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2022-2023学年广东省河源市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省河源市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省河源市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x>y，下列不等式一定成立的是( )
A. x+2y−3 C. −x>−y D. x4
A. B. C. D.
3. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. a2+b2=(a+b)(a−b) B. x2+2x−1=(x−1)2
C. a2−a=a(a−1) D. a2+4a+4=a(a+4)+4
4. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为( )
A. 20cm
B. 24cm
C. 22cm
D. 25cm
5. 分式x+3x−3的值是零，则x的值为( )
A. 3 B. −3 C. 3或−3 D. 0
6. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD B. AB//CD
C. OB=OD D. ∠ADB=∠CBD
7. 不等式组x<1x≥−3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
9. 一次函数y1=mx+n与y2=−x+a的图象如图所示，则mx+n<−x+a的解集为( )
A. x>3
B. x<1
C. x<3
D. 0
A. 12
B. 9
C. 10
D. 11
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 把多项式x2−2x分解因式的结果为______ ．
12. 分式方程3x−2=1的解是______ ．
13. 如图，在平行ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠C=60°，则∠CBE的度数为______ ．
14. 如图，将Rt△ABO绕直角顶点O逆时针旋转90°得到△A1B1O，若∠B=75°，则∠1= ______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD=4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组4x+1>3(x+1)3x−22≤x+1．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−3x+3)÷xx2−9，其中x=2，
18. (本小题8.0分)
△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其三个顶点都在格点上．
(1)将△OAB先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到△O1A1B1，请画出平移后的△O1A1B1，此时A1坐标为______ ，B1坐标为______ ；
(2)将△OAB绕着点O逆时针方向旋转90°得到△OA2B2，请画出△OA2B2．
19. (本小题9.0分)
随着“足球进校园”项目的推进，足球逐渐融入学生生活.某校计划课后服务开设足球兴趣班，打算用6000元购进某种品牌的足球，经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了8个，求此品牌足球原来的价格．
20. (本小题9.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
(1)求证：AE⊥BF；
(2)若EF= 15AD，则BC：AB的值是____．
21. (本小题9.0分)
每年的6月5日为世界环境日.某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？
22. (本小题12.0分)
已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针方向旋转60°得到线段DE，连接CE．
(1)如图1，求证：CE=BD；
(2)如图2，当BD等于多少时，∠DEC=30°．
23. (本小题12.0分)
如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC=BD，∠CAB=∠DBA，连接BC，AD交于点 E．
(1)求证：AE=BE；
(2)如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF．
①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；
②若∠DAB=30°，AE=5，DE=3，求线段EF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵x>y，
∴x+2>y+2；x−3>y−3；−x<−y；x4>y4．
∴A错误，不符合题意；B正确，符合题意；C错误，不符合题意；D错误，不符合题意．
故选：B．
依据题意，由不等式的性质逐项判断即可得解．
本题主要考查了不等式的性质，解题时要能熟练掌握并理解．
2.【答案】D
【解析】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】C
【解析】解：A、a2+b2不是同类项也不是乘法公式无法合并或因式分解，
∴A不符合题意．
B、∵(x−1)2=x2−2ab+1，左边≠右边．
∴B不符合题意．
C、∵由提公因式可知：a2−a=a(a−1)
∴C符合题意．
D、∵a2+4a+4=(a+2)2，
∴D不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的方法即可得出结论．
本题考查了因式分解的运算，正确且灵活的运用乘法公式是解答的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，
∴AB=2EF，BC=2DF，AC=2DE，
∵△DEF的周长为10cm，
∴EF+DE+DF=10cm，
∴2EF+2DE+2DF=20cm，
∴AB+BC+AC=20cm，
∴△ABC的周长为20cm．
故选：A．
先根据三角形中位线的性质得：AB=2EF，BC=2DF，AC=2DE，根据周长得：EF+DE+DF=10cm，所以2EF+2DE+2DF=20cm，即AB+BC+AC=20cm．
本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵分式x+3x−3的值是零，
∴x+3=0x−3≠0，
解得x=−3．
故选：B．
根据分式值为零的条件可得x+3=0，且x−3≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6.【答案】A
【解析】解：A、由AB=CD，OA=OC，不能证明△AOB≌△COD，
因此不能得出OB=OD，故选项A符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
∠OAB=∠OCDOA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△OCD(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC，
同选项B得：△OAD≌△COB(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项D不符合题意；
故选：A．
由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出OB=OD是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：不等式组x<1x≥−3的解集为−3≤x<1，
A：数轴表示解集为无解，故选项A错误；
B：数轴表示解集为x≤−3，故选项B错误；
C：数轴表示解集为−3≤x<1，故选项C正确；
D：数轴表示解集为x≥1，故选项D错误；
故选：C．
分别求出各选项的解集，并做出判断．
本题考查了利用数轴表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
8.【答案】B
【解析】本题考查了多边形内角和定理，能熟记多边形内角和公式是解此题的关键．
设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得出(n−2)180°=1260°，求出即可．
解：设多边形的边数为n，
则(n−2)180°=1260°，
解得：n=9．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
结合函数图象，写出直线y1=mx+n在直线y2=−x+a的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：根据图象得，当x<3时，y1
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC=∠MNB=90°，
∴∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°，
∴∠M=∠BON，
∵∠BON=∠MOA，
∴∠M=∠MOA，
∴AM=AO=3，
∵BO=4，
∴AB=AC=AO+BO=7，
∴MC=AM+AC=10，
故选：C．
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再根据垂直定义可得∠MNC=∠MNB=90°，从而可得∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°，然后利用等角的余角相等可得∠M=∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON=∠MOA，从而可得∠M=∠MOA，进而可得AM=AO=3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】x(x−2)
【解析】解：x2−2x
=x(x−2)．
故答案为：x(x−2)．
直接利用提公因式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式法．
12.【答案】x=5
【解析】解：去分母得：x−2=3，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13.【答案】60°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠C+∠ABC=180°，
∵∠C=60°，
∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=60°，
故答案为：60°．
根据平行四边形的性质，可以得到DC//AB，然后即可得到∠C+∠ABC=180°，得出∠ABC=120°，由BE平分∠ABC，即可得到∠CBE的度数．
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
14.【答案】15°
【解析】解：∵∠AOB=90°，∠B=75°，
∴∠BAO=90°−∠B=15°，
由旋转得：∠1=∠BAO=15°，
故答案为：15°．
先根据直角三角形的两个锐角互余可求出∠BAO=15°，然后再利用旋转的性质可得：∠1=∠BAO=15°，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15.【答案】245
【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=6×45=245．
故答案为：245．
由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
16.【答案】解：4x+1>3(x+1)①3x−22≤x+1②，
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为2
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
17.【答案】解：原式=x+3−3x+3⋅(x+3)(x−3)x
=xx+3⋅(x+3)(x−3)x
=x−3；
当x=2时，
原式=2−3=−1．
【解析】先通分括号内的式子，然后算括号外的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.【答案】(2,0) (5,−2)
【解析】解：(1)如图，△OA1B1即为所求，点A1坐标(2,0)，B1坐标(5,−2)．
故答案为：(2,0)，(5,−2)；
(2)如图，△OA2B2即为所求．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：设此品牌足球原来的价格为x元，
由题意得：6000x−8=6000(1+20%)x，
解得：x=125，
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意，
答：此品牌足球原来的价格为125元．
【解析】设此品牌足球原来的价格为x元，根据该品牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了8个，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°，即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
(2)59．
【解析】
解答：(1)见答案；
(2)解：∵在平行四边形ABCD中，CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，同理可得，CF=BC，
又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DF=CE，
∵EF=15AD，
∴BC=AD=5EF，
∴DE=5EF，
∴DF=CE=4EF，
∴AB=CD=9EF，
∴BC：AB=5：9；
故答案为：59．
【分析】
(1)由平行线性质及角平分线定义证明∠BAE+∠ABF=90°，即可推出∠AMB=90°即AE⊥BF；
(2)利用平行线性质、角平分线定义、等腰三角形判定证明DE=AD，CF=BC，再利用平行四边形的性质AD=BC，证出DE=CF，得出DF=CE，由已知得出BC=AD=5EF，DE=5EF，求出DF=CE=4EF，得出AB=CD=9EF，即可得出结果．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：设需要x名八年级学生参加活动，则需要(80−x)名七年级学生参加活动，
根据题意得：15(80−x)+20x≥1500，
解得：x≥60，
∴x的最小值为60．
答：至少需要60名八年级学生参加活动．
【解析】设需要x名八年级学生参加活动，则需要(80−x)名七年级学生参加活动，根据所收集的塑料瓶总数不少于1500个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接AE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°，
由旋转得：AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴CE=BD；
(2)连接AE，
由旋转得：AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DEC=30°，
∴∠AEC=∠AED−∠DEC=30°，
∴∠ADB=AEC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=90°，
∵AB=6，
∴BD=2AB=12，
∴当BD等于12时，∠DEC=30°．
【解析】(1)连接AE，根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=60°，由旋转的性质可得：AD=DE，∠ADE=60°，从而可得△ADE是等边三角形，进而可得AD=AE，∠DAE=60°，然后利用等式的性质可得∠BAD=∠CAE，从而利用SAS可证△BAD≌△CAE，进而利用全等三角形的性质可得CE=BD；
(2)连接AE，利用(1)的解题思路，再利用SAS可证△BAD≌△CAE，从而可得∠ADB=∠AEC=30°，然后利用三角形内角和定理可得∠BAD=90°，从而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2AB=12，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：在△ABC和△BAD中，
∵AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(SAS)，
∴∠CBA=∠DAB，
∴AE=BE；
(2)解：①四边形ACBF为平行四边形；
理由是：由对称得：△DAB≌△FAB，
∴∠ABD=∠ABF=∠CAB，BD=BF，
∴AC//BF，
∵AC=BD=BF，
∴四边形ACBF为平行四边形；
②如图2，过F作FM⊥AD于，连接DF，
∵△DAB≌△FAB，
∴∠FAB=∠DAB=30°，AD=AF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AB=3+5=8，
∵FM⊥AD，
∴AM=DM=4，
∵DE=3，
∴ME=1，
Rt△AFM中，由勾股定理得：FM= AF2−AM2= 82−42=4 3，
∴EF= 12+(4 3)2=7．
【解析】(1)利用SAS证△ABC≌△BAD可得．
(2)①根据题意知：AC=BD=BF，并由内错角相等可得AC//BF，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；
②如图2，作辅助线，证明△ADF是等边三角形，得AD=AB=3+5=8，根据等腰三角形三线合一得AM=DM=4，最后利用勾股定理可得FM和EF的长．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．
2022-2023学年广东省河源市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x>y，下列不等式一定成立的是( )
A. x+2
A. B. C. D.
3. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. a2+b2=(a+b)(a−b) B. x2+2x−1=(x−1)2
C. a2−a=a(a−1) D. a2+4a+4=a(a+4)+4
4. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为( )
A. 20cm
B. 24cm
C. 22cm
D. 25cm
5. 分式x+3x−3的值是零，则x的值为( )
A. 3 B. −3 C. 3或−3 D. 0
6. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD B. AB//CD
C. OB=OD D. ∠ADB=∠CBD
7. 不等式组x<1x≥−3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
9. 一次函数y1=mx+n与y2=−x+a的图象如图所示，则mx+n<−x+a的解集为( )
A. x>3
B. x<1
C. x<3
D. 0
A. 12
B. 9
C. 10
D. 11
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 把多项式x2−2x分解因式的结果为______ ．
12. 分式方程3x−2=1的解是______ ．
13. 如图，在平行ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠C=60°，则∠CBE的度数为______ ．
14. 如图，将Rt△ABO绕直角顶点O逆时针旋转90°得到△A1B1O，若∠B=75°，则∠1= ______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD=4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组4x+1>3(x+1)3x−22≤x+1．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−3x+3)÷xx2−9，其中x=2，
18. (本小题8.0分)
△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其三个顶点都在格点上．
(1)将△OAB先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到△O1A1B1，请画出平移后的△O1A1B1，此时A1坐标为______ ，B1坐标为______ ；
(2)将△OAB绕着点O逆时针方向旋转90°得到△OA2B2，请画出△OA2B2．
19. (本小题9.0分)
随着“足球进校园”项目的推进，足球逐渐融入学生生活.某校计划课后服务开设足球兴趣班，打算用6000元购进某种品牌的足球，经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了8个，求此品牌足球原来的价格．
20. (本小题9.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．
(1)求证：AE⊥BF；
(2)若EF= 15AD，则BC：AB的值是____．
21. (本小题9.0分)
每年的6月5日为世界环境日.某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？
22. (本小题12.0分)
已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针方向旋转60°得到线段DE，连接CE．
(1)如图1，求证：CE=BD；
(2)如图2，当BD等于多少时，∠DEC=30°．
23. (本小题12.0分)
如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC=BD，∠CAB=∠DBA，连接BC，AD交于点 E．
(1)求证：AE=BE；
(2)如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF．
①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；
②若∠DAB=30°，AE=5，DE=3，求线段EF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵x>y，
∴x+2>y+2；x−3>y−3；−x<−y；x4>y4．
∴A错误，不符合题意；B正确，符合题意；C错误，不符合题意；D错误，不符合题意．
故选：B．
依据题意，由不等式的性质逐项判断即可得解．
本题主要考查了不等式的性质，解题时要能熟练掌握并理解．
2.【答案】D
【解析】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】C
【解析】解：A、a2+b2不是同类项也不是乘法公式无法合并或因式分解，
∴A不符合题意．
B、∵(x−1)2=x2−2ab+1，左边≠右边．
∴B不符合题意．
C、∵由提公因式可知：a2−a=a(a−1)
∴C符合题意．
D、∵a2+4a+4=(a+2)2，
∴D不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的方法即可得出结论．
本题考查了因式分解的运算，正确且灵活的运用乘法公式是解答的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，
∴AB=2EF，BC=2DF，AC=2DE，
∵△DEF的周长为10cm，
∴EF+DE+DF=10cm，
∴2EF+2DE+2DF=20cm，
∴AB+BC+AC=20cm，
∴△ABC的周长为20cm．
故选：A．
先根据三角形中位线的性质得：AB=2EF，BC=2DF，AC=2DE，根据周长得：EF+DE+DF=10cm，所以2EF+2DE+2DF=20cm，即AB+BC+AC=20cm．
本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵分式x+3x−3的值是零，
∴x+3=0x−3≠0，
解得x=−3．
故选：B．
根据分式值为零的条件可得x+3=0，且x−3≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6.【答案】A
【解析】解：A、由AB=CD，OA=OC，不能证明△AOB≌△COD，
因此不能得出OB=OD，故选项A符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
∠OAB=∠OCDOA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△OCD(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC，
同选项B得：△OAD≌△COB(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项D不符合题意；
故选：A．
由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出OB=OD是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：不等式组x<1x≥−3的解集为−3≤x<1，
A：数轴表示解集为无解，故选项A错误；
B：数轴表示解集为x≤−3，故选项B错误；
C：数轴表示解集为−3≤x<1，故选项C正确；
D：数轴表示解集为x≥1，故选项D错误；
故选：C．
分别求出各选项的解集，并做出判断．
本题考查了利用数轴表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
8.【答案】B
【解析】本题考查了多边形内角和定理，能熟记多边形内角和公式是解此题的关键．
设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得出(n−2)180°=1260°，求出即可．
解：设多边形的边数为n，
则(n−2)180°=1260°，
解得：n=9．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
结合函数图象，写出直线y1=mx+n在直线y2=−x+a的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：根据图象得，当x<3时，y1
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC=∠MNB=90°，
∴∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°，
∴∠M=∠BON，
∵∠BON=∠MOA，
∴∠M=∠MOA，
∴AM=AO=3，
∵BO=4，
∴AB=AC=AO+BO=7，
∴MC=AM+AC=10，
故选：C．
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再根据垂直定义可得∠MNC=∠MNB=90°，从而可得∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°，然后利用等角的余角相等可得∠M=∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON=∠MOA，从而可得∠M=∠MOA，进而可得AM=AO=3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】x(x−2)
【解析】解：x2−2x
=x(x−2)．
故答案为：x(x−2)．
直接利用提公因式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式法．
12.【答案】x=5
【解析】解：去分母得：x−2=3，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13.【答案】60°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠C+∠ABC=180°，
∵∠C=60°，
∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=60°，
故答案为：60°．
根据平行四边形的性质，可以得到DC//AB，然后即可得到∠C+∠ABC=180°，得出∠ABC=120°，由BE平分∠ABC，即可得到∠CBE的度数．
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
14.【答案】15°
【解析】解：∵∠AOB=90°，∠B=75°，
∴∠BAO=90°−∠B=15°，
由旋转得：∠1=∠BAO=15°，
故答案为：15°．
先根据直角三角形的两个锐角互余可求出∠BAO=15°，然后再利用旋转的性质可得：∠1=∠BAO=15°，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15.【答案】245
【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=6×45=245．
故答案为：245．
由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
16.【答案】解：4x+1>3(x+1)①3x−22≤x+1②，
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为2
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
17.【答案】解：原式=x+3−3x+3⋅(x+3)(x−3)x
=xx+3⋅(x+3)(x−3)x
=x−3；
当x=2时，
原式=2−3=−1．
【解析】先通分括号内的式子，然后算括号外的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.【答案】(2,0) (5,−2)
【解析】解：(1)如图，△OA1B1即为所求，点A1坐标(2,0)，B1坐标(5,−2)．
故答案为：(2,0)，(5,−2)；
(2)如图，△OA2B2即为所求．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：设此品牌足球原来的价格为x元，
由题意得：6000x−8=6000(1+20%)x，
解得：x=125，
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意，
答：此品牌足球原来的价格为125元．
【解析】设此品牌足球原来的价格为x元，根据该品牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了8个，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°，即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
(2)59．
【解析】
解答：(1)见答案；
(2)解：∵在平行四边形ABCD中，CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，同理可得，CF=BC，
又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DF=CE，
∵EF=15AD，
∴BC=AD=5EF，
∴DE=5EF，
∴DF=CE=4EF，
∴AB=CD=9EF，
∴BC：AB=5：9；
故答案为：59．
【分析】
(1)由平行线性质及角平分线定义证明∠BAE+∠ABF=90°，即可推出∠AMB=90°即AE⊥BF；
(2)利用平行线性质、角平分线定义、等腰三角形判定证明DE=AD，CF=BC，再利用平行四边形的性质AD=BC，证出DE=CF，得出DF=CE，由已知得出BC=AD=5EF，DE=5EF，求出DF=CE=4EF，得出AB=CD=9EF，即可得出结果．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：设需要x名八年级学生参加活动，则需要(80−x)名七年级学生参加活动，
根据题意得：15(80−x)+20x≥1500，
解得：x≥60，
∴x的最小值为60．
答：至少需要60名八年级学生参加活动．
【解析】设需要x名八年级学生参加活动，则需要(80−x)名七年级学生参加活动，根据所收集的塑料瓶总数不少于1500个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接AE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°，
由旋转得：AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴CE=BD；
(2)连接AE，
由旋转得：AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DEC=30°，
∴∠AEC=∠AED−∠DEC=30°，
∴∠ADB=AEC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=90°，
∵AB=6，
∴BD=2AB=12，
∴当BD等于12时，∠DEC=30°．
【解析】(1)连接AE，根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=60°，由旋转的性质可得：AD=DE，∠ADE=60°，从而可得△ADE是等边三角形，进而可得AD=AE，∠DAE=60°，然后利用等式的性质可得∠BAD=∠CAE，从而利用SAS可证△BAD≌△CAE，进而利用全等三角形的性质可得CE=BD；
(2)连接AE，利用(1)的解题思路，再利用SAS可证△BAD≌△CAE，从而可得∠ADB=∠AEC=30°，然后利用三角形内角和定理可得∠BAD=90°，从而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2AB=12，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：在△ABC和△BAD中，
∵AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(SAS)，
∴∠CBA=∠DAB，
∴AE=BE；
(2)解：①四边形ACBF为平行四边形；
理由是：由对称得：△DAB≌△FAB，
∴∠ABD=∠ABF=∠CAB，BD=BF，
∴AC//BF，
∵AC=BD=BF，
∴四边形ACBF为平行四边形；
②如图2，过F作FM⊥AD于，连接DF，
∵△DAB≌△FAB，
∴∠FAB=∠DAB=30°，AD=AF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AB=3+5=8，
∵FM⊥AD，
∴AM=DM=4，
∵DE=3，
∴ME=1，
Rt△AFM中，由勾股定理得：FM= AF2−AM2= 82−42=4 3，
∴EF= 12+(4 3)2=7．
【解析】(1)利用SAS证△ABC≌△BAD可得．
(2)①根据题意知：AC=BD=BF，并由内错角相等可得AC//BF，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；
②如图2，作辅助线，证明△ADF是等边三角形，得AD=AB=3+5=8，根据等腰三角形三线合一得AM=DM=4，最后利用勾股定理可得FM和EF的长．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．
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