2023年河南省周口市商水县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年河南省周口市商水县中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省周口市商水县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是(    )
A. 2 B. −2 C. −12 D. 12
2. 郑州是我国重要的交通枢组，也是“国家中心城市”之一.将“国家中心城市”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是(    )
A. “国” B. “心” C. “城” D. “市”
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O.若∠COE=35°，则∠AOD的度数为(    )
A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 135°
4. 某公司设计的麒麟9006C芯片采用5nm制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低.已知1nm=0.000000001m，则5nm用科学记数法可表示为(    )
A. 0.5×10−8m B. 5×10−9m C. 5×10−10m D. 5×10−8m
5. 下列运算正确的是(    )
A. 8− 3= 5 B. (x−y)2=x2−y2
C. (−x3)2=x5 D. 2a3b÷b=2a3
6. 一元二次方程2x2+2x+3=0的根的情况是(    )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 无实数根
7. 某社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，当x变化时，下列关于年龄的统计量保持不变的是(    )
社团成员年龄分布统计表
年龄/岁
13
14
15
16
17
频数/名
5
12
x
11−x
2

A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，则点P到边BC的距离为(    )


A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 无法确定
9. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转90°，那么经过2023次旋转后，顶点D的坐标为(    )
A. (− 3,32)
B. (−32,− 3)
C. ( 3,−32)
D. ( 32,−32)
10. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=5，c=2，则此三角形面积的最大值为(    )
A. 3 B. 152 C. 15 D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写出一个经过点(−1,1)的函数表达式______．
12. 不等式组1<3x−7<8的所有整数解的和为______ ．
13. 某班有两名男生和两名女生报名参加知识竞赛，班主任计划从这四名学生中随机抽选两名学生进行测试，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______ ．
14. 如图，在正方形ABCD中，AB=2 2，以点B为圆心，BA的长为半径在正方形内部作AC，E为AC上一点，连接BE，以点E为圆心，BA的长为半径画弧，交AC于点F，作FG⊥BE于点G，则图中阴影部分的面积为______ ．


15. 如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC的长为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)计算： 9−( 3−3)0+(−12)−1；
(2)化简：(a+1−4aa+2)÷a−1a+2．
17. (本小题9.0分)
某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”“摄影”“航模”“围棋”四个课外兴趣小组，受师资、场地等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)，请你根据给出的信息解答下列问题：

(1)求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)；
(2)求扇形统计图中，“摄影”对应的扇形的圆心角的度数；
(3)若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
18. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与反比例函数y=kx的图象交于点A(1,m)，B(m2−3,−2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．

19. (本小题9.0分)
如图1是郑州市北龙湖的“鼎桥”示意图，“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化.某校数学社团使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”AB的高度.如图2，他们在点M处架设测角仪测得“鼎桥”最高点A的仰角为22°，然后沿MB方向前进153m到达点N处，又测得最高点A的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点M，N与大桥AB的底部B在同一水平线上，求“鼎桥”AB的高度.(结果精确到小数点后一位.参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 2≈1.41)

20. (本小题9.0分)
某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，据统计，该村农户老王近五年的年度纯收入如表．
老王近五年的年度纯收入统计表
年度/年
2018
2019
2020
2021
2022
年度纯收入/万元
2.5
4.5
7.5
11.5
16.5
若记2018年度为第1年，在平面直角坐标系中分别用点A(1,2.5)，B(2,4.5)，C(3,7.5)，D(4,11.5)，E(5,16.5)表示农户老王近五年的年度纯收入的变化情况，如图所示．
拟用下列三个函数模拟农户老王从2018年开始的年度纯收入变化趋势：
①y=mx(m>0)，
②y=kx+b(k>0)，
③y=ax2+0.5x+c(a>0)，
以便估算农户老王2023年度的纯收入．
(1)你认为选用函数______ (填序号)模拟最合理(不必说明理由)，并求出相应的函数表达式；
(2)农户老王准备在2023年底购买一台价值22万元的农机设备，根据(1)中你选择的函数表达式，预测农户老王2023年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．

21. (本小题9.0分)
如图1，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆O于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点H．

(1)求证：DH⊥AC；
(2)请用无刻度的直尺和圆规在备用图(图2)中作出AC的中点M(不写作法，保留作图痕迹)．
22. (本小题11.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，P是函数y=x(1 (1)求证：AP=PQ；
(2)设点P的横坐标为x，点Q的纵坐标为y，求y与x的函数表达式；
(3)记△AOQ的面积为S1，四边形AOQP的面积为S2，当点Q的纵坐标不超过点P的横坐标的23时，求S=S1+ S2的最大值．

23. (本小题11.0分)
【综合与实践】
综合与实践课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
【问题情境】
在平行四边形ABCD中，∠A为锐角，AB 【操作判断】
(1)如图1，若点A′与点B重合，点C′与点D重合，则四边形A′HC′G ______ 平行四边形(填“是”或“不是”)．
【迁移探究】
(2)如图2，点A′，C′均落在平行四边形ABCD的内部，连接A′H，C′G，若AG=CH，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请就图2进行证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，若∠A=60°，AD=2AB=4，当A′G与平行四边形ABCD的一边平行时，直接写出四边形A′HC′G的面积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【解答】
解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故选：A．  
2.【答案】D 
【解析】解：在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是“市”．
故选：D．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=90°−35°=55°，
∴∠AOD=180°−55°=125°，
故选：C．
由EO⊥AB可确定∠AOE的度数，由∠EOC=35°可确定∠AOE的度数，再由补角的概念可确定∠AOD的度数．
本题主要考查垂直的概念和补角的概念，关键是要知道垂直的概念和补角的定义．

4.【答案】B 
【解析】解：∵1nm=0.000000001m，
∴5nm=0.000000005m=5×10−9m.
故选：B．
首先根据1nm=0.000000001m，把5nm表示成以m为单位的量，然后根据用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，把5nm用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：A． 8=2 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意；
B.(x−y)2=x2−2xy+y2，故此选项不合题意；
C.(−x3)2=x6，故此选项不合题意；
D.2a3b÷b=2a3，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用积的乘方以及整式的除法运算、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方以及整式的除法运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵2x2+2x+3=0，
∴Δ=b2−4ac=22−4×2×3=4−24=−20<0，
∴原方程无实数根，
故选：D．
计算一元二次方程根的判别式即可求解．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．

7.【答案】C 
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+11−x=11，14岁人数有12人，
故该组数据的众数为12，
中位数为：(14+14)÷2=14．
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：C．
由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为11，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15，16个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查众数和中位数，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：作PF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，
∴DC=AB=3，DC//AB，∠PFB=∠C=90°，
∵E为CD的中点，
∴ED=EC=12CD=12AB，
∵ED//AB，
∴△PED∽△PAB，
∴DPBP=EDAB=12，
∴BPBD=23，
∵PF//DC，
∴△BFP∽△BCD，
∴PFDC=BPBD=23，
∴PF=23DC=23×3=2，
∴点P到BC的距离是2，
故选：B．
作PF⊥BC于点F，由矩形的性质得DC=AB=3，DC//AB，∠PFB=∠C=90°，则ED=EC=12CD=12AB，可证明△PED∽△PAB，得DPBP=EDAB=12，再证明△BFP∽△BCD，则PFDC=BPBD=23，所以PF=23DC=2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，AB=AF=1，AD=2，∠ABD=90°，∠FAB=120°，
∴BD= AD2−AB2= 3，∠OAF=60°，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=12AF=12，
∴OB+OA+AB=32，
∴点D的坐标为(32, 3)，
将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2023÷4=505…3，
∴经过2023次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转后得到的D3的坐标相同，
∵点D与点D3关于原点对称，
∴点D3的坐标为(−32,− 3)，
∴经过2023次旋转后，顶点D的坐标为(−32,− 3)，
故选：B．
根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023次后顶点D的坐标即可．
本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵p=a+b+c2，p=5，c=2，
∴5=a+b+22，
∴a+b=8，
∴a=8−b，
∴S= p(p−a)(p−b)(p−c)
= 5(5−a)(5−b)(5−2)
= 15(5−a)(5−b)
= 15(ab−15)
= 15(8−b)b−225
= −15b2+120b−225
= −15(b−4)2+15
当b=4时，S有最大值为 15．
故选：C．
根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．

11.【答案】y=−x2(答案不唯一) 
【解析】解：依题意有y=−x2等，答案不唯一．
故答案为：y=−x2(答案不唯一)．
根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系可知，只要二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，满足a+b+c=−1的关系即可．
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．当一个点在二次函数图象上时它必满足二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)．

12.【答案】7 
【解析】解：由1<3x−7<8，可得83 ∴不等式组1<3x−7<8的所有整数解为3，4，
∵3+4=7，
∴不等式组1<3x−7<8的所有整数解的和为7，
故答案为：7．
先解出不等式组的解集，然后写出不等式组的整数解，再求出这些整数解的和即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

13.【答案】23 
【解析】解：画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为8个，
∴P(恰好选中一名男生和一名女生)=812=23．
故答案为：23．
用列表法和树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好选中一名男生和一名女生的可能结果数，再用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．

14.【答案】43π− 3 
【解析】解：如图，连接BF，EF，

由题意可得BE=BF=EF=2 2，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EBF=60°，
∵FG⊥BE，
∴∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°−60°=30°，
∴BG=12BF= 2，FG= BF2−BG2= 8−2= 6，
那么S阴影=S扇形EBF−S△BGF
=60π×(2 2)2360−12× 2× 6
=43π− 3，
故答案为：43π− 3．
连接BF，EF，易证得△BEF为等边三角形，则∠EBF=60°，然后利用直角三角形性质及勾股定理分别求得BG，FG的长度，再利用扇形面积公式及三角形面积公式，将扇形EBF与△BGF的面积作差即可．
本题主要考查扇形的面积及直角三角形的性质，结合已知条件，连接BF，EF，构造扇形及直角三角形是解题的关键．

15.【答案】 3−1或 3+1 
【解析】解：∵△ADE绕点A自由旋转，
∴有以下两种情况：
①当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：

由旋转的性质得：∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，
∴AD=AE=1，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEC=90°，
∴四边形AEPD为矩形，
又AD=AE=1，
∴矩形AEPD为正方形，
∴PE=AE=1，
在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∠AEC=90°，
由勾股定理得：CE= AC2−AE2= 3，
∴PC=CE−PE= 3−1；
②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：

同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，四边形AEPD为正方形，
∴BD=CE，PE=AE=1，
在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，
由勾股定理的：BD= AB2−AD2= 3，
∴CE=BD= 3，
∴PC=CE+PE= 3+1．
综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为 3−1或 3+1．
答案为： 3−1或 3+1．
由△ADE绕点A自由旋转可知有以下两种情况：
①当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，先证△ABD和△ACE全等，进而可证四边形AEPD为正方形，然后求出PE=1，CE= 3，进而可得PC的长；
②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，同理①证△ABD和△ACE全等，四边形AEPD为正方形，进而得PE=1，CE= 3，据此可求出PC的长，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错点之一．

16.【答案】解：(1) 9−( 3−3)0+(−12)−1
=3−1+(−2)
=0；
(2)(a+1−4aa+2)÷a−1a+2
=a(a+2)+1−4aa+2⋅a+2a−1
=a2+2a+1−4aa−1
=(a−1)2a−1
=a−1． 
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17.【答案】解：(1)参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150(人)，
航模的人数为：150−(30+54+24)=42(人)，
补全图形如下：


(2)根据题条件有：
m%=54150×100%=36%，n%=24150×100%=16%，
360°×16%=57.6°；
即m=36、n=16，
根据扇形统计图的知识可知：
“摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°，
即：360×36%=129.6°；
(3)∵在抽样中，围棋人数占比为16%，
∴估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生为：120×16%=192(人)，
即估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数为192人． 
【解析】(1)根据参加书法的人数和所占百分比即可求得参加此次问卷调查的总人数，然后根据条形统计图中的数据即可求出参加航模兴趣小组的人数，问题得解；
(2)摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°，据此可得解；
(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“围棋”课外兴小组的学生人数．
本题考查条形统计图、房形统计图、用样本估算总体等知识，明确题意，数形结合是解答本题的关键．

18.【答案】解：(1)∵将A、B坐标代入反比例函数y=kx，得：
m=k−2=km2−3，
解得：k=3m=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x；
(2)由(1)得：A点坐标为(1,3)，B点坐标为(−32,−2)，
设直线AB解析式为：y=kx+b，
∴3=k+b−2=−32k+b，
解得：k=2b=1，
∴直线AB解析式为：y=2x+1，
设一次函数与x轴的交点为D，
令y=0，0=2x+1，
解得x=−12，
∴点D的坐标为：(−12,0)，
∴OD=12，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=12×12×3+12×12×2=54． 
【解析】(1)将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得m的值，即可得反比例函数解析式；
(2)用待定系数法求AB的解析式，设一次函数与x轴的交点为D，求得D点坐标，利用△AOB的面积=△AOD的面积+△BOD的面积，计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类问题中，三角形面积的问题时，尽可能选择与坐标轴平行的边为底边，有利于问题的解决．

19.【答案】解：延长DE交AB于点F，

由题意得，MN=CD=153m，CM=DN=BF=1.5m，
设AF=x m，
在Rt△ADF中，∠ADF=45°，
∴AF=DF=x m，
∴CF=CD+DF=(x+153)m，
在Rt△ACF中，tan22°=AFCF=xx+153≈0.40，
解得x≈102，
∴AB=AF+BF≈103.5m．
∴“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB约为103.5m． 
【解析】延长DE交AB于点F，设AF=x m，在Rt△ADF中，∠ADF=45°，可得AF=DF=xm，则CF=CD+DF=(x+153)m，在Rt△ACF中，tan22°=AFCF=xx+153≈0.40，求出x的值，结合AB=AF+BF可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

20.【答案】③ 
【解析】解：(1)应选用函数③．
理由如下：∵1×2.5=2.5，2×4.5=9，2.5≠9，∴不能选用函数y=mx(m>0)进行模拟．
由A(1,2.5)，B(2,4.5)，C(3,7.5)，D(4,11.5)，E(5,16.5)可知，x每增大1个单位，y的变化不均匀，∴不能选用函数y=kx+b(k>0)模拟，
∴只能选用函数③模拟．
把A(1,2.5)，B(2,4.5)代入y=ax2+0.5x+c(a>0)得，
a+0.5+c=2.54a+1+c=4.5，解得：a=0.5c=1.5，
∴y=0.5x2+0.5x+1.5．
经检验，点C(3,7.5)，D(4,11.5)，E(5,16.5)也满足上述关系式，
故答案为：③；函数表达式为：y=0.5x2+0.5x+1.5．

(2)由(1)得，y=0.5x2+0.5x+1.5，
当x=6时，y=0.5×36+0.5×6+1.5=22.5，
∵22.5>22，
∴农户老王2023年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
(1)由数据的变化可以直接判断不能用①②进行模拟，因此用函数③最合适，再把前两个点A(1,2.5)，B(2,4.5)代入函数③，可求得函数表达式；
(2)根据(1)的函数关系时，可计算出2023年即第6年度的纯收入y，做比较可得结论．
本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数的图象特征，以及待定系数法求二次函数的解析式问题．熟练判断出图象符合的函数种类，并能将函数与实际结合应用是本题的关键．

21.【答案】(1)证明：连接OD，则OD⊥DH，
∴∠ODH=90°，

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∴∠AHD+∠ODH=90°，
∴∠AHD=90°，
∴DH⊥AC；
(2)解：如图2，点M即为所求． 
【解析】(1)根据“根据两直线平行，同旁内角互补“进行证明；
(2)根据垂径定理进行作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质和垂径定理是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：过点P作PB⊥x轴于点B，作PC⊥y轴于点C，
∵点P在函数y=x(1 ∴PB=PC，
∵PB⊥x轴，PC⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠COB=∠OBP=∠PCO=90°，
∴四边形OBPC是矩形，
∴∠BPC=90°，
∴∠CPQ+∠BPQ=90°，
∵PQ⊥AP，
∴∠BPA+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BPA，
又∵∠PCQ=∠OBP=∠PBA=90°，PC=PB，
∴△PCQ≌△PBA(ASA)，
∴PA=PQ；
(2)解：∵点P的横坐标为x，
∴OB=x，
∵点A的坐标是(2,0)，
∴OA=2，
∴AB=OA−OB=2−x，
由(1)知△PCQ≌△PBA，
∴QC=AB=2−x，
由(1)知四边形OBPC是矩形，且PB=PC，
∴四边形OBPC是正方形，
∴OC=OB=x，
∴OQ=OC−QC=x−(2−x)=2x−2
∵点Q的纵坐标为y，
∴y=2x−2；
(3)解：由(1)、(2)知，
S1=12⋅OA⋅OQ=12×2(2x−2)=2x−2，
∵△PCQ≌△PBA，
∴S△PCQ=S△PBA，
∴S2=S正方形OBPC=x2，
∵x>0，
∴ S2= x2=x，
∵S=S1+ S2，
∴S=2x−2+x=3x−2，
根据题意得：y≤23x，
即2x−2≤23x，
解得：x≤32，
∵3>0，
∴S随x的增大而增大，
当x=32时，S有最大值，为52． 
【解析】(1)过点P作PB⊥x轴于点B，作PC⊥y轴于点C，根据点P在直线y=x上可得PB=PC，再证得∠BPC=90°，结合PQ⊥AP可证得∠CPQ=∠BPA，然后利用ASA证得△PCQ与△PBA全等，从而得到PA=PQ；
(2)先证得四边形OBPC是正方形得到OC=x，由(1)得到QC=AB=2−x，从而得到y与x之间的函数解析式；
(3)先根据直角三角形的面积公式计算S1，再证得S2=S正方形OBPC，从而求出S，再根据题意得到x的取值范围，即可求出S的最大值．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质等知识，综合性较强，难度有点大，需认真思考．

23.【答案】是 
【解析】解：(1)是；理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC，∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=CF，
由翻折的性质得：AB⊥GE，CD⊥HF，
∴∠AEG=∠CFH=90°，
在△AEG和△CFH中，
∠AEG=∠CFH=90°AE=CF∠A=∠C，
∴△AEG≌△CFH(ASA)，
∴AG=CH，
又AD=BC，
∴AD−AG=BC−CH，即：GD=HB，
∵AB//CD，
∴四边形BHDG是平行四边形，
即：四边形A′HC′G是平行四边形．
(2)(1)中的结论然然成立，证明如下：
由折叠的性质得：△AEG≌△A′EG，△CFH≌C′FH，
在△AEG和△CFH中，
AE=CF∠A=∠CAG=CH，
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴△AEG≌△A′EG≌△CFH≌C′FH，
∴A′G=C′H，A′E=C′F，∠AEA′=∠CFC′，
∴∠BEA′=∠DFC′，
连接A′B，C′D，

∵AB=CD，点E，F为AB，CD的中点，
∴BE=DF，
在△A′BE和△C′DF中，
BE=DF∠BEA′=∠DFC′A′E=C′F，
∴△A′BE≌△C′DF(SAS)，
∴A′B=C′D，∠A′BE=∠C′DF，
∵∠ABC=∠CDA，
∴A′BH=∠C′DG，
∵AD=BC，AG=CH，
∴HB=GD，
在△A′BH和△C′DG中，
A′B=C′D∠A′BH=∠C′DGHB=GD，
∴△A′BH≌△C′DG(ASA)，
∴A′H=C′G，
又A′G=C′H，
∴四边形A′HC′G是平行四边形，
即(1)中的结论仍然成立．
(3)四边形A′HC′G的面积为 3或 32．
理由如下：
由(2)可知：四边形A′HC′G为平行四边形，
当A′G与平行四边形ABCD的一边平行时，有以下两种情况：
①当A′G//AB时，
由折叠的性质得：AA′为EG的垂直平分线，AG=A′G，AE=A′E，
∵AA′为EG的垂直平分线，
∴AE=AG，
∴AG=A′G=AE=A′E，
∴四边形AGA′E为菱形，
∵AB=2，AD=BC=4，点E为AB的中点，
∴AG=A′G=AE=A′E=1，
延长GA′交BC于点K，过H作KH⊥GK交GK的延长线于点K

∵GK//AB，A′E//AG//BK，A′E=EB=1，
∴四边形A′EBK为菱形，
∴BK=1，
∵AG=CH=1，
∴HK=2，
∵∠BAD=60°，
∴∠BKG=∠TKH=∠BAD=60°，
在Rt△HKT中，∠TKH=60°，HK=2，
∴HT=HK⋅cos∠TKH=2⋅cos60°= 3，
∴S四边形A′HC′G=AG⋅HT=1× 3= 3；
②当A′G//BC时，
∵AD//BC，
∴点A′在AD上，
由折叠的性质得：AG=A′G，∠AGE=∠A′GE=90°，
在Rt△AEG中，∠A=60°，AE=1，
∴AG=AE⋅cos∠A=1×cos60°=0.5，
∴A′G=AG=0.5，
过点A作BC的垂线交CB的延长线于M，

∴∠ABM=∠A=60°，
在Rt△ABM中，∠ABM=60°，AB=2，
∴AM=AB⋅sin∠ABM=2×sin60°= 3，
∴S四边形A′HC′G=A′G⋅AM=0.5× 3= 32．
(1)先证△AEG和△CFH全等得AG=CH，进而得GD=HB，据此可判定四边形BHDG是平行四边形，继而可得出结论；
(2)先证△AEG和△CFH全等，再根据折叠性质得△AEG≌△A′EG≌△CFH≌C′FH，据此得A′G=C′H，A′E=C′F，∠AEA′=∠CFC′，连接A′B，C′D，证△A′BE和△C′DF全等得A′B=C′D，∠A′BE=∠C′DF，再证△A′BH和△C′DG全等得A′H=C′G，据此可得出结论；
(3)当A′G与平行四边形ABCD的一边平行时，有以下两种情况：
①当A′G//AB时，先证四边形AGA′E为菱形得AG=A′G=AE=A′E=1，延长GA′交BC于点K，过H作KH⊥GK交GK的延长线于点K，先求出HK=2，∠TKH=60°，在Rt△HKT中利用三角函数可求出HT= 3，进而可求得四边形A′HC′G的面积；
②当A′G//BC时，则点A′在AD上，由折叠的性质得AG=A′G，∠AGE=∠A′GE=90°，在Rt△AEG中利用三角函数可求出A′G=AG=0.5，再过点A作BC的垂线交CB的延长线于M，在Rt△ABM中利用三角函数可求出AM= 3，据此可求出四边形A′HC′G的面积．
此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的全等的判定方法，难点是解答(3)需要进行分类讨论，漏解是解答此题的易错点之一．