人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章质量评估
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线l的斜率为-2,则m的值为 (　　)
A.6 B.1 C.2 D.4
解析:由题意知直线l的斜率为-2,则=-2,解得m=6.
答案:A
2.过点(-1,2),且斜率为2的直线的方程是 (　　)
A.2x-y+4=0 B.2x+y=0
C.2x-y+5=0 D.x+2y-3=0
解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
答案:A
3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
解析:由题意,知圆的半径 r==,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
答案:D
4.过点(2,0)且与直线2x-4y-1=0平行的直线的方程是 (　　)
A.x-2y-1=0 B.2x+y-4=0
C.x-2y-2=0 D.x+2y-2=0
解析:由题意,知直线2x-4y-1=0的斜率k=,故所求直线的方程为y-0=(x-2),化简得x-2y-2=0.
答案:C
5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 (　　)
A. B.2 C. D.2
解析:由题意,知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y=x.
因为圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,所以半径r=2,圆心为(0,2),且(0,2)到直线y=x的距离d=1,所以弦长为2=2.
答案:D
6.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方程是 (　　)
A.(x+3)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1
解析:设动点P的坐标为(x0,y0),PQ的中点M的坐标为(x,y),可得解得
因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.
所以点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1.
答案:C
7.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为　 (　　)
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0
解析:由题意设圆心坐标为C(a,0)(a>0).因为圆C与直线3x+4y+4=0相切,圆C的半径为2,所以=2,解得a=2,所以圆心为C(2,0),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
答案:D
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 (　　)
A.-1 B.-
C. D.3-
解析:如图所示,设点A关于直线x+y=4的对称点为A'(a,b),军营所在区域的圆心为O,连接A'O.
根据题意,|A'O|-1为最短距离.
所以线段AA'的中点为,直线AA'的斜率为1,
所以直线AA'的方程为y=x-3.
根据题意,得解得
所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O|==,
所以|A'O|-1=-1,
即“将军饮马”的最短总路程为-1.

答案:A
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021全国卷Ⅰ)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
解析:因为A(4,0),B(0,2),所以过A,B的直线方程为+=1,即x+2y-4=0,圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心坐标为(5, 5),圆心到直线x+2y-4=0的距离d===>4,所以点P到直线AB的距离的范围为-4,+4,<5,所以-4<1,+4<10,所以点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误;
如图,

当过B的直线与圆相切时,满足∠PBA最小或最大( P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|===,
所以|PB|===3.故CD正确.故选ACD.
答案:ACD
10.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是 (　　)
A.直线l2始终过定点
B.若l1∥l2,则a=1或a=-3
C.若l1⊥l2,则a=0或a=2
D.当a>0时,l1始终不过第三象限
解析:直线l2:a(x-2y)+3y-1=0始终过定点,A项正确;
当a=1时,l1,l2重合,B项错误;
由1×a+a×(3-2a)=0,得a=0或a=2,C项正确;
直线l1的方程可化为y=-x+1,可知其始终过点(0,1).当a>0时,直线l1的斜率为负,不会过第三象限,D项正确.
故选ACD.
答案:ACD
11.过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线的方程可为 (　　)
A.x=-2 B.x=2
C.4x-3y+4=0 D.4x+3y-4=0
解析:根据题意,知圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),半径r=1.
过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,
若切线的斜率不存在,此时切线的方程为x=2,符合题意;
若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为k,则其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
所以=1,解得k=,则切线的方程为4x-3y+4=0.
综上所述,切线的方程为x=2或4x-3y+4=0.
故选BC.
答案:BC
12.若圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有 (　　)
A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B.线段AB的垂直平分线的方程为x+y-1=0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点,则点P到直线AB的距离的最大值为+1
解析:已知圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,两圆的方程相减可得圆O1与圆O2的公共弦AB所在直线的方程为x-y=0,故A项正确;
由题意,知O1(1,0),O2(-1,2),线段O1O2所在直线斜率为-1,线段O1O2的中点为(0,1),
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-x,即x+y-1=0,故B项正确;
由题意,知圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为O1(1,0),半径r1=1,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离d==,
所以点P到直线AB的距离的最大值为+1,
圆O1与圆O2的公共弦AB的长为2=,故C项错误,D项正确.
故选ABD.
答案:ABD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2022全国卷乙)过平面四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-4x-2y=0或x2+y2-x-y=0或x2+y2-x-2y-=0.
解析:设过点(0,0),(4,0),(-1,1)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,即
解得F=0,D=-4, E=-6,
所以过(0, 0),(4,0),(-1,1)三点的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
同理可得,过(0,0),(4,0),(4,2)三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.
过(0, 0),(-1,1) ,(4, 2)三点的圆的方程为x2+y2-x-y=0.
过(4, 0),(-1, 1),(4, 2)三点的圆的方程为x2+y2-x-2y-=0.
故符合题意的圆有x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-4x-2y=0或x2+y2-x-y=0或x2+y2-x-2y-=0.
14.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=3.
解析:由题意,知圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d==3.
15.(2022全国卷Ⅰ)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程x=-1或x=-x+或y=x-.
解析:圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心坐标为C(3,4),半径r2=4,如图.

因为|OC|=r1+r2,所以两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条,
因为kOC=,所以l1的斜率为-,
设直线l1:y=-x+b,,即3x+4y-4b=0,
O(0,0)到直线l1的距离,d==1,解得b=(负值舍去),
则l1:3x+4y-5=0;
由图可知,l2:x=-1;l2与l3关于直线y=x对称,
联立解得l2与l3的交点坐标为-1,-,
在l2上取一点(-1,0),
该点关于y=x的对称点为(x0,y0),
则解得对称点为,-,
所以==,
则l3:y=(x+1)-,即7x-24y-25=0.
所以与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0.
16.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,顶点B的坐标为(1,2),则△ABC的面积为12.
解析:由方程组求得点A的坐标为(-1,0).因为边AB所在直线的斜率为kAB=1,且角A的平分线所在直线的方程为y=0,所以边AC所在直线的斜率为-1,
其方程为y=-(x+1),即y=-x-1.
因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,所以边BC所在直线的斜率为-2,
所以边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),
即y=-2x+4.
联立方程,得解得即顶点C的坐标为(5,-6),所以|BC|=4,点A到直线BC的距离d==,
所以△ABC的面积为S=|BC|·d=×4×=12.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在△ABC中,点A的坐标为(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.
(1)求直线AB的方程;
(2)求直线BC的方程.
解:(1)由已知,得直线AB的斜率为2,
所以AB边所在直线的方程为y-1=2(x-0),
即2x-y+1=0.
(2)由得
即点B的坐标为.
设点C的坐标为(m,n),则由已知条件得

解得所以点C的坐标为(2,1).
所以BC边所在直线的方程为=,
即2x+3y-7=0.
18.(12分)已知直线l1:mx+8y+n=0和直线l2:2x+my-1=0,试分别确定满足下列条件的m,n的值.
(1)l1与l2相交于点(m,-1);
(2)l1∥l2;
(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
解:(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),
所以点(m,-1)在l1,l2上.
将点(m,-1)代入l2的方程,得2m-m-1=0,解得m=1.
所以交点的坐标为(1,-1).
把点(1,-1)的坐标代入l1的方程,得n=7.
所以m=1,n=7.
(2)要使l1∥l2,则有
解得或
(3)要使l1⊥l2,则有2m+8m=0,解得m=0.
将m=0代入直线l1的方程,得y=-.
因为l1在y轴上的截距为-1,
所以-=-1,解得n=8.
所以m=0,n=8.
19.(12分)已知直线l:y=kx+3(k>0)与x轴、y轴围成的三角形面积为,圆M的圆心在直线l上,与x轴相切,且在y轴上截得的弦长为4.
(1)求直线l的方程(结果用一般式表示);
(2)求圆M的标准方程.
解:(1)在直线方程y=kx+3(k>0)中,
令x=0,得y=3;
令y=0,得x=-.
所以×3×=.
因为k>0,所以k=2.
所以直线l的方程为2x-y+3=0.
(2)设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
由题意可知
解得或
故圆M的标准方程为(x+5)2+(y+7)2=49 或(x-1)2+(y-5)2=25.
20.(12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米?

解:以圆拱顶点为原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

设圆拱所在圆的圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得A(6,-2).
设圆的半径为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.
将点A的坐标代入可得r=10,
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.
当水面下降1 m后,可设A'(x0,-3)(x0>0)在圆上,代入x2+(y+10)2=100,解得x0=,
即当水面下降1 m后,水面宽为2x0=2 m.
21.(12分)在平面直角坐标系Oxy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
解:(1)由题意,得曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0), (3-2,0).
故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=+t2,解得t=1,
所以圆C的半径为=3,
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两点的坐标满足方程组
消去y整理,得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0,且x1+x2=4-a,x1x2=. ①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.
因为y1=x1+a,y2=x2+a,
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. ②
由①②,得a=-1,经检验a=-1满足Δ>0,
所以a=-1.
22.(12分)已知圆M与直线x=2相切,圆心M在直线x+y=0上,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2.
(1)求圆M的方程,并判断圆M 与圆N:x2+y2-6x+8y+15=0的位置关系.
(2)若在x轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A,B两点,在x轴上是否存在定点Q, 使得kAQ+kBQ=0?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)设圆M的圆心为M(a,-a),半径为r,则解得即圆心坐标为(0,0),r=2,
所以圆M的方程为x2+y2=4.
由题意知,圆N的圆心为(3,-4),半径R=,
r+R=2+,R-r=-2.
因为|MN|=5,-2<5<+2,
所以圆M与圆N相交.
(2)存在.
方法一:设l:x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(m2+1)y2-2my-3=0.
由根与系数的关系,得
假设存在Q(t,0)满足条件,
则kAQ==,
kBQ==,
由kAQ+kBQ=0,得+=0,
即
=
==0,
即2m(t+4)=0且m≠0,所以t=-4.
所以存在Q(-4,0)满足条件.
方法二:设l:y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(k2+1)x2+2k2x+k2-4=0,
则
假设存在Q(t,0)满足条件,
则kAQ+kBQ=+
=+
=
=
=
==0,
解得t=-4.
所以存在Q(-4,0)满足条件.