2022-2023学年四川省达州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省达州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省达州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 若分式x2−1x+1的值为0，则x的值为(    )
A. 0 B. 1 C. −1 D. ±1
3. 在下列各式中，能用平方差公式分解的是(    )
A. a2+4 B. a2−4 C. a2+m2 D. −a2−4
4. 平行四边形的对角线(    )
A. 长度相等 B. 互相平分 C. 互相垂直 D. 以上都对
5. 若关于x的不等式(a−1)x>a−1的解集是x>1，则a的取值范围是(    )
A. a<0 B. a>0 C. a<1 D. a>1
6. 如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是(    )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
7. 一次函数y=(m−3)x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为(    )
A. B. C. D.
8. 点M(m−2,m+5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为(    )
A. (−2,5) B. (−7,0) C. (2,9) D. (3,10)
9. 下列判定两直角三角形全等的方法，错误的是(    )
A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一直角边对应相等
C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一锐角对应相等
10. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是(    )
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 计算(− 11)2得______ ．
12. 分解因式：4x2−16=______．
13. 用不等式表示：x与6的差不小于x的2倍为______．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AC=6，AB⊥AC，则BD= ______ ．




15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC= 3，则AD的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)解不等式(组)：2x+1≥−13x−12 (2)解分式方程：6x2−4−1=1−xx+2．
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(4−xx−1−x)÷x−2x2−x，其中x=−112．
18. (本小题10.0分)
如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，A，B，C三点的坐标分别为(−1,0)，(0,3)，(−2,2)．
(1)将△ABC向右平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(不写作法，写出结论，其中点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1)
(2)以点O为对称中心，画出△A1B1C1的中心对称图形△A2B2C2；(不写作法，写出结论，其中点A1、B1、C1的对应点分别为A2、B2、C2)
(3)直接填空：在(1)问的平移过程中，△ABC扫过的图形面积为______(面积单位)．

19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若AB=3，AC=5，求EF的长．

20. (本小题8.0分)
已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=2m−1x+2y=m+4的解满足x+y>2x−y<4，求m的取值范围．
21. (本小题10.0分)
如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE//BD，EF⊥BC，CF= 3．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)求AB的长．

22. (本小题8.0分)
根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2−1有______值(填“最大”或“最小”)这个值是______．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5=n2+4n+4+1=(n+2)2+1
∴当n=−2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x−1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2−4xy+5y2−12y+15的最小值及此时x，y的值
23. (本小题10.0分)
某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
(1)每个甲种书柜的进价是多少元？
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连结DE，DF⊥DE交BC于点F．
(1)求证：DE=DF；
(2)连结EF交CD于点G，若AC= 2，当AD=CE时，求EG2的值．

25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点O，B的坐标分别为(0,0)，(12,0)，将△OAB沿对角线AB翻折得到△DAB(点O，A，D在同一直线上)，边BD与边AC相交于点E，此时，△OBD是等边三角形．
(1)求线段AE的长；
(2)求重叠部分△AEB的面积；
(3)点N在y轴上，点M在直线AB上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据分式值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
【解答】
解：∵分式x2−1x+1的值为零，
∴x2−1=0x+1≠0，解得x=1．
故选：B．  
3.【答案】B 
【解析】解：A、a2+4，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、a2−4=(a+2)(a−2)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C、a2+m2，无法分解因式，故此选项不合题意；
D、−a2−4，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：B．
直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
根据平行四边形的对角线互相平分作出选择．
本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据不等式的性质2，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．
【解答】
解：∵(a−1)x>a−1的解集是x>1，
∴a−1>0，
则a>1．
故选D．  
6.【答案】D 
【解析】解：旋转角是∠BAB′=180°−30°=150°．
故选：D．
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：由题意：由题意：m−3<0m+2>0，
解得−2 故选：C．
根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．
本题考查一次函数的图象与系数的关系，不等式组的解集等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

8.【答案】C 
【解析】解：点M(m−2,m+5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m−2−2=0，
∴m=4，
∴点M(2,9)，
故选：C．
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化−平移，正确地列出方程是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：A、可利用SAS判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；
B、可利用HL判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；
C、不能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；
D、可利用AAS判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；
故选：C．
结合四个选项所给的条件和全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

10.【答案】C 
【解析】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC= BD2+CD2= 42+32=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=12AD，EF=GH=12BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故选：C．
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=12AD，EF=GH=12BC，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．

11.【答案】11 
【解析】解：由题意，∵(− a)2=a(a≥0)，
∴(− 11)2=11．
故答案为：11．
依据题意，根据(− a)2=a(a≥0)，进而可以得解．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时要熟练掌握并理解．

12.【答案】4(x+2)(x−2) 
【解析】解：4x2−16，
=4(x2−4)，
=4(x+2)(x−2)．
先提取公因式4，再对剩余项x2−4利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．

13.【答案】x−6≥2x 
【解析】解：“x与6的差”表示为x−6.不小于x的2倍，即大于等于2x，所以x−6≥2x．
故答案为：x−6≥2x．
根据题中的不等关系列出不等式．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是掌握题中给出的不等关系，即“x与6的差不小于x的2倍”，注意不小于即“≥”．

14.【答案】10 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6，
∴OA=12AC=3,BD=2OB，
∵AB=4，AB⊥AC，
∴OB= AB2+OA2=5，
∴BD=2×5=10．
故答案为：10．
先根据平行四边形的性质可得OA=12AC=3,BD=2OB，再利用勾股定理可得OB=5，由此即可得．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．

15.【答案】2 3 
【解析】解：∵∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=90°−60°=30°，
又∵∠A=15°，
∴∠ABD=30°−15°=15°=∠A，
∴AD=BD，
在Rt△BDC中，BC= 3，∠BDC=30°，
∴BD=2BC=2 3=AD，
故答案为：2 3．
根据三角形内角和可得∠BDC=30°，进而得出∠ABD=15°=∠A，得到AD=BD，Rt△BDC中，由BC= 3，∠BDC=30°，可求出BD=2BC=2 3=AD即可．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．

16.【答案】解：(1)2x+1≥−1①3x−12 解不等式①，得x≥−1，
解不等式②，得x<32，
所以不等式组的解集是−1≤x<32；
(2)6x2−4−1=1−xx+2，
6(x+2)(x−2)−1=1−xx+2，
方程两边都乘(x+2)(x−2)，得6−(x+2)(x−2)=(1−x)(x−2)，
整理得：3x=12，
解得：x=4，
检验：当x=4时，(x+2)(x−2)≠0，
所以分式方程的解是x=4． 
【解析】(1)先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可；
(2)方程两边都乘(x+2)(x−2)得出6−(x+2)(x−2)=(1−x)(x−2)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．

17.【答案】解：原式=(4−xx−1−x2−xx−1)÷x−2x(x−1)
=−(x+2)(x−2)x−1⋅x(x−1)x−2
=−x(x+2)
=−x2−2x，
当x=−112=−32时，
原式=−(−32)2−2×(−32)
=−94+3
=34． 
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

18.【答案】11.5 
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)∵S△ABC=2×3−12×1×2−12×1×3−12×1×2=52，
由平移知，△ABC扫过的面积为S△ABC+平行四边形AA1B1B的面积=52+3×3=11.5，
故答案为：11.5．
(1)根据平移的性质，可画出△A1B1C1；
(2)根据中心对称的性质，可画出△A2B2C2；
(3)根据平移的性质知，△ABC扫过的面积为S△ABC+平行四边形AA1B1B的面积，从而解决问题．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，图形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．

19.【答案】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
∠BAE=∠DAEAE=AE∠AEB=∠AED，
∴△AEB≌△AED(ASA)，
∴AD=AB=3，BE=ED，
∴DC=AC−AD=5−3=2，
∵BE=ED，BF=FC，
∴EF是△BDC的中位线，
∴EF=12DC=1． 
【解析】证明△AEB≌△AED，根据全等三角形的性质得到AD=AB=3，BE=ED，进而求出DC，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的打牌和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

20.【答案】解：2x+y=2m−1①x+2y=m+4②，
①+②，得：3x+3y=3m+3，
∴x+y=m+1，
①−②，得：x−y=m−5，
∵x+y>2x−y<4，
∴m+1>2m−5<4，
解得1 故m的取值范围为1 【解析】由已知方程组得出x+y=m+1且x−y=m−5，根据x+y>2x−y<4得出关于m的不等式组，解之即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据方程组和不等式组得出关于m的不等式组．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=CD，
∵AE//BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)解：由(1)知，AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB//CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∴AB=CD= 3． 
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)由(1)知，AB=DE=CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB=CD求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，正确理解D是CE的中点是解题的关键．

22.【答案】最小  −1 
【解析】解：应用：
代数式m2−1有最小值，这个值是−1，此时m=0；
故答案为：最小，−1；
探究：
∵4x2+12x−1=(2x+3)2−10，
∴当2x+3=0，即x=−32时，代数式4x2+12x−1的最小值为−10；
拓展：
∵x2−4xy+5y2−12y+15
=x2−4xy+4y2+y2−12y+15
=(x−2y)2+(y−6)2−21，
∴当x−2y=0，y−6=0时，即x=12，y=6，多项式x2−4xy+5y2−12y+15的最小值是−21．
根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．

23.【答案】解：(1)设每个乙种书柜的进价为x元，
∴每个甲种书柜的进价为1.2x元，
∴54001.2x=6300x−6，
解得：x=300，
经检验，x=300是原分式方程的解，
∴1.2x=1.2×300=360；
答：每个甲种书柜的进价为360元．
(2)设甲书柜的数量为y个，
∴乙书柜的数量为(60−y)个，
由题意可知：60−y≤2y，
∴20≤y<60，
设购进书柜所需费用为z元，
∴z=360y+300(60−y)
∴z=60y+18000，
∵60>0，∴z随y的增大而增大，
∴当y=20时，
z有最小值，最小值为19200元，
答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少． 
【解析】(1)设每个乙种书柜的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
(2)设甲书柜的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出y与z的数量关系即可求出答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出甲与乙的单件进货价，以及列出书柜总费用与甲书柜数量之间的函数关系，本题属于中等题型．

24.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴CD=AD=BD，∠BCD=∠ACD=∠A=45°，∠ADC=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°=∠ADC，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCFAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF；
(2)解：∵AC= 2，CD=AD，∠ADC=90°，
∴AD=CD=1，
∴AD=CE=1，
∴AE= 2−1，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF= 2−1，
∵AD=CE=CD，
∴∠CDE=67.5°，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴EF2=DE2+DF2=2DE2，∠DEF=45°，
∴∠DGE=67.5°=∠EDC，
∴GE=DE，
∴EF2=2GE2，
∵FC2+CE2=EF2，
∴1+3−2 2=2GE2，
∴GE2=2− 2． 
【解析】(1)由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE=DF；
(2)先证DE=GE，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵点O，B的坐标分别为(0,0)，(12,0)，
∴OB=12，
∵△OBD是等边三角形，
∴OD=BD=OB=12，∠D=60°，
∵将△OAB沿对角线AB翻折得到△DAB(点O，A，D在同一直线上)，
∴OA=AD=6，
∵AC//OB，
∴∠DAE=∠DOB=60°，∠DEA=∠DBO=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴AE=AD=6；
(2)如图，过点A作AH⊥OB于H，

∴∠AHO=90°，
∴∠OAH=30°，
∴OH=12OA=3，AH= 3OH=3 3，
∴S△AEB=12×AE×AH=12×6×3 3=9 3；
(3)∵OH=3，AH=3 3，
∴点A(3,3 3)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
由题意可得：0=12k+b3 3=3k+b，
解得：k=− 33b=4 3，
∴直线AB的解析式为：y=− 33x+4 3，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AC//OB，AC=OB=12，
∴点C(15,3 3)，
设点N(0,n)，点M(m,− 33m+4 3)，
若以BC，BN为边，∵四边形BCMN是平行四边形，
∴CN与BM互相平分，
∴15+02=12+m2，
∴m=3，
∴点M(3,3 3)，
若以BC，BM为边，∵四边形BCNM是平行四边形，
∴BN与CM互相平分，
∴12+02=15+m2，
∴m=−3，
∴点M(−3,5 3)，
若以BM，BN为边，∵四边形BNCM是平行四边形，
∴BC与MN互相平分，
∴12+152=0+m2，
∴m=27，
∴点M(27,−5 3)，
综上所述：点M的坐标为(3,3 3)或(−3,5 3)或(27,−5 3). 
【解析】(1)通过证明△DAE是等边三角形，可得AD=AE=6；
(2)由直角三角形的性质可求AH的长，由三角形的面积公式可求解；
(3)分三种情况讨论，利用平行三角形的性质列出方程可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，一次函数的应用，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．