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2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 分式x+2x−1有意义的条件是( )
A. x=−2 B. x≠−2 C. x=1 D. x≠1
2. 下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2 B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−4=(x+2)(x−2) D. x−1=x(1−1x)
4. 下列分式变形正确的是( )
A. a2b2=ab B. 2a2b=ab C. 2a+14b=a+12b D. a+2b+2=ab
5. 将不等式组1−4x<93x−5≤1的解集在数轴上表示出来，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC=8，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
8. 如图，l1：y=x+1和l2：y=mx+n相交于P(a,2)，则x+1≥mx+n解集为( )
A. x≥1
B. x<1
C. x≥−1
D. x>a
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=5cm，则BF=( )
A. 8cm
B. 10cm
C. 12cm
D. 14cm
10. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E为射线AB上一点，若△ACE是等腰三角形，则△ACE的面积不可能是( )
A. 40
B. 48
C. 1003
D. 503
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 多项式−6x2y+12xy2−3xy提公因式−3xy后，另一个因式为______．
12. 某蓄水池装有A，B两个进水管，每时可分别进水a立方米，b立方米.若单独开放A进水管，p小时可将该水池注满，如果A，B两个进水管同时开放，将该蓄水池注满的时间能提前______ 小时．
13. 若分式方程有2x−1+3=mx−1增根，则m的值是______．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为______．
15. 已知关于x的不等式组x>2a−32x≥3(x−2)+5有且仅有三个整数解，则a的取值范围是______．
16. 如图，等边△ABC中，BC=16，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM=2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)分解因式：x2−xy+14y2；
(2)(2x+y)2−(x+2y)2．
18. (本小题10.0分)
(1)解不等式2x−33>3x+16−1；
(2)解不等式组：x≤3x−63x+1>2(x−1)．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−1，并从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
21. (本小题8.0分)
某花店计划购进一批康乃馨和百合花，已知每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元.若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，长方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(4,3)、D(2,1)，长方形EFGH各顶点的坐标分别为E(2,5)、F(5,8)、G(7,6)、H(4,3).平移长方形ABCD得到长方形A′B′C′D′，且点B′的坐标为(7,8)．
(1)画出长方形A′B′C′D′．
(2)如果长方形ABCD沿H→G的方向平移，至AD与FG重合停止，设平移过程中平移的距离为d，长方形ABCD与长方形EFGH重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______ ；此时d的取值范围为______ ．
(3)画出一条直线把原图长方形ABCD与长方形EFGH组成的复合图形分成面积相等的两部分．
23. (本小题10.0分)
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元．
(1)这个八年级的学生总数在什么范围内？
(2)若按批发价购买360支与按零售价购买300支的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
24. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.线段AB的垂直平分线交y轴于点C．
(1)点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ；
(2)点C的坐标为______ ；
(3)如图2，作直线AC，小明认为，直线AC在第二象限的部分上存在一点P使得△PAB≌△OBA，连接OP，求证：OP//AB．
25. (本小题12.0分)
用如图1，图2所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下的探究问题：
探究一：将两个三角形如图3拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P．
(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，则线段AP的长为______ ．
探究二：如图4，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连接MN．
(2)在旋转△DEF的过程中，MN的最小值为______ ；
探究三：如图5，BC和ED重合，点A与点F在BC同侧，设BC中点为G，△ABC绕点G顺时针方向旋转．
(3)在旋转△ABC的过程中，旋转角为α，当0°<α<180°时，当DF与△ABC一边平行时，旋转角α为______ ；
(4)当△ABC旋转至A，C，F三点在一条直线上时，AF的长为______ (结果保留根号)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得x≠1；
故选：D．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B中等式右边不是乘积的形式，故A、B不是因式分解；
选项D中等式右边1x不是整式，故D不是因式分解；
有选项C中的等式的右边是最简整式的积的形式．
故选：C．
判断因式分解有两点：①分解的对象是多项式；②分解的结果是n个整式的积的形式，对于A，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．
本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据分式的基本性质作答．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0．
5.【答案】B
【解析】解：1−4x<9①3x−5≤1②，
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：−2
故选：B．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE=EF，
∵DE=2，
∴EF=2，
∵BC=8，
∴S△BCE=BC⋅EF2=8×22=8，
故选：C．
先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE=EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
8.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，
∴a+1=2，
解得：a=1，
观察图象知：关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1，
故选：A．
首先将已知点的坐标代入直线y=x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的右边，直线y=x+1都在直线y=mx+n的上方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，
∴S△ADB=S△ADC=12S△ACB，
∵S△ADB=12AB⋅DE，S△ACB=12AC⋅BF，
∴12AB⋅DE×2=12AC⋅BF，
∴BF=2DE，
∵DE=5cm，
∴BF=10cm．
故选：B．
根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，从而得到S△ADB=S△ADC=12S△ACB，根据面积公式S△ADB=12AB⋅DE，S△ACB=12AC⋅BF，变形计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵△ACE是等腰三角形，
∴存在三种情况，
当AC=AE时，
△ACE的面积是：AE⋅CB2=10×82=40；
当AC=CE时，AE=2AB=12，
△ACE的面积是：AE⋅CB2=12×82=48；
当CE=AE时，
设BE=x，则AE=AB+BE=6+x，CE=AE=6+x，
∵∠CBE=90°，
∴CB2+BE2=CE2，
即82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴AE=6+x=6+73=253，
∴△ACE的面积是：AE⋅CB2=253×82=1003；
由上可得，△ACE的面积是40或48或1003，
故选：D．
根据题意，可知分三种情况，然后分类求出△ACE的面积即可．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
11.【答案】2x−4y+1
【解析】解：−6x2y+12xy2−3xy=−3xy(2x−4y+1)，
则多项式−6x2y+12xy2−3xy提公因式−3xy后，另一个因式为2x−4y+1．
故答案为：2x−4y+1．
找出多项式的公因式−3xy，提取公因式即可得到结果．
此题考查了因式分解−提公因式法，找出公因式是解本题的关键．
12.【答案】bpa+b
【解析】解：根据题意可得：bpa+b，
故答案为：bpa+b．
根据题意可得代数式关系，列出代数式解答即可．
本题考查了代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的关系列代数式求解．
13.【答案】2
【解析】解：去分母，得：2+3(x−1)=m，
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：m=2．
故答案为：2．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】(1,−1)
【解析】解：如图，点P即为所求，P(1,−1)．
故答案为：(1,−1)．
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
15.【答案】12≤a<1
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【解答】
解：解不等式2x≥3(x−2)+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、−1，
又x>2a−3，
∴−2≤2a−3<−1，
解得：12≤a<1，
故答案为：12≤a<1．
16.【答案】8 3−2
【解析】解：如图，连接AM，以PM为边作等边三角形PMH，连接AH，
∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，
∴BM=CM=8，
∴AM=8 3，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，
∴AP=PQ，∠APQ=60°，
∵△PMH是等边三角形，
∴PH=PM=2=MH，∠MPH=∠APQ=60°，
∴∠APH=∠QPM，
在△APH和△QPM中，
AP=PQ∠APH=∠QPMPH=PM，
∴△APH≌△QPM(SAS)，
∴QM=AH，
∵当点H在线段AM上时，AH有最小值为AM−MH=8 3−2，
∴MQ的最小值为8 3−2，
故答案为：8 3−2．
由旋转的性质可得AP=PQ，∠APQ=60°，由“SAS”可证△APH≌△QPM，可得QM=AH，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=(x−12y)2；
(2)原式=[(2x+y)+(x+2y)]⋅[(2x+y)−(x+2y)]
=(3x+3y)(x−y)
=3(x+y)(x−y)．
【解析】(1)直接利用完全平方公式进行计算即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可．
本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)去分母得，2(2x−3)>(3x+1)−6，
去括号得，4x−6>3x+1−6，
移项得，4x−3x>1−6+6，
合并同类项得，x>1；
(2)x≤3x−6①3x+1>2(x−1)②，
由①得：x≥3，
由②得：x>−3，
则不等式组的解集为x≥3．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−1
=x−1−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−3)2
=x−3x−1⋅x+1x−1(x−3)2
=x+1x−3，
∵(x+1)(x−1)≠0，x−3≠0，
∴x≠±1，3，
∴x=2，
当x=2时，原式=2+12−3=−3．
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
先将括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，约分得出最简结果，然后从1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
20.【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
21.【答案】解：最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花，理由如下：
设购进康乃馨x支，则购进百合花(300−x)支，
根据题意得：x≤2(300−x)，
解得：x≤200．
设购进这两种花共花费y元，则y=5x+10(300−x)，
即y=−5x+3000，
∵−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，w取得最小值，此时300−x=300−100=200，
∴最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花．
【解析】最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花，设购进康乃馨x支，则购进百合花(300−x)支，根据购进康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，设购进这两种花共花费y元，利用总价=单价×数量，可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
22.【答案】4 2 2≤d≤3 2
【解析】解：(1)由题意知，长方形ABCD向右平移了四个单位长度，向上平移了四个单位长度得到长方形A′B′C′D′，作图如下：
．
(2)由题意知，AD= 2，CD=2 2，
当长方形ABCD完全在长方形EFGH中时，重合面积最大，为AD⋅CD= 2×2 2=4；
当d=CD=2 2时，长方形ABCD完全进入长方形EFGH；
当d>GH=3 2时，长方形ABCD开始离开长方形EFGH，
所以当2 2≤d≤3 2时，S取最大值为4．
故答案为：4；2 2≤d≤3 2．
(3)由题意知，EH=2 2，GH=3 2，
则复合图形的面积为AD⋅CD+EH⋅GH= 2×2 2+2 2×3 2=16，
所以复合图形面积的一半为8，
设过D点且平分复合图形面积的直线为l，则l与FG的交点在线段FG上，设为M，
S△DGM=12DG⋅GM，即8=12×5 2GM，解得GM=8 25，
由于FG=2 2，所以GMFG=45，即M点是最靠近F点的线段FG的一个五等分点，则画图如下：
(1)通过B点和B′点的坐标，明确长方形平移的方式，从而可画出长方形A′B′C′D′．
(2)通过分析可知当长方形ABCD完全在长方形EFGH中时，面积取到最大值，即可求出S最大和d的取值范围．
(3)先求出复合图形的总面积，设直线与FG的交点为M，通过面积求出GM的长度，从而可画出直线．
本题主要考查了图象的平移．解题的关键是明确平移的方式．另外，应区别开平移点和平移图形的规律．
23.【答案】解：(1)设这个学校八年级学生有x人，由题意得，
x≤300x+60>300，
解得240
二是用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60支．
若设批发价每支y元，则零售价每支y元．由题意得，．
解之得：y=，
经检验，y=为原方程的解．
所以，．
答：这个学校八年级学生有300人．
【解析】(1)设这个学校八年级学生有x人，根据凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款，列出不等式组，求解即可；
(2)找出关系式：120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60支
24.【答案】(1,0) (0,2) (0,34)
【解析】(1)解：当y=0时，−2x+2=0，
∴x=1，
∴点A(1,0)，
当x=0时，y=−2×0+2=2，
∴B(0,2)，
故答案为：A(1,0)，B(0,2)；
(2)解：设OC=a，则BC=2−a，
在Rt△AOC中，
AC2=OC2+OA2=x2+1，
∵AB的垂直平分线交于点C，
∴AC=BC，
∴x2+1=(2−x)2，
∴x=34，
∴C(0,34)，
故答案为：(0,34)；
(3)证明：当BP⊥AP时，即∠APB=90°时，△PAB≌△OBA，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠PAB=∠OBA，
在△PAB和△OBA中，
∠PAB=∠OBA∠APB=∠AOB=90°AB=AB，
∴△PAB≌△OBA(AAS)，
∴PA=OB，
∴PA−AC=OB−BC
即：PC=OC，
∴∠CPO=∠COP，
∵∠PCO=∠ACB，
∴∠CPO+∠COP=∠PAB+∠OBA，
∴∠COP=∠ABO，
∴OP//AB．
(1)当y=0时，可求得A的横坐标，当y=0时，可求得B点纵坐标，进而求得结果；
(2)设OC=x，根据AC2=BC2列出方程可求得OC，从而求得点C坐标；
(3)可证得OB=AP，根据AC=BC证得OC=CP，进而求得∠POC=∠ABC，从而命题得证．
本题考查了由一次函数的解析式求点的坐标，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，根据数量关系列方程求解是解决问题的关键．
25.【答案】32 34 45°或90°或135° 3 14−3 24
【解析】解：(1)如图1，
∵∠EDF=90°，∠DEF=30°，
∴∠DFE=60°，CF=DE⋅tan30°= 3，
∵FP是∠DFE的平分线，
∴∠DFP=12∠DFE=30°，
∴CP=CF⋅tan30°=32，
∴CP=BP=12BC，
∵∠BAC=90°，
∴AP=12BC=32，
故答案为：32；
(2)如图2，
连接AD，作DM′⊥AB于M′，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，∠B=∠DAC=45°，∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠ADN=∠BDM，
∴△ADN≌△BDM(ASA)，
∴DN=DM，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴当DM⊥AB时，DM最小，即MN最小，
∴当点M在M′处时，MN最小，
∵∠ABD=90°，AD=BD，
∴DM′=12AB=12× 22BC=3 24，
∴MN最小= 2DM′=34，
故答案为：34；
(3)如图3，
当AC旋转后的A′C′//DF时，设A′C′交DE于O，
∴∠GOA′=∠EDF=90°，
∵∠C′A′G=45°，
∴∠AGA′=45°，
∴此时α=45°，
如图4，
当BC旋转后的B′C′//DF时，
α=90°，
如图5，
当AB旋转后的A′B′//DF时，
α=135°，
综上所述：α=45°或90°或135°，
故答案为：45°或90°或135°；
(4)如图6，
连接FG，作GQ⊥CF于Q，
在Rt△CGQ中，CG=12BC=32，∠C=45°，
∴QG=CQ= 22CG=3 24，
在Rt△FGQ中，FG=2DG=3，
∴FQ= 32−(3 24)2=3 144，
∴CF=FQ+CQ=3 144+3 24=3 14+3 24，
∴AF=CF−AC=3 14+3 24−3 22=3 14−3 24，
故答案为：3 14−3 24．
(1)可求得CF的值，∠CFP=30°，进而求得CP的值，从而得出P是BC的中点，进而求得AP；
(2)连接AD，判定△ADM≌△CDN，得到DM=DN，推出△DMN是等腰直角三角形后得到MN与DM之间的数量关系，最后根据DM的最小值即可求出MN的最小值；
(3)分三种情况进行分析，使△ABC的三边分别与DF平行，求出每种情况下的旋转角α即可；
(4)连接FG，作GQ⊥CF于Q，解Rt△CGQ求得QG=CQ= 22CG=3 24，解Rt△FGQ求得FQ= 32−(3 24)2=3 144，进一步求得结果．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论，画出图形．
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 分式x+2x−1有意义的条件是( )
A. x=−2 B. x≠−2 C. x=1 D. x≠1
2. 下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2 B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−4=(x+2)(x−2) D. x−1=x(1−1x)
4. 下列分式变形正确的是( )
A. a2b2=ab B. 2a2b=ab C. 2a+14b=a+12b D. a+2b+2=ab
5. 将不等式组1−4x<93x−5≤1的解集在数轴上表示出来，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC=8，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
8. 如图，l1：y=x+1和l2：y=mx+n相交于P(a,2)，则x+1≥mx+n解集为( )
A. x≥1
B. x<1
C. x≥−1
D. x>a
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=5cm，则BF=( )
A. 8cm
B. 10cm
C. 12cm
D. 14cm
10. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E为射线AB上一点，若△ACE是等腰三角形，则△ACE的面积不可能是( )
A. 40
B. 48
C. 1003
D. 503
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 多项式−6x2y+12xy2−3xy提公因式−3xy后，另一个因式为______．
12. 某蓄水池装有A，B两个进水管，每时可分别进水a立方米，b立方米.若单独开放A进水管，p小时可将该水池注满，如果A，B两个进水管同时开放，将该蓄水池注满的时间能提前______ 小时．
13. 若分式方程有2x−1+3=mx−1增根，则m的值是______．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为______．
15. 已知关于x的不等式组x>2a−32x≥3(x−2)+5有且仅有三个整数解，则a的取值范围是______．
16. 如图，等边△ABC中，BC=16，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM=2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)分解因式：x2−xy+14y2；
(2)(2x+y)2−(x+2y)2．
18. (本小题10.0分)
(1)解不等式2x−33>3x+16−1；
(2)解不等式组：x≤3x−63x+1>2(x−1)．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−1，并从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
21. (本小题8.0分)
某花店计划购进一批康乃馨和百合花，已知每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元.若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，长方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(4,3)、D(2,1)，长方形EFGH各顶点的坐标分别为E(2,5)、F(5,8)、G(7,6)、H(4,3).平移长方形ABCD得到长方形A′B′C′D′，且点B′的坐标为(7,8)．
(1)画出长方形A′B′C′D′．
(2)如果长方形ABCD沿H→G的方向平移，至AD与FG重合停止，设平移过程中平移的距离为d，长方形ABCD与长方形EFGH重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______ ；此时d的取值范围为______ ．
(3)画出一条直线把原图长方形ABCD与长方形EFGH组成的复合图形分成面积相等的两部分．
23. (本小题10.0分)
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元．
(1)这个八年级的学生总数在什么范围内？
(2)若按批发价购买360支与按零售价购买300支的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
24. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.线段AB的垂直平分线交y轴于点C．
(1)点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ；
(2)点C的坐标为______ ；
(3)如图2，作直线AC，小明认为，直线AC在第二象限的部分上存在一点P使得△PAB≌△OBA，连接OP，求证：OP//AB．
25. (本小题12.0分)
用如图1，图2所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下的探究问题：
探究一：将两个三角形如图3拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P．
(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，则线段AP的长为______ ．
探究二：如图4，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连接MN．
(2)在旋转△DEF的过程中，MN的最小值为______ ；
探究三：如图5，BC和ED重合，点A与点F在BC同侧，设BC中点为G，△ABC绕点G顺时针方向旋转．
(3)在旋转△ABC的过程中，旋转角为α，当0°<α<180°时，当DF与△ABC一边平行时，旋转角α为______ ；
(4)当△ABC旋转至A，C，F三点在一条直线上时，AF的长为______ (结果保留根号)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得x≠1；
故选：D．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B中等式右边不是乘积的形式，故A、B不是因式分解；
选项D中等式右边1x不是整式，故D不是因式分解；
有选项C中的等式的右边是最简整式的积的形式．
故选：C．
判断因式分解有两点：①分解的对象是多项式；②分解的结果是n个整式的积的形式，对于A，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．
本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据分式的基本性质作答．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0．
5.【答案】B
【解析】解：1−4x<9①3x−5≤1②，
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：−2
故选：B．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE=EF，
∵DE=2，
∴EF=2，
∵BC=8，
∴S△BCE=BC⋅EF2=8×22=8，
故选：C．
先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE=EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
8.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，
∴a+1=2，
解得：a=1，
观察图象知：关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1，
故选：A．
首先将已知点的坐标代入直线y=x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的右边，直线y=x+1都在直线y=mx+n的上方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，
∴S△ADB=S△ADC=12S△ACB，
∵S△ADB=12AB⋅DE，S△ACB=12AC⋅BF，
∴12AB⋅DE×2=12AC⋅BF，
∴BF=2DE，
∵DE=5cm，
∴BF=10cm．
故选：B．
根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，从而得到S△ADB=S△ADC=12S△ACB，根据面积公式S△ADB=12AB⋅DE，S△ACB=12AC⋅BF，变形计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵△ACE是等腰三角形，
∴存在三种情况，
当AC=AE时，
△ACE的面积是：AE⋅CB2=10×82=40；
当AC=CE时，AE=2AB=12，
△ACE的面积是：AE⋅CB2=12×82=48；
当CE=AE时，
设BE=x，则AE=AB+BE=6+x，CE=AE=6+x，
∵∠CBE=90°，
∴CB2+BE2=CE2，
即82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴AE=6+x=6+73=253，
∴△ACE的面积是：AE⋅CB2=253×82=1003；
由上可得，△ACE的面积是40或48或1003，
故选：D．
根据题意，可知分三种情况，然后分类求出△ACE的面积即可．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
11.【答案】2x−4y+1
【解析】解：−6x2y+12xy2−3xy=−3xy(2x−4y+1)，
则多项式−6x2y+12xy2−3xy提公因式−3xy后，另一个因式为2x−4y+1．
故答案为：2x−4y+1．
找出多项式的公因式−3xy，提取公因式即可得到结果．
此题考查了因式分解−提公因式法，找出公因式是解本题的关键．
12.【答案】bpa+b
【解析】解：根据题意可得：bpa+b，
故答案为：bpa+b．
根据题意可得代数式关系，列出代数式解答即可．
本题考查了代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的关系列代数式求解．
13.【答案】2
【解析】解：去分母，得：2+3(x−1)=m，
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：m=2．
故答案为：2．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】(1,−1)
【解析】解：如图，点P即为所求，P(1,−1)．
故答案为：(1,−1)．
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
15.【答案】12≤a<1
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【解答】
解：解不等式2x≥3(x−2)+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、−1，
又x>2a−3，
∴−2≤2a−3<−1，
解得：12≤a<1，
故答案为：12≤a<1．
16.【答案】8 3−2
【解析】解：如图，连接AM，以PM为边作等边三角形PMH，连接AH，
∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，
∴BM=CM=8，
∴AM=8 3，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，
∴AP=PQ，∠APQ=60°，
∵△PMH是等边三角形，
∴PH=PM=2=MH，∠MPH=∠APQ=60°，
∴∠APH=∠QPM，
在△APH和△QPM中，
AP=PQ∠APH=∠QPMPH=PM，
∴△APH≌△QPM(SAS)，
∴QM=AH，
∵当点H在线段AM上时，AH有最小值为AM−MH=8 3−2，
∴MQ的最小值为8 3−2，
故答案为：8 3−2．
由旋转的性质可得AP=PQ，∠APQ=60°，由“SAS”可证△APH≌△QPM，可得QM=AH，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=(x−12y)2；
(2)原式=[(2x+y)+(x+2y)]⋅[(2x+y)−(x+2y)]
=(3x+3y)(x−y)
=3(x+y)(x−y)．
【解析】(1)直接利用完全平方公式进行计算即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可．
本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)去分母得，2(2x−3)>(3x+1)−6，
去括号得，4x−6>3x+1−6，
移项得，4x−3x>1−6+6，
合并同类项得，x>1；
(2)x≤3x−6①3x+1>2(x−1)②，
由①得：x≥3，
由②得：x>−3，
则不等式组的解集为x≥3．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−1
=x−1−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−3)2
=x−3x−1⋅x+1x−1(x−3)2
=x+1x−3，
∵(x+1)(x−1)≠0，x−3≠0，
∴x≠±1，3，
∴x=2，
当x=2时，原式=2+12−3=−3．
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
先将括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，约分得出最简结果，然后从1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
20.【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
21.【答案】解：最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花，理由如下：
设购进康乃馨x支，则购进百合花(300−x)支，
根据题意得：x≤2(300−x)，
解得：x≤200．
设购进这两种花共花费y元，则y=5x+10(300−x)，
即y=−5x+3000，
∵−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，w取得最小值，此时300−x=300−100=200，
∴最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花．
【解析】最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花，设购进康乃馨x支，则购进百合花(300−x)支，根据购进康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，设购进这两种花共花费y元，利用总价=单价×数量，可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
22.【答案】4 2 2≤d≤3 2
【解析】解：(1)由题意知，长方形ABCD向右平移了四个单位长度，向上平移了四个单位长度得到长方形A′B′C′D′，作图如下：
．
(2)由题意知，AD= 2，CD=2 2，
当长方形ABCD完全在长方形EFGH中时，重合面积最大，为AD⋅CD= 2×2 2=4；
当d=CD=2 2时，长方形ABCD完全进入长方形EFGH；
当d>GH=3 2时，长方形ABCD开始离开长方形EFGH，
所以当2 2≤d≤3 2时，S取最大值为4．
故答案为：4；2 2≤d≤3 2．
(3)由题意知，EH=2 2，GH=3 2，
则复合图形的面积为AD⋅CD+EH⋅GH= 2×2 2+2 2×3 2=16，
所以复合图形面积的一半为8，
设过D点且平分复合图形面积的直线为l，则l与FG的交点在线段FG上，设为M，
S△DGM=12DG⋅GM，即8=12×5 2GM，解得GM=8 25，
由于FG=2 2，所以GMFG=45，即M点是最靠近F点的线段FG的一个五等分点，则画图如下：
(1)通过B点和B′点的坐标，明确长方形平移的方式，从而可画出长方形A′B′C′D′．
(2)通过分析可知当长方形ABCD完全在长方形EFGH中时，面积取到最大值，即可求出S最大和d的取值范围．
(3)先求出复合图形的总面积，设直线与FG的交点为M，通过面积求出GM的长度，从而可画出直线．
本题主要考查了图象的平移．解题的关键是明确平移的方式．另外，应区别开平移点和平移图形的规律．
23.【答案】解：(1)设这个学校八年级学生有x人，由题意得，
x≤300x+60>300，
解得240
二是用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60支．
若设批发价每支y元，则零售价每支y元．由题意得，．
解之得：y=，
经检验，y=为原方程的解．
所以，．
答：这个学校八年级学生有300人．
【解析】(1)设这个学校八年级学生有x人，根据凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款，列出不等式组，求解即可；
(2)找出关系式：120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60支
24.【答案】(1,0) (0,2) (0,34)
【解析】(1)解：当y=0时，−2x+2=0，
∴x=1，
∴点A(1,0)，
当x=0时，y=−2×0+2=2，
∴B(0,2)，
故答案为：A(1,0)，B(0,2)；
(2)解：设OC=a，则BC=2−a，
在Rt△AOC中，
AC2=OC2+OA2=x2+1，
∵AB的垂直平分线交于点C，
∴AC=BC，
∴x2+1=(2−x)2，
∴x=34，
∴C(0,34)，
故答案为：(0,34)；
(3)证明：当BP⊥AP时，即∠APB=90°时，△PAB≌△OBA，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠PAB=∠OBA，
在△PAB和△OBA中，
∠PAB=∠OBA∠APB=∠AOB=90°AB=AB，
∴△PAB≌△OBA(AAS)，
∴PA=OB，
∴PA−AC=OB−BC
即：PC=OC，
∴∠CPO=∠COP，
∵∠PCO=∠ACB，
∴∠CPO+∠COP=∠PAB+∠OBA，
∴∠COP=∠ABO，
∴OP//AB．
(1)当y=0时，可求得A的横坐标，当y=0时，可求得B点纵坐标，进而求得结果；
(2)设OC=x，根据AC2=BC2列出方程可求得OC，从而求得点C坐标；
(3)可证得OB=AP，根据AC=BC证得OC=CP，进而求得∠POC=∠ABC，从而命题得证．
本题考查了由一次函数的解析式求点的坐标，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，根据数量关系列方程求解是解决问题的关键．
25.【答案】32 34 45°或90°或135° 3 14−3 24
【解析】解：(1)如图1，
∵∠EDF=90°，∠DEF=30°，
∴∠DFE=60°，CF=DE⋅tan30°= 3，
∵FP是∠DFE的平分线，
∴∠DFP=12∠DFE=30°，
∴CP=CF⋅tan30°=32，
∴CP=BP=12BC，
∵∠BAC=90°，
∴AP=12BC=32，
故答案为：32；
(2)如图2，
连接AD，作DM′⊥AB于M′，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，∠B=∠DAC=45°，∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠ADN=∠BDM，
∴△ADN≌△BDM(ASA)，
∴DN=DM，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴当DM⊥AB时，DM最小，即MN最小，
∴当点M在M′处时，MN最小，
∵∠ABD=90°，AD=BD，
∴DM′=12AB=12× 22BC=3 24，
∴MN最小= 2DM′=34，
故答案为：34；
(3)如图3，
当AC旋转后的A′C′//DF时，设A′C′交DE于O，
∴∠GOA′=∠EDF=90°，
∵∠C′A′G=45°，
∴∠AGA′=45°，
∴此时α=45°，
如图4，
当BC旋转后的B′C′//DF时，
α=90°，
如图5，
当AB旋转后的A′B′//DF时，
α=135°，
综上所述：α=45°或90°或135°，
故答案为：45°或90°或135°；
(4)如图6，
连接FG，作GQ⊥CF于Q，
在Rt△CGQ中，CG=12BC=32，∠C=45°，
∴QG=CQ= 22CG=3 24，
在Rt△FGQ中，FG=2DG=3，
∴FQ= 32−(3 24)2=3 144，
∴CF=FQ+CQ=3 144+3 24=3 14+3 24，
∴AF=CF−AC=3 14+3 24−3 22=3 14−3 24，
故答案为：3 14−3 24．
(1)可求得CF的值，∠CFP=30°，进而求得CP的值，从而得出P是BC的中点，进而求得AP；
(2)连接AD，判定△ADM≌△CDN，得到DM=DN，推出△DMN是等腰直角三角形后得到MN与DM之间的数量关系，最后根据DM的最小值即可求出MN的最小值；
(3)分三种情况进行分析，使△ABC的三边分别与DF平行，求出每种情况下的旋转角α即可；
(4)连接FG，作GQ⊥CF于Q，解Rt△CGQ求得QG=CQ= 22CG=3 24，解Rt△FGQ求得FQ= 32−(3 24)2=3 144，进一步求得结果．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论，画出图形．
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