高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念精品随堂练习题

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第1讲 数列的基本知识与概念5种题型
考点分析
考点一：数列的概念
①数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
②数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
③数列有三种表示法：列表法、图象法和通项公式法．
考点二：数列的分类
①按照项数分：有限数列和无限数列
②按照单调性分：
考点三：数列的常用的表示方法
①通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．
②递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
考点四：周期数列
题型目录
题型一：数列的基本概念
题型二：观察法求数列的通项
题型三：数列的周期性
题型四：数列的单调性
题型五：数列的最大（小）项
典型例题
题型一：数列的基本概念
【例1】（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（    ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.
【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是1.
故选：B
【例2】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）下列有关数列的说法正确的是（    ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列
C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关
【答案】D
【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；
对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；
对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；
对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.
故选：D.
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（    ）
A．数列，，，可以表示为
B．数列，，，与，，，是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列与是相同的
【答案】C
【分析】根据数列的相关概念逐一判断
【详解】对于A，是一个集合，故A错误；
对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误；
对于C，，故C正确
对于D，数列与是不同的，表示数列，，，…，，…，而表示数列中的第n项，故D错误.
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（    ）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线
D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点
【答案】D
【分析】数列的通项公式为，因为，所以数列就是直角坐标系的上的一个个点.
【详解】数列的通项公式为，它的图像就是直线
上满足的一系列孤立的点.
故选:D．
3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下面四个结论正确的是（    ）
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
C．数列的图像是一系列孤立的点
D．数列的项数是无限的
【答案】BC
【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可.
【详解】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误；
对于B，由数列的定义可知正确；
对于C，由数列的，可知正确；
对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误.
故选:BC.
题型二：观察法求数列的通项
【例1】（2023陕西·安康市教学研究室一模（理））在数列中，第9个数是（    ）
A． B．3 C． D．10
【答案】B
【分析】观察分析可得数列通项为.
【详解】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3．
故选：B
【例2】（2022·全国·高二课时练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）．
A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【答案】D
【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.
【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，
由解得：，
所以是这个数列的第15项.
故选：D
【例3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.
【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．
故选：C．
【例4】（2022·广西百色·高二期末（文））若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母上的数的规律，即可找出数列的通项公式.
【详解】通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，
故用表示各项的正负；而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的分母为，所以数列的通项可为，
故选：D
【例5】（2022·全国·高二课时练习）（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．
【答案】              
【分析】（1）所给数列的前4项中，分母是项数的平方，分子是分母减1，由此可归纳；
（2）各项负正相间，分子都是1，分母是3的正整数倍，由此归纳结论；
（3）每一项都是由数字1组成的，数字个数正好是项数，把1与9联系，易归纳通项公式．
【详解】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为．
（2）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．
（3）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．
故答案为：；；．
【例6】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【答案】(1)；
(2)；
(3) ；
(4).

【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答.
（1）
4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）
4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）
4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）
4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
【题型专练】
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（    ）
A．9802 B．9991 C．10001 D．10202
【答案】C
【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数
【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，
所以第100个数为，
故选：C
2．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.
【详解】通过观察可知该数列的通项公式为，所以．
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（    ）
A．200 B．210 C．220 D．242
【答案】C
【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.
【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有
故其奇数项上的通项公式为故，
故选：C
4．（2022·河南驻马店·高二期中（理））如果正整数排列规律如下：
（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……
则第十个括号内从左到右第3个数是（    ）
A．39 B．46 C．47 D．48
【答案】D
【分析】由题知，第个括号最后一个数为，继而算出第九个括号最后一个数为45，从而得解.
【详解】由排列的规律可得，第个括号最后一个数为，所以第九个括号最后一个数为45，则第十个括号内从左到右第3个数是48．
故选：D.
5．（2022·广东·佛山一中高二期中）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.
故选：C.
6．（2022·全国·高二课时练习多选题）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据选项，分为奇数和为偶数，两种情况判定，即可求解.
【详解】对于A中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；
对于B中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；
对于C中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；
对于D中，，当为奇数时，；当为偶数时，，不满足题意.
故选：ABC
7．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习多选题）已知数列的前项为、、、、，则的通项公式可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用观察法可得出数列的通项公式.
【详解】观察数列的前项可知，的通项公式可能为，
因为，故，
若，则，不合乎题意.
故选：ABC.
8．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，的第14项是_________．
【答案】
【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式，再代入计算可得；
【详解】解：不妨设数列为，则，，，，
由此归纳得到的一个通项公式为，
所以；
故答案为：
9．（2022·全国·高二单元测试）数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
【答案】
【分析】先写出,…的一个通项公式为，从而可求2，0，2，0，…的一个通项公式.
【详解】解：,…的一个通项公式为，
故2，0，2，0，…的一个通项公式为.
故答案为:.
10．（2022·全国·高二课时练习）数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．
【答案】
【分析】根据规律猜想求解即可.
【详解】解：因为数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…，
所以，其通项公式可以为：.
故答案为：
11．（2022·全国·高二课时练习）已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项．
【答案】21.
【分析】观察通项公式，解方程即可.
【详解】解析  设该数列的第n项为，则，，，…，
所以．令，得n＝21．
故答案为：21.
12．（2022·江苏·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，，，；
(2)，，，；
(3)11，101，1001，10001；
(4)，，，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1），观察分子分母与项数的关系可得；
（2）观察分子分母与项数的关系可得；
（3）观察0的个数与项数的关系可得；
（4）观察分子分母与项数的关系同时注意正负号的规律即可得；
(1)
由题意分子是从1开始的奇数，分母是项的平方，；
(2)
由题意分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，;
(3)
由题意各项减1后是10的幂，；
(4)
由题意，奇数项为正，偶数项为负，
分子是项数乘以2，分母是3的幂，
13．（2022·全国·高二课时练习）如图，是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，…，，…的长度构成数列．

（1）写出数列的前4项：______；
（2）写出数列的一个递推公式：______．
【答案】     1，，，2     （答案不唯一）
【分析】由题意可直接求出数列的前面四项；继而根据其规律可得数列的而一个递推公式.
【详解】由题意可得： ,
;
由上面的结果可得数列的一个递推公式：，
故答案为：1，，，2；
题型三：数列的周期性
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则等于（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.
【详解】因为，，
所以，，，，，…，
所以数列是周期数列，周期为3，所以，
所以.
故选：A.
【例2】在数列中，若，，，则等于（       ）
A．6 B．－6 C．3 D．－3
【答案】B
【解析】
【分析】解：因为，，，所以，，
，，，，
所以，所以；
【例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列满足且，则（    ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：，，
，，
据此可得数列是周期为4的周期数列，
则.
故选：D
【例4】若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：．，∴，，
，同理可得：；；．；，，……．∴．故是一个以周期为6的周期数列，
则．
故选：B．
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
【例5】（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，则等于（    ）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由数列的首项和递推式求得数列的前面几项，可推得数列的周期性，即可求得答案.
【详解】由，可得：
，
故数列为周期性数列，每3项为一循环，
而 ，故，
故选：C
【例6】数列满足若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．
【详解】
因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．
【例7】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（    ）．
A．8 B．2 C．3 D．7
【答案】C
【分析】分别计算出的前八个整数项得其末位数字成周期数列，再根据周期性求解即可.
【详解】解：因为，
所以数列为，
整数项为，…，
所以数列的各项依次为：
末位数字分别是，…，
即末位数字周期为4，
又因为，
故的末位数字为3.
故选：C.
【题型专练】
1.数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果．
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，
，
．
故选：D．
2.若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
【答案】B
【分析】
由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解．
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以的前100项的和为，
故选：B．
3.（2022·辽宁·高二期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.
故选：D.
4.已知数列满足，，若且记数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A． B．3028 C． D．3029
【答案】C
【分析】
根据递推公式可逐个代入计算，得出数列的周期为4，再根据与前两项的范围可求得，再分组求和求解即可．
【详解】
设，由，得，，．
故数列的周期为4，即可得．
，又，．
，即．
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知数列满足，，则（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】先由递推公式求出数列的前6项，归纳出数列的周期为3，即可求出.
【详解】因为数列满足，，
所以，，，，……
由此归纳得数列是周期数列，数列的周期为3.
所以.
故选：B
6.（2022·河北·沧县中学高三）已知数列中，，，则等于（       ）
A． B． C．-1 D．2
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
∴，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列，，∴，
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（    ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
【分析】根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出.
【详解】因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
题型四：数列的单调性
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合数列单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得
故选：D.
【例2】（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为单调递增数列，，即，解得：，
即实数的取值范围为．
故选：B．
【例3】（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
【答案】D
【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围
【详解】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
【例4】（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，因此有，
得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，
因为数列单调递增，所以有，
即，解得：，
故选：C
【例5】（2023·全国·高三专题练习）函数对任意，由得到的数列均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，进而可得函数的图像在直线的图像上方，即得.
【详解】由题可知，，
∴，
故函数满足，即函数的图像在直线的图像上方，故排除BCD.
故选：A.
【例6】（2022·全国·高二课时练习多选题）下列是递增数列的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据递增数列的定义判断．
【详解】A．令，则，是递增数列，正确；
B．令，则，，不合题意，错；
C．令，则，符合题意．正确；
D．令，则，，不合题意．错．
故选：AC．
【题型专练】
1.（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，可得，
且有，即，即，解得或．
综上所述，．
故选：C．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据，求得，对恒成立，进而得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，数列的通项为，
则，
即，对恒成立，
当时，取得最小值，所以，
所以“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，
所以，，即，解得.
故选：A.
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据是递增数列，根据解析式，可得a的范围，又，代入求解，即可得答案.
【详解】因为是递增数列，由时，可得，，
所以当，，即，解得，
又，
所以，解得或（舍）
综上：，即实数a的取值范围是.
故选： C
5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一期中）已知，，若数列满足，对任意都有，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设为递减数列，结合通项公式的分段形式，结合一次函数、指数函数性质列不等式组求a的范围.
【详解】由题设，为递减数列，则，可得.
故选：C
6．（2022·广东·高二期末）设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，分段函数两段均为增函数，再结合数列的性质求解．
【详解】由题意，解得．
故选：A．
7．（2022·全国·高二期中）已知函数的定义域为R，数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由指数函数和一次函数的单调性，结合数列的单调性的定义，可得的不等式组，解不等式可得所求范围．
【详解】解：由函数的定义域为，数列满足，且是递增数列，
可得，即为，
解得，
则实数的取值范围是．
故选：D．
8．（2022·北京八中高二期末）在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】已知，若，即，解得.
若数列是单调递增数列，对任意的，，即，
所以，对任意的恒成立，故，
因此，“”是“是单调递增数列”的充要条件.
故选：C.
题型五：数列的最大（小）项
【例1】（2022·全国·高二课时练习多选题）数列与函数是密不可分的，数列是自变量为正整数的特殊函数，则下列说法正确的是（    ）
A．，数列的最小项和最大项分别是，
B．，数列的最小项和最大项分别是，
C．，数列的最大项是
D．，数列的最小项是
【答案】ACD
【分析】根据，得出数列的单调性，进而逐个选项判断，即可求解
【详解】对于A，B，
，当时，数列单调递增，
且，当时，数列单调递增，且，
∴数列的最小项和最大项分别是，，A项正确；
对于C，D，∵，∴，
当时，数列单调递减，且，当时，
数列单调递减，且，∴为最大项，为最小项．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：
形如的函数，其图象的两条渐近线分别为直线
（由分母为零确定）、直线（由分子、分母中x的系数确定），中心是点．
【例2】已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ）
A． B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据得出，然后通过累加法求出，根据均值不等式及，即可求出结果．
【详解】
由得
所以
则
所以
当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1
故选：B
【点睛】
思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及，求得最值．
【例3】（2022·全国·高一专题练习）已知数列满足，若数列的最大项为，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】由已知代入，建立不等式组求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
，
，
，
因为数列的最大项为，所以
，即，所以，解得，
所以，
故答案为：.
【例4】已知数列满足 ，，则的最小值为（ ）
A．2 -1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据累加法得，进而得，再结合函数的单调性即可得当时，的最小值为．
【详解】
解：由得，
所以，，， ，，，
累加上述式子得：，
所以，，
检验已知时，满足．
故，，
由于函数在区间上单调递减，在上单调递增，
又因为，当时，，当时，，
所以的最小值为．
故选：C．
【例5】（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.
【答案】或.
【分析】判断取最大值时，一定有 ，由此设为数列的最大项，列出不等式组，求得n的取值范围，可得答案.
【详解】由可得当时，，当时，，
当时，，故取最大值时，一定有 ，
设为数列的最大项，
则 ，即 ，解得，
则或，此时，
故答案为：或.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为___________.
【答案】##
【分析】由，得到数列为递增数列求解.
【详解】因为，
易知数列为递增数列，
所以数列的最小项为，即最小值为.
故答案为：
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)讨论数列的单调性；
(2)求数列的最大项和最小项.
【答案】(1)答案见解析
(2)最大项为，
最小项为.

【分析】（1）分离常数后利用定义可判断数列的单调性.
（2）利用（1）的结论可求数列的最大项最小项.
(1)

故，
当即时，即，但此时，
当即时，即，但此时，
而，
综上，当时，为减数列，当时，为减数列，
即，.
(2)
由（1）可得中的最大项为，
最小项为.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)依次写出数列的前项；
(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．
【答案】(1)，，，，；
(2)答案见解析.

【分析】（1）分别将代入通项公式即可；
（2）由可知当时，；当时，，并可得到在每一段上的单调性，由此可确定最值.
(1)
由题意得：，，，，.
(2)
，
当时，且递增；当时，且递增；
；.
3．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，.
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列中的最大项.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由于，所以分别由，和求出所对应的的范围，从而可证得结论，
（2）由（1）可得是数列的最大项
(1)
证明：因为，令，
即，整理得，解得，即当时，.
同理，令，
即当时，.
令，得，
即当时，.
综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减.
(2)
由（1）知，，，
故是数列中的最大项.
4.（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
又，，，
即的最小值为．
故选：A．
5.（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D