数学选择性必修 第一册3.2 双曲线精品同步练习题

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第17讲 双曲线10大基础题型总结
考点分析
考点一：双曲线定义及标准方程
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
标准方程


图形


性质
焦点
，
，
焦距


范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点


轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
注：离心率越大，双曲线开口越大
渐近线方程



考点二：双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
考点三：双曲线常考性质结论
①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
证明：设是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是和，点到两条渐近线的距离分别是和，则．
考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
题型目录
题型一: 双曲线的定义
题型二：利用双曲线定义求长度
题型三：利用双曲线定义求参数范围
题型四：求双曲线的标准方程
题型五：利用双曲线定义求三角形周长
题型六：双曲线焦点三角形面积
题型七：双曲线的渐近线方程
题型八：渐近线与离心率的关系
题型九：双曲线焦点到渐近线的距离为
题型十：已知渐近线方程求双曲线方程
典型例题
题型一: 双曲线的定义
【例1】（2022全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线


【例2】（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线

【例3】（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））平面上有两个定点A，B及动点P，命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例4】（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（       ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【例5】（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（       ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线

【题型专练】
1.（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（       ）
A． B．
C． D．
2.（2023·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（       ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
3.（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.

4.（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线上任意一点满足方程，求曲线的方程；

5.（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.

题型二：利用双曲线定义解题
【例1】（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ）
A． B． C．或 D．或

【例2】（2022·河南·信阳高中高二阶段练习（理））已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（       ）
A． B． C．或 D．或

【例3】（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（       ）
A． B．1 C． D．2

【例4】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 ．
【题型专练】
1.（2022·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试）直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（       ）
A．2 B．6 C．8 D．10

2.（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（       ）
A． B． C． D．

3.已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则

4.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2| = .

题型三：利用双曲线定义求参数范围
【例1】（2022·贵州遵义·高二期末（理））“”是“为双曲线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例2】（2021·四川·双流中学高二开学考试（文））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（       ）
A． B．
C．或 D．



【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知方程，则E表示的曲线形状是（       ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则

【例4】（2022重庆市求精中学校高二阶段练习多选题）已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ）
A．若，则曲线为椭圆
B．若，则曲线为双曲线
C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则
D．若为双曲线，则渐近线方程为

【题型专练】
1.（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末多选题）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

2.（2022·重庆八中模拟预测多选题）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（       ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值


3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4.（2022·河南·高二期中（文））已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

6.2022·全国·高二课时练习）方程，若两实数异号，则它的图像是（       ）．
A．圆，且圆心在轴上 B．椭圆，且焦点在轴上
C．双曲线，且焦点在轴上 D．双曲线，且焦点在轴上

题型四：求双曲线的标准方程
【例1】（2022全国·高二单元测试多选题）已知双曲线，则下列结论正确的有（       ）
A．焦点在y轴上 B．实轴长为4 C．虚轴长为6 D．离心率为



【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．




【例3】（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是；
(2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为；
(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12；
(4)渐近线方程为，焦点坐标为和．


【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．


【例5】（2022·江苏·高二）经过两点，的双曲线的标准方程为______．


【题型专练】
1．（2021·江苏·滨海县八滩中学高二期末多选题）已知双曲线方程为，则下列说法正确的有（       ）
A．离心率为 B．顶点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为


2.（2022·上海市第三女子中学高二期末）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．


3.（2021·江苏·高二专题练习）已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________.


4.（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为______．


5.（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.


6.（2021·全国·高二课时练习）1.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
(2)焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
(3)焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．


题型五：利用双曲线定义求周长
【例1】（2022·江苏·高二）双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（       ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m


【例2】过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长（ ）
A．28 B．22 C．14 D．12




【题型专练】
1.已知为双曲线的左焦点, 为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为____________.


2.（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（       ）
A． B． C． D．


3.（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（       ）
A． B． C． D．



题型六：双曲线焦点三角形面积
【例1】（2020•新课标Ⅲ）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8

【题型专练】
1.（2020•新课标Ⅰ）设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2

2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．

题型七： 双曲线的渐近线方程
焦点在轴上的渐近线为
焦点在轴上的渐近线为
若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可
即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
【例1】（2022·广东潮州·高二期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线方程是（          ）
A． B．
C． D．

2.（2022·河南许昌·高二期末（文））双曲线与有相同的（       ）
A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点


3.（2023·全国·高三专题练习）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（       ）
A． B．9 C． D．3

4．（2022·四川南充·高二期末（文））若双曲线的渐近线与圆相切，则______．

题型八： 渐近线与离心率的关系

【例1】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·湖北·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（       ）
A．3 B． C． D．

【题型专练】
1．（2022·河南省叶县高级中学高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．




题型九： 双曲线焦点到渐近线的距离为
【例1】（2022·海南中学高三阶段练习）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．

【例2】【2018高考天津文理7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．

【例3】【2018高考全国3理11】设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 （ ）
A． B．2 C． D．


【题型专练】
1．（2014新课标1文理）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
A． B．3 C． D．
2．已知双曲线的两条渐近线均和圆：
相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
3.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．

题型十：已知渐近线方程求双曲线方程
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（共轭双曲线，具有相同渐近线的两个双曲线）
【例1】（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．

【例2】（2014北京文理）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．

【题型专练】
1．（2022·广东深圳·高二期末）已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为___________.

2．（2022·上海徐汇·高二期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为___________．

3．（2022·广东惠州·一模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的标准方程可以是___________.（写出一个正确的方程即可.）
4．（2022·江西·高二阶段练习（文））过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．

5．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））过点，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（       ）
A． B． C． D．