2022-2023学年广西柳州市柳南区铁五中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广西柳州市柳南区铁五中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西柳州市柳南区铁五中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )
A. 2 B. 8 C. 12 D. 18
2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )
A. 3， 4， 5 B. 2，3，4
C. 6，7，8 D. 9，12，15
3. 下列各式成立的是(    )
A. 6÷ 2= 3 B. 8=2 3 C. 2× 3= 5 D. 2+ 3= 5
4. 在▱ABCD中，∠A=135°，则∠B=(    )
A. 45° B. 55° C. 135° D. 140°
5. 矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质(    )
A. 相等 B. 互相平分 C. 平分一组对角 D. 互相垂直
6. 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪(如图所示)，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时(即BC=0.8米)，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于(    )


A. 1.0米 B. 1.2米 C. 1.25米 D. 1.5米
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若EF=8，则CD的长为(    )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12


8. 若最简二次根式 1+a与 4−2a能进行合并，则a的值为(    )
A. a=−34 B. a=43 C. a=1 D. a=−1
9. 在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是(    )
A. BD//CF
B. DF=BC
C. BD=CF
D. ∠B=∠F
10. 如图，点A表示的实数是(    )

A. 3 B. 5 C. − 5 D. − 3
11. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E若AB=4，AD=8，则△BDE的面积为(    )
A. 16
B. 15
C. 10
D. 8
12. 如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG.延长AE交CG于点F，连接DE.下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA=DE，则CF=FG；
其中正确的是(    )


A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
14. 已知直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，则斜边长为______ cm．
15. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=6，则OC的值为______ ．


16. 如果 12n是整数，则正整数n的最小值是______．
17. 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，∠AOC=60°，点A的坐标为(0,6)，则点B的坐标为______．


18. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变.MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算： 3− 12+ 27．
20. (本小题6.0分)
计算：( 8+ 3)× 6．
21. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.求证：BE//FD．

22. (本小题8.0分)
如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
(1)线段AB的长度是______ ，线段CD的长度是______ ．
(2)若EF的长为 5，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

23. (本小题8.0分)
在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．

24. (本小题10.0分)
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13m，又已知∠A=90°.求这块土地的面积．

25. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线BD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，连接BE，DF．
(1)求证：四边形BEDF是菱形．
(2)若AB=8，∠ADC=120°，∠ABD=30°，求四边形BEDF的面积．

26. (本小题10.0分)
如图，直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA=8，OC=4 2，∠AOC=45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒 2个单位的速度从点O向点C运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．

(1)求出点C，B的坐标；
(2)当t为何值时，AP⊥CB？
(3)在(2)的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、 2是最简二次根式，此选项正确；
B、∵ 8=2 2，故不是最简二次根式，此选项错误；
C、 12=2 3，故不是最简二次根式，此选项错误；
D、 18=3 2，故不是最简二次根式，此选项错误．
故选：A．
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
本题考查了最简二次根式，解题的关键是理解什么是最简二次根式．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是，据此对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A.( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故错误；
B.22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；
C.62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D.92+122=152，能构成直角三角形，故正确．
故选：D．  
3.【答案】A 
【解析】解：A、 6÷ 2= 3，故本选项正确，符合题意；
B、 8=2 2，故本选项错误，不符合题意；
C、 2× 3= 6，故本选项错误，不符合题意；
D、 2和 3不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的乘除法运算，二次根式的加减运算，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的乘除法运算，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：根据平行四边形的性质可得：∠B=180°−∠A=45°．
故选：A．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，属于基础题，比较简单，关键是掌握平行四边形的邻角互补．

5.【答案】B 
【解析】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟知三者对角线的性质．

6.【答案】A 
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，ED=BC=0.8米，
∴AE=AB−BE=2.4−1.8=0.6(米)，
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD= AE2+DE2= (0.8)2+(0.6)2=1.0(米)，
故选：A．
过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．

7.【答案】B 
【解析】解：∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴AB=2EF=2×8=16，
∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=12AB=8，
故选：B．
由三角形中位线定理可求AB=16，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵最简二次根式 1+a与 4−2a能进行合并，
∴1+a=4−2a，
解得：a=1，
故选：C．
根据题意可得 1+a与 4−2a是同类二次根式，进而得到1+a=4−2a，再解方程即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，关键是掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

9.【答案】C 
【解析】解：A、∵BD//CF，DE//BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF//BC，DF=BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、由DF//BC，BD=CE，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项C符合题意；
D、∵DE//BC，
∴∠B+∠BDF=180°，
∵∠B=∠F，
∴∠F+∠BDF=180°，
∴BD//CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：如图，OB= 12+22= 5，

∵OA=OB，
∴OA= 5，
∴点A在数轴上表示的实数是− 5，
故选：C．
根据勾股定理可求得OA的长为 5，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，原点左边的数是负数．解决本题的关键是利用勾股定理求出OB的长．

11.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
由折叠的性质得：∠C′BD=∠CBD，
∴∠EDB=∠C′BD，
∴BE=DE，
设AE=x，则BE=DE=8−x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即42+x2=(8−x)2，
解得：x=3，
则AE=3，DE=8−3=5，
则S△BDE=12DE⋅AB=12×5×4=10．
故选：C．
证出BE=DE，设AE=x，则BE=DE=8−x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键．

12.【答案】A 
【解析】解：设AF交BC于K，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK=90°，
∴∠KAB+∠AKB=90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB=∠BCG，
∵∠AKB=∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF=90°，
∴∠KFC=90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，
又∵∠BEF=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE=BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，

∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AH=12AE，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE=12AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=GF，
∴GF=12CG，
∴CF=FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
设AF交BC于K，由∠ABK=90°及将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CG，从而可得CF=FG，判断③正确．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

13.【答案】x≥2 
【解析】解：∵x−2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

14.【答案】10 
【解析】解：∵直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，
∴斜边长= 62+82=10(cm)．
故答案为：10．
直接根据勾股定理计算直角三角形的斜边长即可．
本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

15.【答案】6 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AC=BD=2OC，
∵∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=6，
∴BD=2AB=12，
∴OC=6，
故答案为：6．
根据矩形的对角线平分且相等和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得OC的长．
本题考查矩形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16.【答案】3 
【解析】解：∵ 12n= 4×3n=2 3n，且 12n是整数；
∴2 3n是整数，即3n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为3．
故答案是：3．
因为 12n是整数，且 12n= 4×3n=2 3n，则3n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则 a⋅ b= ab.除法法则 ba= b a.解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．

17.【答案】(9,3 3) 
【解析】解：如图：过点B作BD⊥OA于点D

∵点A的坐标为(0,6)，
∴OA=6
∵四边形OABC是菱形
∴OA=AB=6，AB//OC
∴∠BAD=∠AOC=60°
∵∠BAD=60°，BD⊥AO
∴∠ABD=30°
∴AD=12AB=3，BD= 3AD=3 3
∴OD=OA+AD=9
∴点B坐标(9,3 3)
故答案为：(9,3 3)
过点B作BD⊥OA于点D，由菱形的性质可求AB=OA=6，∠BAD=60°，利用锐角三角函数解直角三角形，可求AD，BD的长，即可求点B的坐标．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．

18.【答案】 13−2 
【解析】解：连接BE，BD，
由勾股定理得：BD= 32+22= 13，
在Rt△MBN中，点E是MN的中点，
∴BE=12MN=2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为： 13−2，
故答案为： 13−2．
连接BE，DE，根据勾股定理求出BD，根据直角三角形斜边中线的性质求出BE，根据点与圆的位置关系得到点E落在线段BD上时，DE的值最小，计算即可．
本题考查勾股定理的应用，点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定DE最小时，点E的位置．

19.【答案】解：原式= 3−2 3+3 3
=2 3． 
【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

20.【答案】解：( 8+ 3)× 6
= 48+ 18
=4 3+3 2． 
【解析】先算乘法，再化成最简即可．
本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．

21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF． 
【解析】根据平行四边形性质得出AD//BC，AD=BC，求出DE=BF，DE//BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质即可推出结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．

22.【答案】 13  2 2 
【解析】解：(1)由图可得，
AB= 32+22= 13，CD= 22+22=2 2，
故答案为： 13，2 2；
(2)以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB= 13，CD=2 2，EF= 5，
∴CD2+EF2=(2 2)2+( 5)2=8+5=13=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
(1)根据勾股定理，可以求得AB和CD的长；
(2)根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∵BE//DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC= FC2+FB2= 32+42=5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB． 
【解析】(1)根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
(2)根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的定义，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．

24.【答案】解：连接BD，
∵∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=25，
则BD2+CD2=132=BC2，
因此∠CDB=90°，
S四边形ABCD=S△ADB+S△CBD=36(平方米)，
答：这块土地的面积为36平方米． 
【解析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO=DO，∠EOD=∠FOB=90°，
在△DEO和△BFO中，
∠EDO=∠FBOamp;DO=BOamp;∠EOD=∠FOBamp;，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠CDB=∠ABD=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ADB=∠ADC−∠CDB=90°，
∵AB=8，∠ABD=30°，
∴BD= 32AB=4 3，
∴OD=2 3，
∵∠EOD=90°，∠EDO=30°，
∴OE= 33OD=2，
∴EF=4，
∴菱形BFDE的面积=12EF⋅BD=12×4 3×4=8 3． 
【解析】(1)根据矩形性质求出CD//AB，推出∠EDO=∠FBO，由ASA证明△DEO≌△BFO，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，即可推出菱形BEDF；
(2)根据平行四边形的性质求出∠ADB=90°，解直角三角形求出BD=4 3，EF=4，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．

26.【答案】解：(1)如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC=90°，
∵∠AOC=45°，
∴∠DOC=∠DCO=45°，
∴OD=CD，
∵OD2+CD2=OC2，OC=4 2，
∴2CD2=(4 2)2，
∴OD=CD=4，
∴D(4,0)，C(4,4)，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC//OA，BC=OA=8，
∴xB=4+8=12，
∴B(12,4)；
(2)如图3，当AP⊥CB时，则PA=4，∠OAP=∠APB=90°，
∵∠ABC=∠AOC=45°，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴PB=PA=4，
∴2t=8−4，
解得t=2；
(3)存在，
当平行四边形APQM1以AQ为对角线，设QM1交x轴于点E，
∵QM1//PA，
∴∠OEQ=∠OAP=90°，
∴OE=QE=t=1×2=2，
∵QM1=PA=4，
∴EM1=4−2=2，
∴M1(2,−2)；
当平行四边形PAQM2以PQ为对角线，则QM2//PA，QM2=PA=4，
∴EM2=2+4=6，
∴M2(2,6)；
当平行四边形AQPM3以AP为对角线，作M3G⊥CB交CB的延长线于点G，
∵PM3//AQ，
∴∠APM3=∠PAQ，
∴∠APB−∠APM3=∠OAP−∠PAQ，
∴∠GPM3=∠EAQ，
∵∠G=∠AEQ=90°，PM3=AQ，
∴△PGM3≌△AEQ(AAS)，
∴PG=AE=8−2=6，GM3=QE=2，
∵xP=12−4=8，
∴xG=8+6=14，
∴M3(14,2)，
综上所述，点M的坐标为(2,−2)或(2,6)或(14,2)． 
【解析】(1)作CD⊥OA于点D，则△OCD是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标；
(2)当AP⊥CB时，则PA=PB=4，可求出此时t的值；
(3)根据(2)所求得t的值，再求出OE、QE的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以AP、AQ、PQ为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．
此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、平行四边形的判定与性质、求动点问题中的函数关系式、数形结合、分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，解第(2)小题涉及用转化法表示图形的面积，解第(3)小题时应注意求出所有符合条件的结果，此题综合性强，属于压轴题．