆圆心距和两圆半径之和及半径之差的关系即可判断两圆的位置关系；
(2)根据圆的性质可知，作关于(1，2)关于x轴的对称点，则，据此即可求得答案．
(1)
圆的圆心为(1，2)，半径为1，圆的圆心为(3，4)，半径为，
∵，∴两圆外离；
(2)
，
作(1，2)关于x轴的对称点，

则当、P、三点共线时，所求最小值为．
5.（2022·全国·高二课时练习）若圆与圆相外切．
(1)求m的值；
(2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别求得圆、的圆心坐标和半径，根据两圆外切，可得圆心距等于两圆半径和，列出方程，即可得答案.
（2）由题意求得A、B点坐标，设P点坐标为，即可求得直线PA的、PB的方程，进而可求得M、N点坐标，即可求得四边形ABNM的面积表达式，化简整理，即可得证.
(1)
由题意得：圆的圆心坐标，半径为，
圆整理可得，其圆心坐标，半径为3，
由两圆外切得，解得；
(2)
由题意得：点A坐标为，点B坐标为，
设P点坐标为，
则直线PA的方程为，直线PB的方程为，
所以点M的坐标为，点N的坐标为，
则四边形ABNM的面积
，
由点P在圆上，可得，代入上式，
所以四边形ABNM的面积，
即四边形ABNM的面积为定值4．