2023年广东省江门市蓬江区广德实验学校中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省江门市蓬江区广德实验学校中考数学三模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省江门市蓬江区广德实验学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的相反数是(    )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
2. 下列算式中，计算结果是负数的是(    )
A. −1+1 B. |−1| C. (−1)2 D. −1×2
3. 在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是(    )
A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 3，3，6 D. 3，4，5
4. 如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，与∠2构成内错角的是(    )

A. ∠5 B. ∠4 C. ∠3 D. ∠1
5. 将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是(    )
A. 58
B. 38
C. 15
D. 12


6. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(    )
A. 24
B. 14
C. 12
D. 6
7. 若点A(n,n+2)在x轴上，则n的值为(    )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
8. 如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=120°，则∠D的度数为(    )
A. 120°
B. 60°
C. 30°
D. 150°
9. 如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AB自由转动至AB′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为(    )
A. ∠BAC的度数
B. AB的长度
C. BC的长度
D. △ABC的面积
10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880,0.25)，根据图象可知，下列说法错误的个数有(    )
①I与R的函数关系式是I=200R(R>0)；
②当Ⅰ<0.25时，R<880；
③当R>1000时，I>0.22；
④当880
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 3sin60°=______．
12. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的面积是______ ．


13. 如果x1，x2是方程x2−6x+5=0的两根，则x1+x2= ______ ．
14. 一个底面是正方形的长方体，高为6，底面正方形边长为10.如果它的高不变，底面正方形边长增加a，那么它的体积增加______．
15. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：3x−4>115(x+1)>4x．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2x+2x2−1+1)÷x+1x2−2x+1，其中x=4．
18. (本小题8.0分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF.求证：AD平分∠BAC．


19. (本小题9.0分)
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．

20. (本小题9.0分)
为庆祝十四届全国人大一次会议胜利召开，某学校组织了一次知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩(总分100分)均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了不完整的统计表.请你根据统计表，解答下列问题：
学校若干名学生成绩分布统计表：
分数段(成绩为x分)
频数
频率
50≤x<60
16
0.08
60≤x<70
a
0.31
70≤x<80
72
0.36
80≤x<90
b
c
90≤x≤100
12
d
(1)此次抽样调查的样本容量是______ ；
(2)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(3)比赛按照分数由高到低共设置一、二、三等奖，如果有25%的参赛学生能获得一等奖，那么一等奖的分数线是多少？
21. (本小题9.0分)
如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．
(1)轮船的速度是______ 千米/时，快艇的速度是______ 千米/时；
(2)分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
(3)快艇出发多长时间赶上轮船？


22. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E．
(1)若∠BAC=40°，则∠ADC=______°；∠DAC=______°
(2)求证：∠BAC=2∠DAC；
(3)若AB=10，CD=5，求BC的值．

23. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1,0)，C(0,−2)，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，直接写出点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−3的相反数是−(−3)=3．
故选：B．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2.【答案】D 
【解析】解：−1+1=0，它不是负数，则A不符合题意；
|−1|=1，它是正数，则B不符合题意；
(−1)2=1，它是正数，则C不符合题意；
−1×2=−2，它是负数，则D符合题意；
故选：D．
将各项计算后进行判断即可．
本题考查有理数的计算和正数及负数的定义，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3<6，不能组成三角形，故此选不项符合题意；
C、3+3=6，不能组成三角形，故此选不项符合题意；
D、4+3>5，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据三角形的三边关系进行判断，两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．

4.【答案】D 
【解析】解：根据内错角的定义，与∠2构成内错角的是∠1．
故选：D．
根据内错角的定义(在被截线之间，截线两侧的两个角互为内错角)解决此题．
本题主要考查内错角，熟练掌握内错角的定义是解决本题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：圆形靶子被分成8个面积相等的区域，其中阴影部分区域为5个，
故飞镖落在阴影部分的概率是58．
故选：A．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．

6.【答案】C 
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD=12AB，AE=12AC，
∴DE=12BC，
∵△ADE的周长=6，
∴AD+AE+DE=6，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2(AD+AE+DE)=12，
故选：C．
根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到AD=12AB，AE=12AC，DE=12BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵点A(n,n+2)在x轴上，
∴n+2=0，
解得n=−2．
故选：A．
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出n的值即可．
本题考查了平面直角坐标系坐标轴上点的坐标特征．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．

8.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=120°，
∴∠A=60°，
∴∠D=180°−∠A=120°．
故选：A．
根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

9.【答案】B 
【解析】解：木条AB绕点A自由转动至AB′过程中，AB的长度始终不变，
故AB的长度是常量；
而∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化，均是变量．
故选：B．
根据常量和变量的定义进行判断．
本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：由图象可知：I与R成反比例函数，
∵当R=880时，I=0.25，
∴IR=880×0.25=220，
即I与R的函数关系式是I=220R(R>0)，故①错误，符合题意；
当Ⅰ<0.25时，R>880，故②错误，符合题意；
当R>1000时，I<2201000，即I<0.22，故③错误，符合题意；
当880 故选：C．
根据函数图象和图象中的数据，可以写出该函数的解析式，从而可以判断①；再根据图象，可知Ⅰ<0.25时，R>880，从而可以判断②；根据图象中的数据可以判断③和④即可．
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】32 
【解析】解：原式= 3× 32=32，
故答案为：32．
直接代入sin60°= 32，然后计算即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．

12.【答案】24 
【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S=12×8×6=24．
故答案为：24．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．

13.【答案】6 
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−6x+5=0的两根，
∴x1+x2=6，
故答案为：6．
利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是理解并掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与系数的关系，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

14.【答案】6a2+120a 
【解析】解：高为6，底面正方形边长为10长方体的体积为，102×6=600，
高不变，底面正方形边长增加a后长方体的体积为，(10+a)2×6=6a2+120a+600，
则它的体积增加(6a2+120a+600)−600=6a2+120a．
故答案为：6a2+120a．
根据完全平方公式的几何背景计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．

15.【答案】65 
【解析】解：∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠EAF=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵12AP·BC=12AB·AC，
∴AP·BC=AB·AC．
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=125，
∴AM=65；
故答案为：65．
先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．

16.【答案】解：由3x−4>11得：x>5，
由5(x+1)>4x得：x>−5，
∴不等式组的解集为x>5． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】解：原式=(2x+2x2−1+x2−1x2−1)·(x−1)2x+1
=x2+2x+1x2−1·(x−1)2x+1
=(x+1)2(x+1)(x−1)·(x−1)2x+1
=x−1，
当x=4时，原式=4−1=3． 
【解析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．

18.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC． 
【解析】此题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质，属于基础题．
由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，则可得DE=DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．

19.【答案】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(x+40)元，
依题意，得：3200x=2×2400x+40，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．
答：每套《三国演义》的价格为80元． 
【解析】设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(x+40)元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

20.【答案】200  62  38 
【解析】解：(1)此次抽样调查的样本容量是16÷0.08=200，
故答案为：200；
(2)a=200×0.31=62，
b=200−16−62−72−12=38，
故答案为：62，38；
(3)d=12÷200=0.06，
c=38÷200=0.19，
∵c+d=0.06+0.19=0.25=25%，
∴一等奖的分数线是80．
(1)根据50≤x<60这一组的频数和频率可以求得此次抽样调查的样本容量；
(2)根据统计图中的数据可以求得a、b、c的值；
(3)根据表格中的数据可以求得一等奖的分数线．
本题考查样本容量、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，求出此次抽样调查的样本容量．

21.【答案】20  40 
【解析】解：(1)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米．快艇在4小时内行驶了160千米．
故轮船在途中的行驶速度为160÷8=20(千米/时)
快艇在途中行驶的速度为160÷4=40(千米/时)；
故答案为：20，40；
(2)设表示轮船行驶过程的函数式为y=kx.由图象知：
当x=8时，y=160．
∴8k=160，解得：k=20
∴表示轮船行驶过程的函数式为y=20x．
设表示快艇行驶过程的函数解析式为y=ax+b．
由图象知：当x=2时，y=0；当x=6时，y=160
∴2a+b=06a+b=160，
解得a=40b=−80，
因此表示快艇行驶过程的函数解析式为y=40x−80；
(3)设轮船出发x小时后快艇追上轮船．
20x=40x−80，
x=4，
则x−2=2．
答：快艇出发2小时后赶上轮船．
(1)可根据轮船与快艇到乙港时用的时间和走的路程，根据速度=路程÷时间，求出速度是多少．
(2)可根据图中给出的信息，用待定系数法分别求出轮船与快艇的函数关系式．
(3)当快艇追上轮船时两者走的路程相同，根据(1)求出的函数式，让两者的路程相等，即可得出时间的值．
本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，本题中读懂图象是解题的关键．

22.【答案】解：(1)110；20；
(2)证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠ACB=90°−∠CBD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=90°−∠CBD，
∴∠BAC=180°−2∠ABC=2∠CBD，
∵∠DAC=∠CBD，
∴∠BAC=2∠DAC；
(3)过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH=12∠CAB，CH=BH，
∵∠BAC=2∠DAC，
∴∠CAG=∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G=∠AHC=90°，
∵AC=AC，
∴△AGC≌△AHC(AAS)，
∴AG=AH，CG=CH，
∵∠CDG=∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴CGAH=CDAB=510=12，
∴BHAH=12，
设BH=k，AH=2k，
∴AB= BH2+AH2= 5k=10，
∴k=2 5，
∴BC=2k=4 5． 
【解析】
【分析】
本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
(1)利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质写出答案即可；
(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
(3)过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH=∠CAH=12∠CAB，CH=BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG=AH，CG=CH，根据相似三角形的性质得到BHAH=12，设BH=k，AH=2k，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：(1)∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−70°=110°；
∵AC⊥BD，
∴∠CBD=90°−∠ACB=20°，
∴∠DAC=∠DBC=20°；
故答案为：110，20；
(2)见答案；
(3)见答案．  
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+32x+c经过A(1,0)，C(0,−2)两点，
∴a+32+c=0c=−2，
解得：a=12c=−2，
∴抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则k+b=0b=−2，
解得：k=2b=−2，
∴直线AC的表达式为y=2x−2；
(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，
∴点B坐标为(−4,0)．
∵OA=1，OC=2，
∴OAOC=OCOB．
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠ACO+∠BCO=∠OBC+∠BCO=90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．
又∵∠ACO=∠DCE，
∴△ACO≌△DCE(AAS)．
∴DE=AO=1，则点D横坐标为−1，
∵抛物线的对称轴为直线x=−32．
故点D不在抛物线的对称轴上．
(3)当点P在x轴下方时，如图2，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CP//AB，
∴点P的纵坐标为−2，
令y=−2，得12x2+32x−2=−2，
解得：x=0(舍去)或x=−3，
∴P1(−3,−2)；
当点P在x轴上方时，如图2，设CP交x轴于点G，设G(t,0)，
则OG=−t，BG=t+4，
由勾股定理得：CG2=OG2+OC2=t2+4，
∵∠PCB=∠ABC，
∴BG=CG，即(t+4)2=t2+4，
解得：t=−32，
∴G(−32,0)，
设直线CG的解析式为y=mx+n，
则−32m+n=0n=−2，
解得：m=−43n=−2，
∴直线CG的解析式为y=−43x−2，
联立方程组得y=−43x−2y=12x2+32x−2，
解得：x1=0y1=−2，x2=−173y2=509，
∴P2(−173,509)，
综上所述，点P的坐标为(−3,−2)或(−173,509). 
【解析】(1)利用待定系数法可求得函数的表达式；
(2)抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，点B坐标为(−4,0).可证明△AOC∽△COB.继而可证AC⊥BC，则将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，可证△ACO≌△DCE，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练运用待定系数法求函数解析式，通过联立成方程组求交点坐标是解题关键．