2022-2023学年山东省德州市德城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省德州市德城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省德州市德城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使得代数式 x−2有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>2 B. x≥2 C. x<2 D. x≤2
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则AC=(    )
A. 5 B. 5 C. 3 D. 3
3. 下列是4位同学所画的菱形，依据所标数据，不一定为菱形的是(    )
A. B.
C. D.
4. 如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(1,2)，则关于x的方程kx+b=2x的解是(    )

A. x=12 B. x=2 C. x=1 D. x=4
5. 如图，一只小鸟从树尖C点径直飞向塔尖A处.已知树高6米，塔高12米，树与塔的水平距离为8米，则小鸟飞行的最短距离为(    )


A. 8米 B. 10米 C. 11米 D. 12米
6. 某社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，当x变化时，下列关于年龄的统计量保持不变的是(    )
社团成员年龄分布统计表
年龄/岁
13
14
15
16
17
频数/名
5
12
x
11−x
2

A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差
7. 将直线y=−2x−1向右平移3个单位长度得到的直线不经过(    )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
8. 如图，每个小正方形的边长为l，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为(    )
A. 262
B. 3 2
C. 2 2
D. 26
9. 一次函数y=kx−5和y=2x+b(k、b为常数)的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为(    )
A. k=2，b=5 B. k=−2，b=5
C. k=2，b=−5 D. k=−2，b=−5
10. 弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度(cm)与所挂物体的质(kg)之间的关系如表：下列说法错误的是(    )
物体的质量(kg)
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度(cm)
10
12.5
15
17.5
20
22.5

A. 在没挂物体时，弹簧的长度为10cm．
B. 弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数
C. 在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm
D. 在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm
11. 如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系如图2，则a的值为(    )


A. 8 B. 253 C. 6 D. 203
12. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连接BF交DE于点G，且BG=GF=DF，若AC=6 2，则BC的值是(    )
A. 3 5
B. 4 3
C. 2 15
D. 8
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 化简： (−5)2= ______ ．
14. 将直线y=2x向上平移，请你任意写出一个平移后的解析式______ ．
15. 已知数据x1，x2，…，xn的方差是3，则一组新数据2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的方差是______ ．
16. 如图，在数轴上以宽为1个单位长度，长为2个单位长度画一个矩形，以原点O为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正半轴交于点A.在点A的左侧截取AB=2，则点B表示的数为______ ．

17. 在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到D点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为______ ．

18. 如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(−4,0)，B(−2,−1)，C(3,0)，D(0,3)，当过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算( 8+ 3)× 6−3 2；
(2)已知x= 5−1，求代数式x2+5x−6的值．
20. (本小题10.0分)
随着生活水平的提高，人们的购买力越来越来强，我国快递公司也不断崛起，业务量越来越多.某快递公司为了解客户的需求，提升服务质量，随机抽取了200名用户进行问卷调查，调查问卷如下：
(1).您对本公司快递服务的整体评价为______ (单选)
A.满意；B.一般；C.不满意．
如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请回答第2个问题：
(2)您认为本公司快递服务最需要改进的方面为______ (单选)
A.快递价格；B.配送速度；C.服务态度；D.包装细致．
该快递公司将抽取的200份调查问卷和结果描述如下：

(1)如果将整体评价中满意，一般，不满意分别赋分为5分，3分，1分，求该公司此次调查中关于整体评价赋分的中位数和平均数；
(2)在这次调查问卷中，认为该公司需要在快递价格方面进行改进的人数有多少？
(3)根据调查数据，请你为该公司提升服务质量的工作提出一条合理的建议．
21. (本小题10.0分)
如图：在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF=BC，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若BF=8，DF=4，求CD的长．

22. (本小题12.0分)
如图1，同学们想测量旗杆的高度.他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；
(2)已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远，此时绳结离地面多高？


23. (本小题12.0分)
已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于12AC的长度为半径作弧，两弧分别交于M，N两点；
②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；
③以AC所在直线为对称轴做△ADE的轴对称图形，设点D的对称点为点F．
(1)请在图中直线标出点F并连接CF．
(2)求证：四边形BCFD是平行四边形．
(3)当∠B=60°时，判断四边形BCFD的形状，并说明理由．

24. (本小题12.0分)
2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻天宫空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”.某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“天宫空间站”两款模型.已知每个“天宫”模型的成本比“火箭”模型多10元，花费150元购进火箭模型的数量与花费250元购进天宫模型的数量一样多．
(1)每个“火箭”模型和“天宫”模型的成本价各是多少元？

(2)航模店计划购买两种模型共200个，其中“天宫“模型售价为40元，“火箭”模型的售价为20元.设购买“天宫”模型m个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与m的函数关系式(不要求写出m的取值范围)；
②若购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的13，则购进“天宫”模型多少个时，售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
25. (本小题14.0分)
如图，直线l1过点A(0,2)、B(2,0)，直线l1和直线l2交于点C(3,a)，直线l2与y轴交于点D(0,−7)．
(1)求直线l1和直线l2对应的函数解析式；
(2)直线l1上有一动点P，使得△CDP的面积为12，求点P的坐标；
(3)y轴上有一动点M，直线l2上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：如图，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，
∴AC= AB2−BC2= 22−12= 3，
故选：C．
根据勾股定理计算，即可得到答案．
本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.掌握勾股定理是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：A选项：由于四边形的四条边都是2，四条边都相等的四边形是菱形，故A选项正确；
B选项：∵由于四边形三条边都是2，
∴邻边相等∵50°+130°=180°，
∴四边形的一组对边互相平行，
∵四边形的另一组对边都是2，
∴不能证明四边形的为平行四边形，
∴一组邻边相等的四边形不是菱形，故B选项不正确；
C选项：∵由于四边形邻边都是2，
∴邻边相等，
∵四边形内角和为360°，
∴四边形的剩余的最后一个角为50°，故四边形的两组对角相等，
∴四边形为平行四边形，
根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，故C选项正确；
D选项：∵60°+120°=180°，
∴四边形的一组对边互相平行，
∵四边形的这组对边都是2，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形的邻边都是2，
根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，故D选项正确．
故选：B．
根据菱形的判定即可选出答案．
本题考查的是菱形的判定，熟练掌握菱形的四条判定定理是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(1,2)，
∴2=2k，
∴k=1，
则2=1+b，
∴b=1，
∴关于x的方程kx+b=2x的解是x=1，
故选：C．
首先利用函数解析式y=2x求出k的值，然后再根据两函数图象的交点求出b，则关于x的方程kx+b=2x的解为x=1．
本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．

5.【答案】B 
【解析】解：由题意可知，CD=6米，AB=12米，BD=8米，
如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，

则BE=CD=6米，CE=BC=8米，
∴AE=AB−BE=12−6=6(米)，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC= AE2+CE2= 62+82=10(米)，
即小鸟飞行的最短距离为10米，
故选：B．
过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，由勾股定理求出AC的长，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+11−x=11，14岁人数有12人，
故该组数据的众数为12，
中位数为：(14+14)÷2=14．
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：C．
由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为11，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15，16个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查众数和中位数，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：可设新直线解析式为y=−2x+b，
∵原直线y=−2x−1经过点(0,−1)，
∴向右平移3个单位，(3,−1)，
代入新直线解析式得：b=5，
∴新直线解析式为：y=−2x+5．
∴新直线不经过第三象限．
故选：B．
平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，从原直线解析式上找一个点，然后找到向右平移2个单位，代入设出的直线解析式，即可求得b，也就求得了所求的直线解析式．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，用到的知识点为：平移不改变直线解析式中的k，关键是得到平移后经过的一个具体点．

8.【答案】A 
【解析】解：由图可得：
AB= 12+52= 26，
AC= 32+32=3 2，BC= 22+22=2 2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CD=12AB= 262，
故选：A．
根据勾股定理，得AB= 26，AC=3 2，BC=2 2；由AC2+BC2=AB2，得△ABC为直角三角形；由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=12AB= 262．
本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解．解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半．注意勾股定理的应用．

9.【答案】D 
【解析】解：∵当x=0时，y=kx−5=−5，
∴y=kx−5图象与y轴交于点(0,−5)．
∵(0,−5)关于y轴对称点就是本身，
∴(0,−5)在函数y=2x+b图象上．
∴b=−5．
∴一次函数y=2x−5，它与x轴的交点坐标为(52,0)．
∵y=kx−5的图象与y=2x−5的图象关于y轴对称，
∴y=kx−5的图象经过点(−52,0)，则0=−52k−5，
∴k=−2．
故选：D．
先求出y=kx−5图象与y轴交点，则此交点在函数y=2x+b图象上，求出b=−5.再求出y=2x−5与x轴的交点坐标为(52,0)，则y=kx−5的图象经过点(−52,0)，即可求出k=−2．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：根据条件，可列关系式为：y=2.5x+10．
A.在没挂物体时，弹簧的长度为10cm，根据图表，当质量x=0时，y=10，故此选项正确，不符合题意；
B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意；
C.在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增加2.5cm，故此选项正确，不符合题意；
D、由关系式y=10+2.5x，x=4，解得y=20，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可．
此题考查了函数关系式，主要考查了函数的定义和结合几何图形列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

11.【答案】B 
【解析】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴点P在边BC上运动时，y的值不变，
∴AD=BC=10+a−10=a，
即菱形的边长是a，
∴12AD⋅CE=4a，即CE=8，
当点P在AC上运动时，y逐渐增大，
∴AC=10，
∴AE= AC2−CE2= 102−82=6，
在Rt△DCE中，DC=a，DE=a−6，CE=8，
∴a2=82+(a−6)2，
解得：a=253．
故选：B．
过点C作CE⊥AD，再根据图象的三角形的面积可得CE=8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、勾股定理等知识点，利用菱形的性质和勾股定理列出方程是解答本题的关键．

12.【答案】A 
【解析】解：连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点M，
∵BG=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴OG是△BDF的中位线，
∴OG//DC，DF=BG=GF=2OG，
∴∠ACD=∠COG，
∵DE⊥AC，
∴∠FGD+∠OMG=90°，∠ACD+∠FDG=90°，
∴∠OMG=∠ACD，
∵∠OMG=∠CMF，
∴∠OMG=∠CMF=∠ACD=∠COG，
∴OG=GM，MF=FC，
设OG=GM=x，
则DF=GF=2x，
∴MF=FC=GF−GM=2x−x=x，CD=DF+CF=3x，
∴OG=GM=MF=FC=x，
∴BF=4x，
在Rt△BCD中，BC= BF2−CF2= (4x)2−x2= 15x，
又∵BD2=BC2+CD2=BF2−CF2+CD2=(4x)2−x2+(3x)2=24x2，
∴BD=2 6x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=6 2，
∴2 6x=6 2，
解得：x= 3，
∴BC= 15× 3=3 5，
故选：A．
连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得∠3=∠4=∠5=∠6，设OG=x，DF=2x，则OG=GM=MF=FC=x，解方程求出x的值，即可求出BC的值．
本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．

13.【答案】5 
【解析】解： (−5)2=|−5|=5，
故答案为：5．
a2=|a|，据此即可求得答案．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．

14.【答案】y=2x+1 (答案不唯一) 
【解析】解：直线y=2x向上平移一个单位时，函数解析式为y=2x+1．
故答案为：y=2x+1 (答案不唯一)．
根据“上加下减”的法则解答即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，涉及待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的图象上点的平移特征是解题的关键．

15.【答案】12 
【解析】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是3，
∴数据2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的方差为：22×3=12．
故答案为：12．
根据方差的变化规律，即可得出答案．
本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，关键是掌握方差的计算公式和变化规律．

16.【答案】 5−2 
【解析】解；由勾股定理得：OM= 22+12= 5，
∴OA=OM= 5，
∵AB=2，
∴OB=OA−AB= 5−2，
∴点B表示的数为 5−2．
故答案为： 5−2．
由勾股定理求出OM的长，得到OA的长，即可求出OB长，从而得到点B表示的数．
本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出OM的长．

17.【答案】3或 13或2 3 
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°．
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=12AD，AF=12AB，
∴AE=AF=2．
连接EF，△AEF是等边三角形；
①当点P在AB边上时；如图，

当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形，
此时AP=12AF=1，
∴BP=AB−AP=4−1=3；
②当点P在AD边上时；如图，

连接PF，
当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形，
此时AP=PE=12AE=1，
连接BD，BE，BP，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BE⊥AD，
由勾股定理得BE= 42−22=2 3，
由勾股定理得：PB= BE2+PE2= 12+1= 13；
③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图，

当点P是CD的中点时，此时PC=12CD=2，
∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线，
∴PE//AC，EF//BD，
∴PE⊥EF，
∴△PEF为直角三角形，
∵CD=BC，∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BP⊥CD，
由勾股定理得PB= BC2−PC2= 16−4=2 3；
综上，PB的长为3或 13或2 3．
故答案为：3或 13或2 3．
本题分三种情况：①当点P在AB边上时，②当点P在AD边上时，③当点P在CD边上时，需分别画出图形，再求值．
本题主要考查了学生对于菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识的掌握情况，难度较大，需要认真作答．

18.【答案】y=54x+32 
【解析】解：如下图所示，作直线BM交CD于点M，过点M作MN//y轴，交BC于点N．

设直线BM将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
设直线DC的解析式为y=k1x+b1，代入点D(0,3)，C(3,0)，
得y=−x+3，
设直线BC的解析式为y=k2x+b2，代入点B(−2,−1)，C(3,0)，
得y=15x−35，
设M(m,−m+3)，则n(m,15m−35)，
∵四边形ABCD的面积为S=S△ADC+S△ABC=(4+3)×32+(4+3)×12=14，
∴S△BMC=(−m+3−15m+35)×5÷2=7，
解得m=23，
∴M点坐标为(23,73)，
设BM的解析式为y=kx+b，代入B(−2,−1)和M(23,73)，
−1=−2k+b73=23k+b解得k=54b=32，
∴BM的解析式为y=54x+32．

根据题意画出直线BM，再设解析式，代入点坐标，分别求出DC和BC的解析式，得出△BMC的面积方程，即可求出m的值，再代入B、M点坐标即可求出解析式．
本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出△BMC的面积是解决本题的关键．

19.【答案】解：(1)原式= 8×6+ 3×6−3 2
=4 3+3 2−3 2
=4 3；
(2)当x= 5−1时，
原式=( 5−1)2+5( 5−1)−6
=5−2 5+1+5 5−5−6
=3 5−5． 
【解析】(1)先利用二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可；
(2)把x的值代入代数式值，再利用完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．

20.【答案】.  ． 
【解析】解：(1)该公司在此次调查中关于整体评价的中位数为5+32=4(分)，
(100×5+60×3+40×1)÷200=3.6(分)，
该公司此次调查中关于整体评价的平均数为3.6分；
(2)1−25%−20%−40%=15%，
(60+40)×15%=15(人)，
答：该公司最需要在包装细致方面进行改进的人数为15人；
(3)该公司下一步提升服务质量的工作重心应该放在改善服务态度或提高配送态度(答案不唯一)．
(1)根据加权平均数解答即可；
(2)用样本中不满意所占百分百乘总人数即可；
(3)根据统计图的数据解答即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵在菱形ABCD中，
∴AD//BC且AD=BC，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：设BC=CD=x，则CF=8−x
在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，
∵x2=(8−x)2+42，
∴x=5，
∴CD=5． 
【解析】(1)根据菱形的性质得到AD//BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)设BC=CD=x，则CF=8−x根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

22.【答案】解：(1)如图2，设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+1.5)米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+62=(x+1.5)2，
解得：x=11.25，
故旗杆的高度为11.25米；
(2)由题可知，BD=BC=11.25米，DE=6.75米．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+6.752=11.252，
解得：BE=9，
∴EC=BC−BE=11.25−9=2.25(米)，
∴DF=EC=2.25米．
故绳结离地面2.25米高． 
【解析】(1)由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
(2)由题可知，BD=BC=11.25米，DE=6.75米．在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程BE2+6.752=11.252，求出BE=9，进而求解即可．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．

23.【答案】(1)解：如图，以点A为圆心，AD为半径作弧，交直线DE于点F，连接CF，

(2)证明：由作图可知，MN垂直平分AC，
∴AE=CE，∠AED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴DE//BC，
又∵点E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
由对称可知，DE=EF，
∴DF=BC，
∵DF//BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；
(3)解：当∠B=60°时，四边形BCFD为菱形，理由如下：
∵∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，BC=12AB，
由(2)知，DE为△ABC的中位线，
∴BD=12AB，
∴BD=BC，
∵四边形BCFD为平行四边形，
∴四边形BCFD为菱形． 
【解析】(1)以点A为圆心，AD为半径作弧，交直线DE于点F，连接CF，即可得到图形；
(2)由作图可知，MN垂直平分AC，得到AE=CE，∠AED=90°，由∠AED=∠ACB=90°可判断DE//BC，进而得到DE为△ABC的中位线，由对称可知DE=EF，于是DF=BC，利用“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明四边形BCFD是平行四边形；
(3)当∠B=60°时，易得∠A=30°，利用含30度角的直角三角形性质可得BC=12AB，由DE为△ABC的中位线可得BD=12AB，于是得到BD=BC，利用“邻边相等的四边形为菱形”即可证明四边形BCFD为菱形．
本题主要考查尺规作图−线段垂直平分线，轴对称图形、三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、含30度角的直角三角形性质，解题关键是：(1)熟知轴对称图形的作法；(2)熟知平行四边的判定方法；(3)熟知含30度角的直角三角形性质和菱形的判定方法．

24.【答案】解：(1)设“天宫”模型成本为每个x元，则“火箭”模型成本为每个(x−10)元，
根据题意得：150x−10=250x，
解得x=25，
经检验，x=25是原方程的解，
此时，x−10=15，
答：每个“火箭”模型成本价15元，每个“天宫”模型的成本价25元；
(2)①设购买“天宫”模型m个，则购买“火箭”模型(200−m)个，
则w=(40−25)m+(20−15)(200−m)=10m+1000，
∴w与m的函数关系式为w=10m+1000；
②∵购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的13，
∴m≤13(200−m)，
解得m≤50，
∵w=10m+1000，10>0，m是正整数，
∴当m=50时，w最大，最大值为1500，
答：购买“天宫”模型50个，购买“火箭”模型150个，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1500元． 
【解析】(1)设“天宫”模型成本为每个x元，则“火箭”模型成本为每个(x−10)元，根据花费150元购进火箭模型的数量与花费250元购进天宫模型的数量一样多列出方程，解方程即可；
(2)①设购买“天宫”模型m个，则购买“火箭”模型(200−m)个，根据总利润=两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“天宫”模型的数量不超过“火箭”模型数量的13求出m的取值范围，由函数的性质求最大值．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．

25.【答案】解：(1)设直线l1的函数解析式为y=kx+b，把A(0,2)、B(2,0)代入得：
b=22k+b=0，
解得k=−1b=2，
∴直线l1的函数解析式为y=−x+2，
把C(3,a)代入y=−x+2得：
a=−3+2=−1，
∴C(3,−1)，
设直线l2对应的函数解析式为y=k′x+b′，把C(3,−1)，D(0,−7)代入得：
3k′+b′=−1b′=−7，
解得k′=2b′=−7，
∴直线l2对应的函数解析式为y=2x−7；
(2)当P在直线CD左侧时，如图；

∵A(0,2)，C(3,−1)，D(0,−7)，
∴AD=2−(−7)=9，
∴S△ACD=12AD⋅xC=12×9×3=272，
∵S△PCD=12，
∴S△APD=272−12=32，
∴12×9⋅xP=32，
∴xP=13，
在y=−x+2中，令x=13得y=53，
∴P的坐标为(13,53)；
当P在直线CD右侧时，如图：

同理可得S△APD=S△ACD+S△PCD=272+12=512，
∴12×9⋅xP=512，
∴xP=173，
在y=−x+2中，令x=173得y=−113，
∴P的坐标为(173,−113)；
综上所述，P的坐标为(13,53)或(173,−113)；
(3)设M(0,m)，N(n,2n−7)，
又A(0,2)、B(2,0)，
①若MN，AB为对角线，则MN，AB的中点重合，
∴n=2m+2n−7=2，
解得m=5n=2，
∴M(0,5)；
②若MA，NB为对角线，则MA，NB的中点重合，
∴n+2=0m+2=2n−7，
解得m=−13n=−2，
∴M(0,−13)；
③若MB，NA为对角线，则MB，NA的中点重合，
∴2=nm=2n−7+2，
解得m=−1n=2，
∴M(0,−1)；
综上所述，M的坐标为(0,5)或(0,−13)或(0,−1)． 
【解析】(1)用待定系数法可得直线l1的函数解析式为y=−x+2，即可求出C(3,−1)，再用待定系数法得直线l2对应的函数解析式为y=2x−7；
(2)分两种情况：当P在直线CD左侧时，由A(0,2)，C(3,−1)，D(0,−7)，知S△ACD=12AD⋅xC=12×9×3=272，故S△APD=272−12=32，可列方程得xP=13，故P的坐标为(13,53)；当P在直线CD右侧时，同理可得S△APD=S△ACD+S△PCD=272+12=512，可得xP=173，P的坐标为(173,−113)；
(3)设M(0,m)，N(n,2n−7)，分三种情况：①若MN，AB为对角线，则MN，AB的中点重合，n=2m+2n−7=2，②若MA，NB为对角线，则MA，NB的中点重合，n+2=0m+2=2n−7，③若MB，NA为对角线，则MB，NA的中点重合，2=nm=2n−7+2，分别解方程组可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．