高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀课后作业题

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第14讲 椭圆离心率6种常考题型
考点分析
椭圆的离心率，
题型目录
题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示
题型二：利用与建立一次二次方程不等式
题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率
题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围
题型五：利用最大顶角求离心率范围问题
题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题
典型例题
题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示
在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题．
【例1】（四川高二期末（文））椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，所以，
所以，所以离心率为．故选：C．
【例2】（2022·全国·高二课时练习）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.
【详解】图所示，易知，．

由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．
故选：A.
【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据四点共圆，且直线的倾斜角为，利用椭圆定义可得，进而求得椭圆的离心率
【详解】
根据题意四边形为平行四边形，
又由四点共圆，可得平行四边形为矩形，即
又直线的倾斜角为，则有
则，，
则，即
则椭圆的离心率
故选：B
【例4】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．
【详解】
∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒

【题型专练】
1.（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义，结合直角三角形的判定方法、平行四边形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可.
【详解】设椭圆的上焦点为，显然，
因为过原点的直线交于点，
所以有，因此四边形是平行四边形，
又因为，所以有，
因此三角形是以为斜边的直角三角形，
因为，所以，
因为是平行四边形，
所以，由椭圆的定义可知：，
故选：A
2.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
设，则，由椭圆定义知：；
，，即，，
，椭圆的离心率.
故选：C.
3.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理确定的边角关系，结合椭圆的定义及离心率的定义求离心率的值.
【详解】
在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
4.（2019全国II文20）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是．


题型二：利用与建立一次二次方程不等式
在处理此类问题的时候，一般要用到余弦定理，或者带入椭圆，总之就是找到之间的关系
【例1】（黄冈天有高级中学高二月考）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e，
将代入可得，所以,
又是等腰直角三角形，所以，
所以即，所以，解得（负值舍去）.
故选：C.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
【例3】（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.
【详解】设,则,.
由椭圆的定义可知,所以,所以,.
在△ABF1中,.
所以在△AF1F2中,,
即整理可得：,
所以
故选：C
【例4】（2022·全国·高二）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，直线与直线的交点为P，若的面积是面积的2倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的三角形面积关系，可求得，即可求得离心率.
【详解】由题可知，故，
所以与直线的交点P坐标为，
由的面积是面积的2倍知，
，．所以．
故选：C
【例5】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
【题型专练】
1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解.
【详解】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
2.（2015届四川省成都市高三第一次诊断性检测理科数学试卷（带解析））已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为点在椭圆上，且轴，所以代入椭圆方程可得，又因为且若，所以，即，则，应选答案A．

3.已知是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设的中点为，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得，从而得到，根据得到，再根据椭圆的定义得到，在直角三角形中利用勾股定理得到，最后根据离心率公式计算可得；
【详解】
解：设的中点为，则由，即
所以，

连接可得，所以，
因为，即，即
所以，
在中，，
即，又，
所以，所以，即
解得，
故选：A
4.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，故选A．
5.（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆的左、右焦点分别为，两平行直线分别过交M于A，B，C，D四点，且，则M的离心率为（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，由椭圆定义得，由椭圆的对称性可知，连接，则．又，利用勾股定理可得答案.
【详解】设，则，由椭圆定义得，由椭圆的对称性可知，连接，则．又，
所以，在中，，
所以，解得，
所以，中，，
所以，得，所以M的离心率，
故选：D.

6.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】点椭圆上的点，


，且

在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D



题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率
【例1】（2021·四川省内江市第六中学高二开学考试）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画图，利用相似于，和相似于列方程求解即可.
【详解】如图，由题意得､､，

设，因为轴，所以，所以 ，得①，
又由，中点为，得，得②，
由①②得，则.
故选：A.
【例2】（2014新课标2）设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；
【解析】（Ⅰ）根据及题设知，
将代入，解得（舍去），故C的离心率为．
【例3】（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________．
【答案】##
【分析】由向量线性运算化简已知等式得到，由向量数量积定义可求得，，可知为等边三角形；利用椭圆定义可得，进而可得椭圆离心率.
【详解】
设与直线交点为，则为中点，；

，
，
，，
，则，又，
为等边三角形，则，
由椭圆定义知：，
椭圆离心率.
故答案为：.
【题型专练】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别为，点A是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为____.
【答案】##
【分析】根据已知关系表示出点B的坐标，代入方程即可求出离心率.
【详解】如图所示，

线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为连接，则，
，，，，
点A是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．
作轴，垂足为点则，
， ，
代入椭圆方程可得：，解得，.
故答案为：.
2.（2022·江苏·高二）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【分析】延长，交于点Q，根据PA是的外角平分线，得到，，再利用椭圆的定义求解.
【详解】解：如图所示：

延长，交于点Q，
∵PA是的外角平分线，
，，
又O是的中点，，且.
又，
，
，
∴离心率为.
故答案为：
题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．
【答案】详见解析.
【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证.
【详解】由，可得，
∴，
又，
∴，
即.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，代入中，可得，再利用，即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值
【详解】设．因为点M在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，解得．
由题意可知，
即．
由，可得，即，显然成立．
由，可得，则．
又，所以，
因为，，，，
故选：A．
【题型专练】
1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由角平分线的性质定理有，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.
【详解】因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
2.已知、分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知三角形为等腰三角形，所以，因为，即，解得，又因，所以
故选：C
题型五：利用最大顶角求离心率范围问题



【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】椭圆上不存在点使，即恒成立，利用特征三角形列不等式，可得离心率的取值范围．
【详解】椭圆上不存在点使，即恒成立．当在短轴端点时，最大，故，即（O为坐标原点），又，所以．
故答案为：
【例2】（2022·江苏·高二期末）已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作图，根据图形分析当点 位于椭圆长轴的端点， 分别为过P点对圆O做切线的切点时，如果 ，则可以满足题目的要求.
【详解】
如上图，当P位于右端点（做端点也相同），如果，则对于C上任意的点P，在圆O上总存在M，N点使得
，
此时，   ，   ；
故选：A.
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．
【答案】
【分析】先根据椭圆定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围．
【详解】解：设，由椭圆的定义得:,
由余弦定理，得:．
又，当且仅当时，取最大值，
于是，
所以
且，．
故答案为: .
2.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．
【详解】解：由题意，如图，

若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，
即，因为，
解得：．
，即，而，
，即．
故选：D．
3.（2022·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，设直线、分别与圆切于点A、B，，根据题意得到，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到，再结合，得到的离心率的取值范围．
【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，


∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，
则由，得，
又，∴．
故选：C．
4.（2019·内蒙古赤峰市·高二期末（理））已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，椭圆上不存在点使，说明在最大时都有，列出不等式再转化求解椭圆的离心率的范围即可.
【详解】由题意，椭圆上不存在点使，即在椭圆上任意点使.
根据焦点三角形的性质，当时，最大，
取，又，，，
所以，即椭圆的离心率为：.
故选：C.
题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题
【例1】（2021全国卷乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．
【详解】设，，因为，，
所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．
故选：C．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆性质结合离心率运算处理．
【详解】由题得：，所以
故选：A．
【例3】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．
【详解】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
【题型专练】
1.（2022·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.
【详解】设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
2.（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．.
【答案】B
【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.
【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
3.（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，利用得到在区间上有解，结合端点值的符号得到，求出的最小值.
【详解】易知，设，则，
所以，
即，
即方程在区间上有解，
令，
因为，，
所以只需，
即
解得：.
故选：C.
4.（2022·江苏盐城·三模）已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设：取，联立椭圆结合求出A、B的点坐标，由及两点距离公式得到，根据题设且无其它k值，得到，进而求的范围，即可求离心率范围.
【详解】设直线：，则：，而，
不妨取，直线与椭圆联立，消去得，解得，
所以，则，
因为，所以，
整理得，，易知符合，
因为满足条件的△有且只有一个，
所以无之外的解，整理得，
所以，即，
所以离心率．
故选：B
5.（2022·全国·高二课时练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．

【答案】
【分析】根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.
【详解】设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
故答案为：．