2022-2023学年江苏省宿迁市湖滨新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省宿迁市湖滨新区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省宿迁市湖滨新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 观察下列图形，是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 若分式x−2x+1无意义，则(    )
A. x≠−1 B. x=2 C. x=−1 D. x=1
3. 如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是(    )
A. ∠1=∠2
B. AD=BC
C. ∠C=∠D
D. AC=BD
4. 用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是(    )
A. (x+4)2=−9 B. (x+4)2=−7 C. (x+4)2=25 D. (x+4)2=7
5. 为了解我市参加中考的5000名学生的身高情况，抽查了其中200名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是(    )
A. 5000名学生是总体
B. 从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本
C. 每名学生是总体的一个个体
D. 以上调查是全面调查
6. 标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是(    )
A. 12个黑球和4个白球 B. 10个黑球和10个白球
C. 4个黑球和2个白球 D. 10个黑球和5个白球
7. 如图(1)，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图(2)所示，则边BC的长为(    )


A. 23 B. 2 5 C. 2 6 D. 6
8. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF=DE，连接DF，分别交CE、CA于点G、H，P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于Q，连接PH，则下列四个结论：
①CE⊥DF；
②DE+DC=AC；
③DF2−AH2=1；
④PH+PQ的最小值是 22；
其中所有正确的结论有个(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 364=          ．
10. 代数式 1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
11. 计算式子：( 3− 2)(− 3− 2)+(3+2 5)2的值为______ ．
12. 将直线y=−x+1向左平移m(m>0)个单位后，经过点(1,−3)，则m的值为______ ．
13. 如图，AB=AC，AB的垂直平分线EF交AC于点D，若∠C=65°，则∠DBC的度数为______ °.


14. 关于x的方程3−2xx−3+2+mx3−x=−1无解，则m= ______ ．
15. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=DB，BE⊥AD于点E，F是AC边的中点，连接EF，若AB=8，BC=10，则EF= ______ ．


16. 已知a是 2的小数部分，则式子 a2+1a2−2的值为______ ．
17. 如图，矩形ABCD中，CD=8，BC=15，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为______ ．


18. 如图，在x轴的上方作正方形OABC，其对角线交点P(m,n)在第一象限，双曲线y=kx(x>0)经过点P和点C，则mn的值是______ ．


三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解下列方程；
(1)1x−2+2=1−x2−x；
(2)(x−4)2=4(2x+1)2．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+1a)÷a2−1a−2a−2a2−2a+1，其中a是方程x2−x−2=0的根．
21. (本小题8.0分)
八年级(1)班同学为了解2023年某小区家庭月均用水量情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：
月均用水量x/吨频数
频数
频率
0 6
0.12
5 a
0.24
10 16
0.32
15 10
0.20
20 4
b
25 2
0.04

(1)本次调查的样本容量是______ ；
(2)表中a= ______ ，b= ______ ，并将频数分布直方图补充完整；
(3)若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“15 (4)若该小区有300户家庭，求该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户？
22. (本小题8.0分)
如图，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)若DB=4，AB=7，求DE的长．

23. (本小题10.0分)
如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性的大小，并将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序用“<”排列．
(1)指针落在标有3的区域内；
(2)指针落在标有9的区域内；
(3)指针落在偶数或奇数的区域内；
(4)指针落在偶数的区域内．

24. (本小题10.0分)
如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．
(1)判断四边形BEDF的形状并证明；
(2)若AB=3 2，CF=2，求四边形BEDF的面积．

25. (本小题10.0分)
某商家预测一种运动衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种运动衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种运动衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价贵了10元．
(1)求该商家购进的第二批运动衫是多少件？
(2)若两批运动衫都按每件150元的价格销售，则这两批运动衫全部售完后的利润是多少元？
26. (本小题10.0分)
已知：关于x的方程x2−(k+2)x+2k=0．
(1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a=1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
27. (本小题12.0分)
通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段：当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)求图中点A的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

28. (本小题12.0分)
如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时发出，以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.设移动时间为t s，
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接QB，
①当△BPQ为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB=90°？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2.【答案】C 
【解析】解：∵分式x−2x+1无意义，
∴x+1=0，
解得x=−1．
故选：C．
根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意得：∠CAB=∠DBA，AB=BA，
A、∵∠1=∠2，
∴AO=BO，
∠CAB−∠1=∠DBA−∠2，
即∠CAO=∠DBO，
利用ASA可判定△ACO≌△BDO，
则有AC=BD，
从而利用SAS可判定△ABC≌△BAD，故A不符合题意；
B、当AD=BC时，不能判定△ABC≌△BAD，故B符合题意；
C、当∠C=∠D时，利用AAS可判定△ABC≌△BAD，故C不符合题意；
D、当AC=BD时，利用SAS可判定△ABC≌△BAD，故D不符合题意；
故选：B．
利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．

4.【答案】D 
【解析】解：方程x2+8x+9=0，
移项得：x2+8x=−9，
配方得：x2+8x+16=7，
即(x+4)2=7，
故选：D．
把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．
此题考查了一元二次方程−配方法，解答此类题目时方程的常数项移到等号右边后，利用完全平方公式配方即可得到结果．

5.【答案】B 
【解析】解：A.5000名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意；
B.从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本，故本选项符合题意；
C.每名学生的身高情况是总体的一个个体，故本选项不合题意；
D.该调查是抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

6.【答案】A 
【解析】解：A、摸到黑球的概率为1212+4=0.75，
B、摸到黑球的概率为1010+10=0.5，
C、摸到黑球的概率为44+2=23，
D、摸到黑球的概率为1010+5=23，
故选：A．
分别计算出每个选项中摸到黑球的概率可得答案．
此题主要考查了可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出从4个盒子中摸到黑球的可能性各是多少．

7.【答案】C 
【解析】解：如图，过点B作BP′⊥AC于点P′，

由图象可知，AB=3，AC=5，
当x=1时，AP⊥AC，
即AP′=1，
在Rt△ABP′中，
BP′= AB2−AP′2= 32−1=2 2，
∵AP′=1，
∴P′C=AC−AP′=5−1=4，
在Rt△BP′C中，
BC= BP′2+P′C2= (2 2)2+42= 24=2 6．
故选：C．
过点B作BP′⊥AC于点P′，根据图象可知AB=3，AC=5，当x=1时，AP⊥AC，即AP′=1，P′C=AC−AP′=5−1=4，根据勾股定理可求得BP，再根据勾股定理可求得BC．
本题主要考查动点问题的函数图象、数形结合思想，解题关键是根据图象得出AB=3，AC=5，当x=1时，AP⊥AC是解题关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴CD=AD=1，AC= 2，∠ADC=∠DAF=90°，∠ACD=45°，AB//CD，
在△ADF和△DCE中，
AD=DG∠DAF=CDEAF=DE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴∠ADF=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEG=180°−∠CDE=90°，
∴∠ADF+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，即CE⊥DF，结论①正确；
∵CE平分∠ACD，CE⊥DF，
∴CH=DC=1，
∴∠CDH=∠CHD=∠AHF，
∵AB//CD，
∴∠CDH=∠AFH，
∴∠AFH=∠AHF，
∴AF=AH，
∵AF=DE，
∴DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC，结论②正确；
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD=AC，
在Rr△AFD和Rt△DEC中，
AD=ACAF=DE，
∴Rr△AFD≌Rt△DEC(HL)，
∴∠AFD=∠CDF，
∵∠AFD=∠FDC，
∴∠DEC=∠GDC，
∴∠DGC=90°，
∵CG是∠ACD的角平分线，
∴CD=CH，
∴∠GDC=∠GHC，
∵∠GHC=∠AHF，
∴∠AHF=∠AFH，
∴AH=AF，
∴DF2−AF2=DF2−AH2=AD2=AB2=1，
故结论③正确；
如图，过点P作PM⊥CD于点M，连接HM，

∵CE平分∠ACD，PM⊥CD，PQ⊥AC，
∴PM=PQ，
∴PH+PQ=PH+PM，
由两点之间线段最短得：当点H，P，M共线时，PH+PM取得最小值HM，
由垂线段最短得：当HM⊥CD时，HM取得最小值，
此时在Rt△CHM中，HM=CH⋅sin∠ACD=sin45°= 22，
即PH+PQ的最小值是 22，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①②③④，
故选：D．
先根据SAS定理证出△ADF≌△DCE，从而可得∠ADF=∠DCE，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得DC=CH，AF=AH，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得AD=AB=1，由全等三角形的判定与性质及余角性质可得∠AHF=∠AFH，最后根据勾股定理即可判断结论③；过点P作PM⊥CD于点M，连接HM，先根据角平分线的性质可得PM=PQ，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当HM⊥CD时，PH+PQ取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当HM⊥CD时，HM取最小值是解题关键．

9.【答案】4 
【解析】
【分析】
直接利用求出立方根求解即可．
本题考查的是简单的开立方问题，注意正负号即可．
【解答】
解：∵4的立方为64，
∴64的立方根为4
∴364=4．  
10.【答案】x≤1 
【解析】解：由题意得，1−x≥0，x≤1，
故答案为：x≤1．
根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行计算即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．

11.【答案】28+12 5 
【解析】解：( 3− 2)(− 3− 2)+(3+2 5)2
=(− 2)2−( 3)2+9+12 5+20
=2−3+9+12 5+20
=28+12 5，
故答案为：28+12 5．
利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

12.【答案】3 
【解析】解：将直线y=−x+1向左平移m(m>0)个单位后所得直线为：y=−(x+m)+1．
将点(1,−3)代入，得−3=−(1+m)+1．
解得m=3．
故答案是：3．
根据“左加右减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点(1,−3)代入求得m的值即可．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线y=kx+b平移时，k的值不变．

13.【答案】15 
【解析】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，
∴∠A=180°−65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=15°，
故答案为：15．
根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．

14.【答案】−1或−53 
【解析】解：化为整式方程得：3−2x−2−mx=3−x
整理得x(1+m)=−2
当此整式方程无解时，1+m=0即m=−1；
当最简公分母x−3=0得到增根为x=3，当分式方程无解时，把增根代入，得m=−53．
故m=−1或−53．
先按照一般步骤解方程，用含m的代数式表示x，然后根据原方程无解，即最简公分母为0，求出m的值．
分式方程无解的可能为：整式方程本身无解；分式方程产生增根．

15.【答案】1 
【解析】解：∵BD=AB，BE⊥AD，
∴DE=AE，
∵F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴CD=2EF，
∵AB=8，BC=10，
∴CD=2，
∴EF=1，
故答案为：1．
利用等腰三角形的性质得DE=AE，从而得出EF是△ACD的中位线，则CD=2EF，即可得出答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，证明EF是△ACD的中位线是解题的关键．

16.【答案】2 
【解析】解：∵1< 2<2，
∴ 2的小数部分a= 2−1，
1a=1 2−1= 2+1，
∴a−1a
=( 2−1)−( 2+1)
= 2−1− 2−1
=−2<0，
∴ a2+1a2−2
= (a−1a)2
=|a−1a|
=1a−a
=( 2+1)−( 2−1)
= 2+1− 2+1
=2，
故答案为：2．
先估算出a的值，再对该式进行化简求解．
此题考查了无理数的估算和二次根式的计算化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．

17.【答案】12017 
【解析】解：连接PC，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD= BC2+CD2= 152+82=17，
∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
∴∠PEC=∠PFC=∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴EF=PC，
当PC⊥BD时，PC取得最小值，
此时，PC=BC⋅CDBD=15×817=12017，
∴EF的最小值为12017，
故答案为：12017．
连接PC，由矩形的性质和勾股定理得BD=17，再证四边形PECF为矩形，得EF=PC，当PC⊥BD时，PC取得最小值，然后由面积法求出PC的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

18.【答案】 5−12 
【解析】解：作AM⊥x轴，垂足为M，作CN⊥x轴，垂足为N，连接PM、PN．
∵AO=OC，∠AOM=∠OCN，∠AMO=∠ONC，
∴△AMO≌△ONC(AAS)，
∴OM=CN，AM=ON，
∵，∠AOM=∠OCN，
∴∠MOP=∠NCP(等式性质)，
又∵PO=PC，OM=CN，
∴△PMO≌△PNC(SAS)，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
∵P(m,n)，OM=CN=n−m，ON=m+n，
∴C(n−m,n+m)，
∵CP都在双曲线y=kx(x>0)上，
∴mn=(n−m)(n+m)，
∴mn=n2−m2，
∵m>0，n>0，
∴(mn)2+mn−1=0，
解得：∴mn= 5−12或− 5−12(舍)．
故答案为： 5−12．
作AM⊥x轴，垂足为M，作CN⊥x轴，垂足为N，连接PM、PN，证明△AMO≌△ONC(AAS)与△PMO≌△PNC(SAS)，推出点C关于m、n的坐标，利用和点P在同一反比例函数图象上建立关于m、n的方程(mn)2+mn−1=0，解得结果即可．
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征，三角形全等的判定和性质，正方形的性质等内容，由点I的坐标，得出点N的坐标是解题关键．

19.【答案】解：(1)去分母得：1+2(x−2)=x−1，
去括号得：1+2x−4=x−1，
移项合并得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
(2)移项得：(x−4)2−4(2x+1)2=0，
因式分解得，[x−4+2(2x+1)][x−4−2(2x+1)]=0，
去括号合并得，(5x−2)(−3x−6)=0，
∴5x−2=0或−3x−6=0，
解得：x1=25，x2=−2． 
【解析】(1)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解分式方程，解一元二次方程−因式分解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

20.【答案】解：(1+1a)÷a2−1a−2a−2a2−2a+1
=a+1a⋅a(a+1)(a−1)−2(a−1)(a−1)2
=1a−1−2a−1
=11−a．
∵a为方程x2−x−2=0的根，
∴a2−a−2=0，
∴(a−2)(a+1)=0，
∴a1=2，a2=−1．
∵a≠±1，
∴a=2．
则原式=11−2=−1． 
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到a的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21.【答案】50  12  0.08  72° 
【解析】解：(1)样本容量为6÷0.12=50(户)，
故答案为：50；
(2)a=50×0.24=12，b=4÷50=0.08，
如图，

故答案为：12，0.08；
(3)若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“15 故答案为：72°；
(2)300×(0.32+0.2+0.04+0.08)=192(户)，
答：该小区月均用水量超过10t的家庭大约有192户．
(1)先用0 (2)计算50×0.24得到a，计算4÷50得到b，再补全直方图；
(3)360°乘以“15 (4)在样本中，用水量超过10t的家庭为后4组，于是用后4组的频率和乘以300可估计该小区月均用水量超过10t的家庭数．
本题考查频数(率)分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．

22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE=90°，
即∠BCD=∠ACE，
∵△ABC与△CDE都为等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠CBD=∠CAB=45°，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠CBD=∠CAECD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)；
(2)解：∵△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠CAE=∠CBD=45°，BD=AE=4，
∴∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，
∴△ADE是直角三角形，
AD=AB−BD=7−4=3，
∴DE= AE2+AD2= 42+32=5． 
【解析】(1)根据SAS证明△BCD≌△ACE，
(2)先求得AE和AD，再证明△ADE是直角三角形，在△ADE中由勾股定理求出DE即可．
本题主要考查三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，解题的关键是证明△ADE是直角三角形．

23.【答案】解：(1)指针落在标有3的区域内的概率是18；
(2)指针落在标有9的区域内的概率是0；
(3)指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1；
(4)指针落在标有奇数的区域内的概率是12；
将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：(2)<(1)<(4)<(3)． 
【解析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．
此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．

24.【答案】解：(1)四边形BEDF是菱形．证明如下：
连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
又∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=3 2
∴AC=BD= AB2+BC2= (3 2)2+(3 2)2=6，
∵CF=2，
∴CF=AE=2，
∴EF=AC−AE−CF=6−2−2=2，
∴菱形BEDF的面积=12×EF×BD=12×2×6=6，
答：四边形BEDF的面积为6． 
【解析】(1)连接BD，根据对角线互相平分证出四边形BEDF为平行四边形，再根据对角线互相垂直证出四边形BEDF是菱形；
(2)根据勾股定理求出正方形对角线的长，再求出菱形的对角线EF的长，根据菱形的面积公式=对角线乘积的一半，求出菱形的面积．
本题考查了正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积，解题的关键是连接BD，根据对角线互相平分证明四边形BEDF是平行四边形．

25.【答案】解：(1)设第一批运动衫x件，则第二批运动衫为2x件．
根据题意得：12000x=264002x−10．
解得：x=120．
经检验x=120是方程的根，
答：该商家购进的第一批运动衫是120件；
(2)12000÷120=100，100+10=110．
两批衬衫全部售完后的利润=120×(150−100)+240×(150−110)=15600元．
答：两批运动衫全部售完后的利润是15600元． 
【解析】(1)设第一批运动衫x件，则第二批运动衫为2x件，接下来依据第二批衬衫每件进价贵了10元列方程求解即可；
(2)先求得每一批运动衫的数量和进价，然后再求得两批衬衫的每一件衬衫的利润，最后根据利润=每件的利润×件数求解即可．
本题主要考查的是分式方程的应用，依据第二批衬衫每件进价贵了10元列出关于x的方程是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：∵关于x的方程x2−(k+2)x+2k=0，
∴Δ=[−(k+2)]2−8k
=k2+4k+4−8k
=k2−4k+4
=(k−2)2≥0，
则无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)解：当b=c时，k=2，方程为x2−4x+4=0，
解得：x1=x2=2，
此时三边长为1，2，2，周长为1+2+2=5；
当a=b=1或a=c=1时，把x=1代入方程得：1−(k+2)+2k=0，
解得：k=1，此时方程为：x2−3x+2=0，
解得：x1=2，x2=1，
此时三边长为1，1，2，不能组成三角形，
综上所述，△ABC的周长为5． 
【解析】(1)表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
(2)分两种情况考虑：当b=c时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当a=c或a=b时，把x=1代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

27.【答案】解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C(20,45)代入得：
45=k20，解得k=900，
∴反比例函数的解析式为y=900x，
当x=45时，y=90045=20，
∴D(45,20)，
∴A(0,20)，即A对应的指标值为20；
(2)设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，将A(0,20)、B(10,45)代入得：
20=n45=10m+n，解得m=52n=20，
∴AB的解析式为y=52x+20，
当y≥36时，52x+20≥36，解得x≥325，
由(1)得反比例函数的解析式为y=900x，
当y≥36时，900x≥36，解得x≤25，
∴325≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25−325=935>17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 
【解析】(1)设反比例函数的解析式为y=kx，由C(20,45)求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；
(2)求出AB解析式，得到y≥36时，x≥325，由反比例函数y=900x可得y≥36时，x≤25，根据25−325=935>17，即可得到答案．
本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x<10和20≤x≤45时的解析式．

28.【答案】解：(1)由题意可知：AP=3t cm，CQ=2t cm，
∵AB=16cm，AD=6cm，
∴PB=AB−AP=(16−3t)cm，
当PQ⊥AB时，PO最小，
此时四边形BCQP是矩形，
∴CQ=PB，
∴2t=16−3t，
解得t=165，
∴当t的值为165时，PQ最小，PQ的最小值为6cm；
(2)①如图，过点Q作QG⊥AB于点G，得矩形BCQG，矩形AGQD，
∴BG=CQ=2t cm，QG=BC=6cm，
∴PG=AB−BG−AP=|16−2t−3t|=|16−5t|cm，
在Rt△PQG中，根据勾股定理得：
PQ2=PG2+QG2=(16−5t)2+62，BQ2=(2t)2+62，
当PQ=PB时，(16−5t)2+62=(16−3t)2，
整理得4t2−16t+9=0，
解得t=4± 72；
当BQ=PB时，(2t)2+62=(16−3t)2，
整理得5t2−96t+220=0，
解得t=48−2 3015或t=48+2 3015(不符合题意，舍去)；
当QP=QB时，G为PB的中点，
∴16−5t=2t，
解得t=167；
综上所述：当△BPQ为等腰三角形时，t的值为4± 72或48−2 3015或167；
②不存在一个时刻，使得∠PQB=90°，理由如下：
当∠PQB=90°时，有PQ2+BQ2=PB2，
∴(16−5t)2+62+(2t)2+62=(16−3t)2，
化简得5t2−16t+18=0，
∵Δ=162−4×5×18=−104<0，
∴此方程无实数解，
所以不存在一个时刻，使得∠PQB=90°． 
【解析】(1)由题意可得AP=3t cm，CQ=2t cm，当PQ⊥AB时，PO最小，然后列方程求解即可；
(2)①过点Q作QG⊥AB于点G，得矩形BCQG，矩形AGQD，根据勾股定理得PQ2=(16−5t)2+62，BQ2=(2t)2+62，然后分三种情况讨论：当PQ=PB时，当BQ=PB时，当QP=QB时，分别列出方程求出t的值即可；
②当∠PQB=90°时，有PQ2+BQ2=PB2，列出方程，由Δ<0，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得∠PQB=90°．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形，一元二次方程，关键是利用分类讨论思想解决问题．