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2023年辽宁省沈阳126中中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年辽宁省沈阳126中中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省沈阳126中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数是无理数的是( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 17
2. 如图是某工厂要设计生产一类由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. “辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，它的满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为( )
A. 675×102 B. 67.5×102 C. 6.75×104 D. 6.75×105
4. 下列事件中是必然发生的事件是( )
A. 打开电视机，正播放新闻
B. 通过长期努力学习，你会成为数学家
C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D. 某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天
5. 下列运算正确的是( )
A. m6÷m2=m3 B. (x+1)2=x2+1
C. (3m2)3=9m6 D. 2a3⋅a4=2a7
6. 方程(x−2)(x+3)=0的解是( )
A. x=2 B. x=−3
C. x1=2，x2=3 D. x1=2，x2=−3
7. 如图，点A在双曲线y=kx上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k的值为( )
A. 2
B. 4
C. −2
D. −4
8. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如表：则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是( )
每天使用零花钱(单位：元)
1
2
3
4
5
人数
1
3
6
5
5
A. 3，3 B. 3，3.5 C. 3.5，3.5 D. 3.5，3
9. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为( )
A. 32
B. 34
C. 45
D. 35
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,1)和点(3,0).下列关于这个二次函数的描述，正确的是( )
A. y的最大值大于1
B. 当x=0时，y的值大于0
C. 当x=2时，y的值等于1
D. 当x>3时，y的值大于0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2x2−8x+8= ．
12. 计算：(1−1a)⋅aa2−1=______
13. 某种商品进价为a元/件，在销售旺季，商品售价较进价高30%；销售旺季过后，商品又以7折(即原售价的70%)的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为______元．
14. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(−3,0)，B(−4,3)，△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为______ ．
16. 如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，边长分别为12和8，点D在直线AB上运动，C、E在直线AB上方，分别连接AE，CD，它们相交于点F，连接BF，则BF的长______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−12)2⋅(π−3)0+| 3−2|+2sin60°．
18. (本小题8.0分)
“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程(依次记为A，B，C，D).若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程．
(1)小慧选择科普活动课程的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率．
19. (本小题8.0分)
如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE//BD，连接DE．
求证：四边形BCED是菱形．
20. (本小题8.0分)
某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据统计图的信息解决下列问题：
(1)本次调查的学生有多少人？
(2)补全上面的条形统计图；
(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是______；
(4)若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？
21. (本小题8.0分)
2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
22. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=6，∠BAC=30°，求阴影部分的面积．
23. (本小题10.0分)
如图，已知直线l1经过点(5,6)，交x轴于点A(−3,0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．
(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
24. (本小题12.0分)
在▱ABCD中，∠C=45°，AD=BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+ 2DP=DE；
(3)点P在射线CD上运动，若AD=3 2，AP=5，请直接写出线段BE的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=−x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
(1)求a，b的值；
(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PM//OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，作MQ⊥AB于点Q，在线段ON上取点R，使∠ORQ=2∠OBA，求点R的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C. 3是无理数，故本选项符合题意；
D.17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2.【答案】A
【解析】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．
故选：A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：67500=6.75×104，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是对必然事件的概念的理解，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
【解答】
解：A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．
故不符合题意；
D、是必然事件．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式=m4，不符合题意；
B、原式=x2+2x+1，不符合题意；
C、原式=27m6，不符合题意；
D、原式=2a7，符合题意，
故选：D．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：方程(x−2)(x+3)=0，
可得x−2=0或x+3=0，
解得：x1=2，x2=−3，
故选：D．
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB⊥x轴于B，S△AOB=2，
∴|k|=2×2=4，
∵函数在第二、四象限，
∴k=−4．
故选：D．
根据k的几何意义以及函数所在的象限即可确定．
反比例函数y=kx中k的几何意义，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
8.【答案】B
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5，
排在中间的两个数分别是3和4，则中位数为3+42=3.5，
3出现的次数最多，故众数为3．
故选：B．
根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.【答案】D
【解析】解：如图，取格点E.连接BE，CE．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC= 32+42=5，EC=3，
∴sinA=ECAC=35，
故选：D．
如图，取格点E.连接BE，CE.构造直角三角形求出AC，EC即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】解：A、∵抛物线与x轴另一交点横坐标0
∴抛物线的顶点纵坐标>1，
∴y的最大值大于1，A正确；
B、观察函数图象，可知：当x=0时，y<0，B错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线32
∴当x=2时，y的值大于1，C错误；
D、观察函数图象，可知：当x>3时，y的值小于0，D错误．
故选：A．
A、由抛物线与x轴另一交点横坐标的范围，可确定点(1,1)不是抛物线的顶点坐标，结合抛物线的开口向下，可得出y的最大值大于1，A正确；B、由当x=0时，y<0，可得出B错误；C、根据抛物线对称轴的范围可得出点(1,1)关于对称轴对称的点的横坐标大于2，结合抛物线的开口可得出当x=2时，y的值大于1，C错误；D、由当x>3时，y<0，可得出D错误．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
11.【答案】2(x−2)2
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．
先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：原式=2(x2−4x+4)
=2(x−2)2．
故答案为2(x−2)2．
12.【答案】1a+1
【解析】解：原式=(aa−1a)⋅a(a+1)(a−1)
=a−1a⋅a(a+1)(a−1)
=1a+1，
故答案为：1a+1．
先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
13.【答案】0.91a
【解析】解：依题意得，
a(1+30%)×70%=0.91a(元)．
本题列代数式商品的售价=商品售价较进价高30%的价格×打7折后的价格．根据等量关系列出代数式得出结果．
列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“较进价高30%”、“原售价的70%”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
14.【答案】60°
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正多边形的有关概念．利用多边形的外角和得到正多边形为六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
【解答】
解：∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为360°60∘=6，
即正多边形为六边形，
∴这个正多边形的中心角的度数=360°6=60°．
故答案为60°．
15.【答案】(43,−1)
【解析】解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，位似比为1：3，而B(−4,3)，
∴C(13×4,−13×3)，即C(43,−1)，
故答案为：(43,−1)，
根据关于以原点为位似中心的定义点的坐标关系得到C(43,−1)，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
16.【答案】83 19
【解析】解：连接MN，
∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，BD=BE，AB=BC，
∵∠ABC+∠DBE+∠CBE=180°，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE=120°，即∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△CBD中，
AB=BC∠ABE=∠DBCBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴∠EAB=∠DCB，
在△ABM和△CBN中，
∠NCB=∠MABBC=BA∠NBC=∠MBA，
∴△ABM≌△CBN(ASA)，
∴BM=BN，
∵∠EAB+∠ABC+∠AMB=∠DCB+∠CFM+∠CMF=180°，∠AMB=∠CMF，
∴∠CFM=∠ABC=60°，
∴∠AFD=120°，
∴∠CBE+∠AFD=120°+60°=180°，
∴点M，B，N，F四点共圆，
∴∠MFB=∠BFN=12∠AFD=60°，
∴∠CFB=∠CFM+∠MFB=120°，
∴∠CBD=∠CFB=120°，
∵∠BCD=∠FCB，
∴△BCD∽△FCB，
∴BC：CD=BD：FB，
过C作CG⊥AB于G，
∵AB=12，
∴BG=12AB=6，CG= 3BG=6 3，
∵BD=8，
∴DG=6+8=14，
∴CD= CG2+GD2= (6 3)2+142=4 19，
∴12：4 19=8：BF，
解得BF=83 19．
故答案为：83 19．
连接MN，由等边三角形的性质证明△ABE≌△CBD，△ABM≌△CBN，可得BM=BN，再证明点M，B，N，F四点共圆，可得∠CBD=∠CFB=120°，结合∠BCD=∠FCB，证明△BCD∽△FCB可得比例式BC：CD=BD：FB，过C作CG⊥AB于G，利用勾股定理求解CD的长，进而可求解．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，证明△BCD∽△FCB是解题的关键．
17.【答案】解：原式=14×1+2− 3+2× 32
=14+2− 3+ 3
=94．
【解析】直接利用乘方的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】14
【解析】解：(1)小慧选科普活动课程的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，
∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵CE//BD，
∴∠CEB=∠DBE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，
∵△ABC≌△ABD，
∴BC=BD，
∴CE=BD，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵BC=BD，
∴平行四边形BCED是菱形．
【解析】由△ABC≌△ABD，推出∠ABC=∠ABD，再由CE//BD，推出∠CEB=∠DBE，然后证得CE=BD，得四边形BCED是平行四边形，然后由BC=BD即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是得到四边形BCED是平行四边形．
20.【答案】(1)本次调查的学生有30÷20%=150人；
(2)C类别人数为150−(30+45+15)=60人，
补全条形图如下：
(3)144°；
(4)600×(45+30150)=300(人)，
答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约300盒．
【解析】
解：
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×60150=144°
故答案为：144°；
(4)见答案．
【分析】
(1)利用A类别人数及其百分比可得总人数；
(2)总人数减去A、B、D类别人数，求得C的人数即可补全图形；
(3)360°×C类别人数所占比例可得；
(4)总人数乘以样本中A、B人数占总人数的比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．
21.【答案】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
依题意得：99001.2x−7500x=5，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×150=180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
【解析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B款套装的单价，再将其代入1.2x中即可求出A款套装的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴AD//OC，
∴∠OCD+∠D=180°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接CE，OE，
∵AB=6，
∴OC=OE=3，
∵∠BAC=∠DAC=30°，OA=OE，
∴∠OEA=∠EOC=60°，
∴CE//AB，
∴S△CEO=S△CAE，
∴S阴=S扇形EOC=60⋅π⋅9360=3π2．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD//OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)解：设直线l1的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
∵图象经过点(5,6)，A(−3,0)，
∴5k+b=6−3k+b=0，解得k=34b=94，
∴直线l1的函数表达式为y=34x+94．
联立y=34x+94y=3x，
解得：x=1y=3，
∴点B的坐标为(1,3)；
(2)解：∵A(−3,0)，B(1,3)，
∴S△AOB=12×3×3=92；
(3)解：∵点C在x轴上，
∴∠BAC≠90°，
∴当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90°和∠ABC=90°两种情况．
①当∠ACB=90°时，点C在图中C1的位置：
∵点A和点C1均在x轴上，
∴BC1⊥x轴．
∵B(1,3)，
∴C1(1,0)；
②当∠ABC=90°时，点C在图中C2的位置：
设C2(m,0)，(m>0)
∵A(−3,0)，B(1,3)，C1(1,0)，
∴AC1=4，BC1=3，C1C2=m−1，AC2=m+3，
∴AB= AC12+BC12= 42+32=5．
在Rt△ABC2中，AC22−AB2=BC22，
在Rt△BC1C2中，BC12+C1C22=BC22，
∴AC22−AB2=BC12+C1C22，
即(m+3)2−52=32+(m−1)2，
解得m=134，
∴C2(134,0)．
综上可知，在x轴上存在点C，使得△ABC是直角三角形，点C的坐标为(1,0)或(134,0)．
【解析】(1)利用待定系数求出直线l1的函数表达式，再联立直线l1，l2的函数表达式，可得点B的坐标；
(2)根据A(−3,0)，B(1,3)，即可求解；
(3)根据题意可得当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90°和∠ABC=90°两种情况，即可求解．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
24.【答案】(1)解：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，
∵AD=BD，
∴∠BDC=∠C=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为CD的中点，
∴DP=BP，∠CPB=45°，
∴∠ADP=∠PBE=135°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE=∠DPB=90°，
∴∠APD=∠BPE，
∴△ADP≌△EBP(ASA)，
∴PA=PE；
(2)证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF=∠APE=90°，
∴∠DPA=∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠DAB=45°，AB//CD，
又∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=∠C=∠CDB=45°，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠PFD=45°，
∴∠PFD=∠PDF，
∴PD=PF，
∴∠PDA=∠PFE=135°，
∴△ADP≌△EFP(ASA)，
∴AD=EF，
在Rt△FDP中，∠PDF=45°，
∵cos∠PDF=DPDF，
∴DF=DPcos∠PDF=DPcos45∘= 2DP，
∵DE=DF+EF，
∴DA+ 2DP=DE；
(3)解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
则△ADG是等腰直角三角形，
∴AG=DG=3，
∴GP=4，
∴PD=1，
由(2)得，DA+ 2DP=DE；
∴3 2+ 2=DE，
∴DE=4 2，
∴BE=DE−BD=4 2−3 2= 2，
当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
同理可得△ADP≌△EFP(AAS)，
∴AD=EF，
∵PD=AG+DG=4+3=7，
∴DF= 2PD=7 2，
∴BE=BD+DF−EF=DF=7 2，
综上：BE的长为 2或7 2．
【解析】(1)连接BD，可知△BDC是等腰直角三角形，再证明△ADP≌△EBP(ASA)，得PA=PE；
(2)过点P作PF⊥CD交DE于点F，首先证明△ADP≌△EFP(ASA)，得AD=EF，再证明△DPF是等腰直角三角形，可得结论；
(3)分点P在线段CD和CD的延长线上两种情形，分别画出图形，利用△ADP≌△EFP(ASA)，得AD=EF，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
25.【答案】解：(1)∵y=−x+4与x轴交于点A，
∴A(4,0)，
∵点B的横坐标为1，且直线y=−x+4经过点B，
∴B(1,3)，
∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,3)，
∴0=16a+4b3=a+b，
解得：a=−1b=4，
∴a=−1，b=4；
(2)作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，如图：
∵B(1,3)，A(4,0)，
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，
∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠PFM=∠ECM=90°，
∴PF//EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME//OB，
∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴BDOD=MFPF=3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴d=3t+t=4t；
(3)过Q作QT⊥x轴于T，如图：
设M(t,−t2+4t)，N(t,−t+4)，
∴MN=−t2+4t+t−4=−t2+5t−4，
∴PF=14(−t2+5t−4)，
∴S△PMN=12×14(−t2+5t−4)2=18(t−4)2(t−1)2，
∵KAB=−1，
∴∠OAB=45°，
∴CA=CN=4−t，
∴S△ACN=12(t−4)2，
∵S△ACN=S△PMN，
∴18(t−4)2(t−1)2=12(t−4)2，
∴t1=−1，(舍)，t2=3，
∴M(3,3)，MN=2，CA=CN=1，
∴N(3,1)，AN= 2，
∴ON= 10，
∵B(1,3)，
∴OB= 10，
∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，
∵∠ORQ=2∠OBA，
∴∠ORQ=2∠ONB，
而∠ORQ=∠ONB+∠RQN，
∴∠ONB=∠RQN，
∴RN=RQ，
∵∠MNQ=∠ANC=45°，
∴△MNQ是等腰直角三角形，
而MN=2，
∴QN= 2，
∴AQ=2 2，
由△AQT是等腰直角三角形得QT=AT=2，
∴Q(2,2)，
由N(3,1)可得直线ON为y=13x，
设R(m,13m)，
∵RN=RQ，
∴(m−3)2+(13m−1)2=(m−2)2+(13m−2)2，
解得m=32，
∴R(32,12).
【解析】(1)利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；
(2)已知MN=d，PF=t，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用PF代替，即可得到MN与PF的关系：利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得BDOD=MFPF=3，从而有MF=3PF=3t，从而得出d与t的函数关系；
(3)过Q作QT⊥x轴于T，设M(t,−t2+4t)，N(t,−t+4)，得MN=−t2+4t+t−4=−t2+5t−4，S△PMN=18(t−4)2(t−1)2，而S△ACN=12(t−4)2，根据S△ACN=S△PMN，得t=3，即有M(3,3)，MN=2，CA=CN=1，N(3,1)，AN= 2，可知OB=ON，∠OBN=∠ONB，由∠ORQ=2∠OBA，可推得RN=RQ，而MN=2，可得Q(2,2)，设R(m,13m)，可得(m−3)2+(13m−1)2=(m−2)2+(13m−2)2，解得R(32,12).
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识，由S△ACN=S△PMN得出RN=RQ，进而得出m的值是解题关键．
2023年辽宁省沈阳126中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数是无理数的是( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 17
2. 如图是某工厂要设计生产一类由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. “辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，它的满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为( )
A. 675×102 B. 67.5×102 C. 6.75×104 D. 6.75×105
4. 下列事件中是必然发生的事件是( )
A. 打开电视机，正播放新闻
B. 通过长期努力学习，你会成为数学家
C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D. 某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天
5. 下列运算正确的是( )
A. m6÷m2=m3 B. (x+1)2=x2+1
C. (3m2)3=9m6 D. 2a3⋅a4=2a7
6. 方程(x−2)(x+3)=0的解是( )
A. x=2 B. x=−3
C. x1=2，x2=3 D. x1=2，x2=−3
7. 如图，点A在双曲线y=kx上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k的值为( )
A. 2
B. 4
C. −2
D. −4
8. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如表：则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是( )
每天使用零花钱(单位：元)
1
2
3
4
5
人数
1
3
6
5
5
A. 3，3 B. 3，3.5 C. 3.5，3.5 D. 3.5，3
9. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为( )
A. 32
B. 34
C. 45
D. 35
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,1)和点(3,0).下列关于这个二次函数的描述，正确的是( )
A. y的最大值大于1
B. 当x=0时，y的值大于0
C. 当x=2时，y的值等于1
D. 当x>3时，y的值大于0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2x2−8x+8= ．
12. 计算：(1−1a)⋅aa2−1=______
13. 某种商品进价为a元/件，在销售旺季，商品售价较进价高30%；销售旺季过后，商品又以7折(即原售价的70%)的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为______元．
14. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(−3,0)，B(−4,3)，△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为______ ．
16. 如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，边长分别为12和8，点D在直线AB上运动，C、E在直线AB上方，分别连接AE，CD，它们相交于点F，连接BF，则BF的长______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−12)2⋅(π−3)0+| 3−2|+2sin60°．
18. (本小题8.0分)
“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程(依次记为A，B，C，D).若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程．
(1)小慧选择科普活动课程的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率．
19. (本小题8.0分)
如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE//BD，连接DE．
求证：四边形BCED是菱形．
20. (本小题8.0分)
某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据统计图的信息解决下列问题：
(1)本次调查的学生有多少人？
(2)补全上面的条形统计图；
(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是______；
(4)若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？
21. (本小题8.0分)
2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
22. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，AC平分∠BAE，过点C作CD⊥AE交AE延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=6，∠BAC=30°，求阴影部分的面积．
23. (本小题10.0分)
如图，已知直线l1经过点(5,6)，交x轴于点A(−3,0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．
(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
24. (本小题12.0分)
在▱ABCD中，∠C=45°，AD=BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+ 2DP=DE；
(3)点P在射线CD上运动，若AD=3 2，AP=5，请直接写出线段BE的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=−x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
(1)求a，b的值；
(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PM//OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，作MQ⊥AB于点Q，在线段ON上取点R，使∠ORQ=2∠OBA，求点R的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C. 3是无理数，故本选项符合题意；
D.17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2.【答案】A
【解析】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．
故选：A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：67500=6.75×104，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是对必然事件的概念的理解，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
【解答】
解：A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．
故不符合题意；
D、是必然事件．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式=m4，不符合题意；
B、原式=x2+2x+1，不符合题意；
C、原式=27m6，不符合题意；
D、原式=2a7，符合题意，
故选：D．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：方程(x−2)(x+3)=0，
可得x−2=0或x+3=0，
解得：x1=2，x2=−3，
故选：D．
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB⊥x轴于B，S△AOB=2，
∴|k|=2×2=4，
∵函数在第二、四象限，
∴k=−4．
故选：D．
根据k的几何意义以及函数所在的象限即可确定．
反比例函数y=kx中k的几何意义，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
8.【答案】B
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5，
排在中间的两个数分别是3和4，则中位数为3+42=3.5，
3出现的次数最多，故众数为3．
故选：B．
根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.【答案】D
【解析】解：如图，取格点E.连接BE，CE．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC= 32+42=5，EC=3，
∴sinA=ECAC=35，
故选：D．
如图，取格点E.连接BE，CE.构造直角三角形求出AC，EC即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】解：A、∵抛物线与x轴另一交点横坐标0
∴抛物线的顶点纵坐标>1，
∴y的最大值大于1，A正确；
B、观察函数图象，可知：当x=0时，y<0，B错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线32
∴当x=2时，y的值大于1，C错误；
D、观察函数图象，可知：当x>3时，y的值小于0，D错误．
故选：A．
A、由抛物线与x轴另一交点横坐标的范围，可确定点(1,1)不是抛物线的顶点坐标，结合抛物线的开口向下，可得出y的最大值大于1，A正确；B、由当x=0时，y<0，可得出B错误；C、根据抛物线对称轴的范围可得出点(1,1)关于对称轴对称的点的横坐标大于2，结合抛物线的开口可得出当x=2时，y的值大于1，C错误；D、由当x>3时，y<0，可得出D错误．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
11.【答案】2(x−2)2
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．
先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：原式=2(x2−4x+4)
=2(x−2)2．
故答案为2(x−2)2．
12.【答案】1a+1
【解析】解：原式=(aa−1a)⋅a(a+1)(a−1)
=a−1a⋅a(a+1)(a−1)
=1a+1，
故答案为：1a+1．
先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
13.【答案】0.91a
【解析】解：依题意得，
a(1+30%)×70%=0.91a(元)．
本题列代数式商品的售价=商品售价较进价高30%的价格×打7折后的价格．根据等量关系列出代数式得出结果．
列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“较进价高30%”、“原售价的70%”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
14.【答案】60°
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正多边形的有关概念．利用多边形的外角和得到正多边形为六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
【解答】
解：∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为360°60∘=6，
即正多边形为六边形，
∴这个正多边形的中心角的度数=360°6=60°．
故答案为60°．
15.【答案】(43,−1)
【解析】解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，位似比为1：3，而B(−4,3)，
∴C(13×4,−13×3)，即C(43,−1)，
故答案为：(43,−1)，
根据关于以原点为位似中心的定义点的坐标关系得到C(43,−1)，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
16.【答案】83 19
【解析】解：连接MN，
∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，BD=BE，AB=BC，
∵∠ABC+∠DBE+∠CBE=180°，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE=120°，即∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△CBD中，
AB=BC∠ABE=∠DBCBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴∠EAB=∠DCB，
在△ABM和△CBN中，
∠NCB=∠MABBC=BA∠NBC=∠MBA，
∴△ABM≌△CBN(ASA)，
∴BM=BN，
∵∠EAB+∠ABC+∠AMB=∠DCB+∠CFM+∠CMF=180°，∠AMB=∠CMF，
∴∠CFM=∠ABC=60°，
∴∠AFD=120°，
∴∠CBE+∠AFD=120°+60°=180°，
∴点M，B，N，F四点共圆，
∴∠MFB=∠BFN=12∠AFD=60°，
∴∠CFB=∠CFM+∠MFB=120°，
∴∠CBD=∠CFB=120°，
∵∠BCD=∠FCB，
∴△BCD∽△FCB，
∴BC：CD=BD：FB，
过C作CG⊥AB于G，
∵AB=12，
∴BG=12AB=6，CG= 3BG=6 3，
∵BD=8，
∴DG=6+8=14，
∴CD= CG2+GD2= (6 3)2+142=4 19，
∴12：4 19=8：BF，
解得BF=83 19．
故答案为：83 19．
连接MN，由等边三角形的性质证明△ABE≌△CBD，△ABM≌△CBN，可得BM=BN，再证明点M，B，N，F四点共圆，可得∠CBD=∠CFB=120°，结合∠BCD=∠FCB，证明△BCD∽△FCB可得比例式BC：CD=BD：FB，过C作CG⊥AB于G，利用勾股定理求解CD的长，进而可求解．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，证明△BCD∽△FCB是解题的关键．
17.【答案】解：原式=14×1+2− 3+2× 32
=14+2− 3+ 3
=94．
【解析】直接利用乘方的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】14
【解析】解：(1)小慧选科普活动课程的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，
∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵CE//BD，
∴∠CEB=∠DBE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，
∵△ABC≌△ABD，
∴BC=BD，
∴CE=BD，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵BC=BD，
∴平行四边形BCED是菱形．
【解析】由△ABC≌△ABD，推出∠ABC=∠ABD，再由CE//BD，推出∠CEB=∠DBE，然后证得CE=BD，得四边形BCED是平行四边形，然后由BC=BD即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是得到四边形BCED是平行四边形．
20.【答案】(1)本次调查的学生有30÷20%=150人；
(2)C类别人数为150−(30+45+15)=60人，
补全条形图如下：
(3)144°；
(4)600×(45+30150)=300(人)，
答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约300盒．
【解析】
解：
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×60150=144°
故答案为：144°；
(4)见答案．
【分析】
(1)利用A类别人数及其百分比可得总人数；
(2)总人数减去A、B、D类别人数，求得C的人数即可补全图形；
(3)360°×C类别人数所占比例可得；
(4)总人数乘以样本中A、B人数占总人数的比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．
21.【答案】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
依题意得：99001.2x−7500x=5，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×150=180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
【解析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B款套装的单价，再将其代入1.2x中即可求出A款套装的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴AD//OC，
∴∠OCD+∠D=180°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接CE，OE，
∵AB=6，
∴OC=OE=3，
∵∠BAC=∠DAC=30°，OA=OE，
∴∠OEA=∠EOC=60°，
∴CE//AB，
∴S△CEO=S△CAE，
∴S阴=S扇形EOC=60⋅π⋅9360=3π2．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD//OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)解：设直线l1的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
∵图象经过点(5,6)，A(−3,0)，
∴5k+b=6−3k+b=0，解得k=34b=94，
∴直线l1的函数表达式为y=34x+94．
联立y=34x+94y=3x，
解得：x=1y=3，
∴点B的坐标为(1,3)；
(2)解：∵A(−3,0)，B(1,3)，
∴S△AOB=12×3×3=92；
(3)解：∵点C在x轴上，
∴∠BAC≠90°，
∴当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90°和∠ABC=90°两种情况．
①当∠ACB=90°时，点C在图中C1的位置：
∵点A和点C1均在x轴上，
∴BC1⊥x轴．
∵B(1,3)，
∴C1(1,0)；
②当∠ABC=90°时，点C在图中C2的位置：
设C2(m,0)，(m>0)
∵A(−3,0)，B(1,3)，C1(1,0)，
∴AC1=4，BC1=3，C1C2=m−1，AC2=m+3，
∴AB= AC12+BC12= 42+32=5．
在Rt△ABC2中，AC22−AB2=BC22，
在Rt△BC1C2中，BC12+C1C22=BC22，
∴AC22−AB2=BC12+C1C22，
即(m+3)2−52=32+(m−1)2，
解得m=134，
∴C2(134,0)．
综上可知，在x轴上存在点C，使得△ABC是直角三角形，点C的坐标为(1,0)或(134,0)．
【解析】(1)利用待定系数求出直线l1的函数表达式，再联立直线l1，l2的函数表达式，可得点B的坐标；
(2)根据A(−3,0)，B(1,3)，即可求解；
(3)根据题意可得当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90°和∠ABC=90°两种情况，即可求解．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
24.【答案】(1)解：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，
∵AD=BD，
∴∠BDC=∠C=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为CD的中点，
∴DP=BP，∠CPB=45°，
∴∠ADP=∠PBE=135°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE=∠DPB=90°，
∴∠APD=∠BPE，
∴△ADP≌△EBP(ASA)，
∴PA=PE；
(2)证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF=∠APE=90°，
∴∠DPA=∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠DAB=45°，AB//CD，
又∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=∠C=∠CDB=45°，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠PFD=45°，
∴∠PFD=∠PDF，
∴PD=PF，
∴∠PDA=∠PFE=135°，
∴△ADP≌△EFP(ASA)，
∴AD=EF，
在Rt△FDP中，∠PDF=45°，
∵cos∠PDF=DPDF，
∴DF=DPcos∠PDF=DPcos45∘= 2DP，
∵DE=DF+EF，
∴DA+ 2DP=DE；
(3)解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
则△ADG是等腰直角三角形，
∴AG=DG=3，
∴GP=4，
∴PD=1，
由(2)得，DA+ 2DP=DE；
∴3 2+ 2=DE，
∴DE=4 2，
∴BE=DE−BD=4 2−3 2= 2，
当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
同理可得△ADP≌△EFP(AAS)，
∴AD=EF，
∵PD=AG+DG=4+3=7，
∴DF= 2PD=7 2，
∴BE=BD+DF−EF=DF=7 2，
综上：BE的长为 2或7 2．
【解析】(1)连接BD，可知△BDC是等腰直角三角形，再证明△ADP≌△EBP(ASA)，得PA=PE；
(2)过点P作PF⊥CD交DE于点F，首先证明△ADP≌△EFP(ASA)，得AD=EF，再证明△DPF是等腰直角三角形，可得结论；
(3)分点P在线段CD和CD的延长线上两种情形，分别画出图形，利用△ADP≌△EFP(ASA)，得AD=EF，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
25.【答案】解：(1)∵y=−x+4与x轴交于点A，
∴A(4,0)，
∵点B的横坐标为1，且直线y=−x+4经过点B，
∴B(1,3)，
∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,3)，
∴0=16a+4b3=a+b，
解得：a=−1b=4，
∴a=−1，b=4；
(2)作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，如图：
∵B(1,3)，A(4,0)，
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，
∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠PFM=∠ECM=90°，
∴PF//EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME//OB，
∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴BDOD=MFPF=3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴d=3t+t=4t；
(3)过Q作QT⊥x轴于T，如图：
设M(t,−t2+4t)，N(t,−t+4)，
∴MN=−t2+4t+t−4=−t2+5t−4，
∴PF=14(−t2+5t−4)，
∴S△PMN=12×14(−t2+5t−4)2=18(t−4)2(t−1)2，
∵KAB=−1，
∴∠OAB=45°，
∴CA=CN=4−t，
∴S△ACN=12(t−4)2，
∵S△ACN=S△PMN，
∴18(t−4)2(t−1)2=12(t−4)2，
∴t1=−1，(舍)，t2=3，
∴M(3,3)，MN=2，CA=CN=1，
∴N(3,1)，AN= 2，
∴ON= 10，
∵B(1,3)，
∴OB= 10，
∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，
∵∠ORQ=2∠OBA，
∴∠ORQ=2∠ONB，
而∠ORQ=∠ONB+∠RQN，
∴∠ONB=∠RQN，
∴RN=RQ，
∵∠MNQ=∠ANC=45°，
∴△MNQ是等腰直角三角形，
而MN=2，
∴QN= 2，
∴AQ=2 2，
由△AQT是等腰直角三角形得QT=AT=2，
∴Q(2,2)，
由N(3,1)可得直线ON为y=13x，
设R(m,13m)，
∵RN=RQ，
∴(m−3)2+(13m−1)2=(m−2)2+(13m−2)2，
解得m=32，
∴R(32,12).
【解析】(1)利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；
(2)已知MN=d，PF=t，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用PF代替，即可得到MN与PF的关系：利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得BDOD=MFPF=3，从而有MF=3PF=3t，从而得出d与t的函数关系；
(3)过Q作QT⊥x轴于T，设M(t,−t2+4t)，N(t,−t+4)，得MN=−t2+4t+t−4=−t2+5t−4，S△PMN=18(t−4)2(t−1)2，而S△ACN=12(t−4)2，根据S△ACN=S△PMN，得t=3，即有M(3,3)，MN=2，CA=CN=1，N(3,1)，AN= 2，可知OB=ON，∠OBN=∠ONB，由∠ORQ=2∠OBA，可推得RN=RQ，而MN=2，可得Q(2,2)，设R(m,13m)，可得(m−3)2+(13m−1)2=(m−2)2+(13m−2)2，解得R(32,12).
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识，由S△ACN=S△PMN得出RN=RQ，进而得出m的值是解题关键．
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