2022-2023学年安徽省滁州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省滁州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )
A. 12 B. − 26 C. 15 D. 0.3
2. 把方程x2−4x−3=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式，a，b的值分别是(    )
A. 2，7 B. 2，5 C. −2，7 D. −2，5
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(    )
A. ∠A+∠B=∠C B. a=1，b= 3，c=2
C. ∠A：∠B：∠C=1：2：3 D. a：b：c=13：14：15
4. 如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=8，BE=3，则AB的长为(    )


A. 5 B. 6 C. 10 D. 11
5. 如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC= 5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为(    )


A. 3 B. 32 C. 2 D. 1
6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是S甲2=0.33，S乙2=0.59，S丙2=0.19，S丁2=0.46.在本次射击测试中，这四人中成绩最稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 如图，正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF.若BE=AF，则∠CDF的度数是(    )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 67.5°
8. 等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n+2=0的两个根，则n的值为(    )
A. 6 B. 6或7 C. 7或8 D. 7
9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.下列结论：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE=14S△ABC，其中正确结论的个数是(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为4和3，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC，当点E在边CD上移动时，AE+FC的最小值为(    )
A. 7
B. 2 13
C. 10
D. 73
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正，反面的内周边缘均为正十一边形．则其内角和为______°.

12. 有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、4、4、6，第5组的频率是0.1，则6组的频率是______．
13. 某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件.若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为______ 元/件．
14. 如图1，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点(不与端点重合).将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
(1)∠EAG= ______ ；
(2)如图2，若E为CD的中点，则CG= ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15. 解方程：2x2+4x−1=0．
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算： 8−( 2+1)2+( 3+2)( 3−2)．
17. (本小题8.0分)
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦−秦九韶公式”，完成下列问题：
如图，在△ABC中，a=7，b=5，c=6．
(1)求△ABC的面积；
(2)设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．

18. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2+2(m−1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+ m2+4m+4．
19. (本小题10.0分)
△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
(1)求证：DM=12(AC−AB)；
(2)若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．

20. (本小题10.0分)
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求新路CH比原路CA少多少千米？

21. (本小题12.0分)
某校八年级600名学生参加植树活动，要求每人植4至7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵，B：5棵，C：6棵，D：7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2)，回答下列问题：
(1)在这次调查中D类型有多少名学生？把条形图补充完整；
(2)本次被调查的学生每人植树量的众数为______ 棵，中位数为______ 棵；
(3)求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这600名学生共植树多少棵．

22. (本小题12.0分)
如图，利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)AB=______米(用含x的代数式表示)；
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．

23. (本小题14.0分)
如图1，已知AB//CD，AB=CD，∠A=∠D，E为AB的中点．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)如图2，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．
①若F为AD的中点，求证：CF=3AF；
②若CE=4，CF=5，求AF的长．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A． 12=2 3，因此选项A不符合题意；
B.− 26是最简二次根式，因此选项B符合题意；
C. 15= 55，因此选项C不符合题意；
D. 0.3= 310= 3010，因此选项D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的性质逐项进行化简，再由最简二次根式的定义进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握二次根式的性质与化简以及最简二次根式的定义是正确解答的前提．

2.【答案】C 
【解析】解：x2−4x−3=0，
x2−4x=3，
x2−4x+4=3+4，
(x−2)2=7，
所以a=−2，b=7，
故选：C．
先移项，再配方，即可得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

3.【答案】D 
【解析】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2=12+( 3)2=4，c2=22=4，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×31+2+3=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c=13：14：15，
∴设a=13k，则b=14k，c=15k，
∵a2+b2=(13k)2+(14k)2=25144k2，c2=(15k)2=125k2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，AD//BC，
∴CE=BC−BE=8−3=5，∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=5=AB，
故选：A．
由平行四边形的性质可得AD=8，BE=3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，可证CD=CE=5．
本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得CE=CD是解此题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵∠OBC=90°，OC= 5，BC=1，
∴OB= OC2−BC2= ( 5)2−12=2，
∵∠A=90°，∠AOB=30°，
∴AB=12OB=1，
∴OA= OB2−AB2= 22−12= 3，
故选：A．
根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识．

6.【答案】C 
【解析】解：∵S丙2 ∴在本次射击测试中，这四人中成绩最稳定的是丙．
故选：C．
根据方差的性质进行判断．
本题考查了方差的定义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAF=∠ABE=90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠ADF=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°，∠ADC=90°，
∴∠ADF=22.5°，
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°，
故选：D．
据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△DAF≌△ABE，从而求出∠ADF的度数．

8.【答案】D 
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2，或b=2；②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n+2=0的两个根，
∴x=2，
把x=2代入x2−6x+n+2=0得，22−6×2+n+2=0，
解得：n=6，
当n=6时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=6不合题意，
②当a=b时，方程x2−6x+n+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−6)2−4(n+2)=0
解得：n=7．
当n=7时，方程的两根是3和3，
3，3，2能组成三角形，
故n=7符合题意，
故选：D．
由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2；②a=b；①当a=2，或b=2时，得到方程的一个根x=2，把x=2代入x2−6x+n+2=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2−6x+n+2=0有两个相等的实数根，由Δ=(−6)2−4(n+2)=0可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．

9.【答案】A 
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA=OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC，故④正确；
正确的结论由4个，
故选：A．
通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．

10.【答案】B 
【解析】解：延长CB到M，使得BM=BC，过点M作MT⊥MC，且MT=AB，连接BT，TF，CT．
在△ABC和△TMB中，
BA=MT∠ABC=∠MBC=MB，
∴△ABC≌△TMB(SAS)，
∴AC=BT，∠ACB=∠TBM，
∵∠ACB+∠ACD=90°，∠TBM+∠TBF=90°，
∴∠TBF=∠ACD，
在△ACE和△TBF中，
CA=BT∠AGE=∠TBFCE=BF，
∴△ACE≌△TBF(SAS)，
∴AE=FT，
∴AE+CF=FT+CF，
∵CF+FT≥CT，CT= MT2+MC2= 42+62=2 13，
∴AE+CF≥2 13，
∴AE+CF的最小值为2 13．
故选：B．
延长CB到M，使得BM=BC，过点M作MT⊥MC，且MT=AB，连接BT，TF，CT，根据全等三角形的性质得到AC=BT，∠ACB=∠TBM，推出∠TBF=∠ACE，再推出△ACE≌△TBF(SAS)，得到AE=FT，根据勾股定理得到，CT= MT2+MC2= 42+62=2 13，于是得到结论．
本题考查了轴对称−最短问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．

11.【答案】1620 
【解析】解：十一边形的内角和等于：(11−2)⋅180°=1620°．
故答案为：1620．
把多边形的边数代入n边形的内角和是(n−2)⋅180°，就得到多边形的内角和．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．

12.【答案】0.3 
【解析】解：∵第1～4组的频数分别为10、4、4、6，
∴第1～4组的频率和为：10+4+4+640=0.6，
∵第5组的频率是0.1，
∴6组的频率是：1−0.6−0.1=0.3．
故答案为：0.3．
直接根据已知求出第1～4组的频率和，再结合第5组的频率，进而得出答案．
此题主要考查了频数与频率，正确理解频数与频率的定义是解题关键．

13.【答案】180 
【解析】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为x，
根据题意得：200(1−x)2=162，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
∴2021年此类服装的出厂价为200×(1−10%)=180(元/件)．
故答案为：180．
设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为x，利用2022年该类服装的出厂价=2020年该类服装的出厂价×(1−这两年此类服装的出厂价下降的百分率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出x的值，再利用2021年该类服装的出厂价=2020年该类服装的出厂价×(1−这两年此类服装的出厂价下降的百分率)，即可求出2021年此类服装的出厂价．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14.【答案】45°  2 
【解析】解：由对折得出∠DAE=∠EAF，AF=AD，
∵四边形ABCD为正方形，边长为3，
∴∠DAB=∠D=∠B=∠C=90°，AB=AD=CD=CB=3，
∴AF=AB，
∵AG=AG，
∴Rt△AFG≌Rt△ABG(HL)，
∴∠FAG=∠GAB，
∵∠DAB=∠DAE+∠EAF+∠FAG+∠GAB，
∴2∠EAF+2∠FAG=90°，
∴∠EAF+∠FAG=45°，
∴∠EAG=45°．
(2)∵E为中点，
∴DE=CE=12CD=32，
由翻折可得：EF=DE=32，
设BG=x，则CG=3−x，
由(2)可得：Rt△AFG≌Rt△ABG，
∴FG=BG=x，
∴EG=EF+FG=32+x，
∵∠C=90°
∴CE2+CG2=EG2，
∴(32)2+(3−x)2=(32+x)2，
∴x=1，
∴CG=3−x=2．
故答案为：(1)45°；
(2)2．
(1)由对折得出∠DAE=∠EAF，再证明∠FAG=∠GAB，即可得出∠EAG=12∠DAB=45°；
(2)设BG=x，可得CG=3−x，根据E为中点求出CE=32，根据勾股定理可求出BG，进而求出CG．
本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理的知识，有一定的难度，根据勾股定理列出等式是解答的关键．

15.【答案】解：(x+1)2=32，
解得x1=−1+ 62，x2=−1− 62． 
【解析】本题考查了解一元二次方程的方法--配方法．
利用配方法求解即可．

16.【答案】解：原式=2 2−(2+1+2 2)+3−4
=2 2−3−2 2−1
=−4． 
【解析】先根据完全平方公式及平方差公式分别计算出各数，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

17.【答案】解：(1)p=a+b+c2=7+5+62=9
S= 9(9−7)(9−5)(9−6)= 9×2×4×3=6 6；
∴△ABC的面积为6 6；
(2)S=12×5h2=12×6h1=6 6，
∴h2=12 65，h1=2 6，
∴h1+h2=2 6+12 65=22 65． 
【解析】(1)代入“海伦公式”求解；
(2)根据三角形的面积列方程求出h1、h2，再求和．
本题考查了二次根式的应用，掌握三角形的面积公式是解题的关键．

18.【答案】解：∵x2+2(m−1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=4(m−1)2−4(m2+5)≥0，
即−8m−16≥0，
解得：m<−2，
则|1−m|+ m2+4m+4
=|1−m|+|m+2|
=1−m−m−2
=−2m−1． 
【解析】首先利用根的判别式确定m的取值范围，再化简二次根式，利用绝对值的性质计算即可．
此题主要考查了根的判别式，以及二次根式的混合运算，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．

19.【答案】(1)证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
∠BAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADE，
∴△BAD≌△EAD(SAS)，
∴AB=AE，BD=DE，
∵M为BC的中点，
∴DM=12CE=12(AC−AB)；

(2)∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8，
∴由勾股定理得：AE=AB= 62+82=10，
∵DM=2，DM=12CE，
∴CE=4，
∴AC=10+4=14． 
【解析】(1)延长BD交AC于E，证△BAD≌△EAD，推出AB=AE，BD=DE，根据三角形的中位线性质得出DM=12CE即可；
(2)根据勾股定理求出AB，求出AE，根据三角形的中位线求出CE，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAD，题目比较好，难度适中．

20.【答案】解：(1)是，
理由是：在△CHB中，
因为CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，
BC2=2.25，
所以CH2+BH2=BC2，
所以CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
所以x2=(x−0.9)2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
1.25−1.2=0.05(千米)
答：新路CH比原路CA少0.05千米． 
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．

21.【答案】5  5 
【解析】解：(1)调查人数为：8÷40%=20(名)，
这次调查中D类型学生有20×10%=2(名)，
补全条形统计图如下：

(2)这40名学生植树棵数出现次数最多的是5棵，共出现8次，因此众数是5棵，
将这40名学生植树棵数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5+52=5棵，因此中位数是5棵，
故答案为：5，5；
(3)这20名学生植树的平均数为：4×4+5×8+6×6+7×220=5.3(棵)，
600名学生植树的总棵数为600×5.3=3180(棵)，
答：被调查学生每人植树量的平均数是5.3棵，这600名学生共植树3180棵．
(1)从两个统计图可知，样本中B类型的有8人，占调查人数的40%，由频率=频数总数可求出调查人数，进而求出D类型的人数即可；
(2)根据中位数、众数的定义进行计算即可；
(3)根据平均数的计算方法求出被调查学生每人植树量的平均数，再求出600名学生植树的总数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．

22.【答案】(51−3x) 
【解析】解：(1)设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=49+2−3x=51−3x(米)，
故答案为：(51−3x)；
(2)依题意，得：(51−3x)x=210，
整理，得：x2−17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10．
当x=7时，AB=51−3x=30>25，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51−3x=21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
(3)不可能，理由如下：
依题意，得：(51−3x)x=240，
整理得：x2−17x+80=0，
∵Δ=(−17)2−4×1×80=−31<0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
(1)设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
(2)根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
(3)根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−31<0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．

23.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴▱ABCD是矩形；
(2)①证明：如图2，延长DA、CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD//BC，
∴∠GAE=∠B=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
∴△AGE≌△BCE(AAS)，
∴AG=BC，
∵F为AD中点，
∴AF=DF=12AD=12BC，
∴AG=BC=2AF，
∴FG=AG+AF=3AF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠BCF，∠G=∠ECB，
∵∠DFC=2∠BCE，
∴∠G=∠ECB=∠ECF，
∴CF=FG=3AF；
②∵CE=4，CF=5，
∴EG=CE=4，CG=8，FG=CF=5，
设DF=x，
根据勾股定理得：CF2−DF2=CD2=CG2−DG2，
即52−x2=82−(5+x)2，
解得：x=75，
∴DG=5+75=325，
∴AD=165，
∴AF=AD−DF=165−75=95． 
【解析】(1)根据平行线的性质和∠A=∠D推出∠A=∠D=90°，先用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定；
(2)①延长DA、CE交于点G，判定△AGE≌△BCE，得到AG=BC=AD，再根据F为AD中点和∠DFC=2∠BCE即可推出结论；
②设DF为x，在△CDF中，根据勾股定理列出方程，求出DF的长，再根据线段的和差即可求出AF的长．
本题是四边形综合题，主要考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．