江苏省南京市江宁区2022-2023高二下学期期末数学试卷+答案

这是一份江苏省南京市江宁区2022-2023高二下学期期末数学试卷+答案，共12页。

2022-2023学年第二学期期末试卷
高二数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知（i为虚数单位），则复数的模为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
3. 已知，是平面中两个不共线的向量，若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 五张卡片上分别写有、、、、五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（ ）
A. B. C. D.
7. 故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，∥底面，，与是全等的等边三角形，则该五面体的体积为（ ）

A. B. C. D.
8. 直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9. 某班名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 的值为
B. 这名同学成绩的平均数在与之间
C. 这名同学成绩的众数是
D. 估计这名同学成绩百分位数为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知命题：任意，，则命题的否定为：存在，
B. 若关于的不等式的解集为，则
C. 如果，，，那么的最小值为6
D. 函数的最小值为2
11. 设函数的最小正周期为，且过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B. 的一条对称轴为
C. 把图象向左平移个单位长度后得到函数，则
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
12. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若，则的面积为
C. 若直线过焦点，且，则到直线的距离为
D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知，则______．
14. 展开式中，的系数为______．（以数字形式作答）．
15. 曲线在点处的切线方程为______.
16. 在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.
（1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；
（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为，求随机变量的数学期望.





18. 中，角，，所对的边分别是，，，满足：，
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．






19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．









20. 已知数列前项和为，，是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，数列前项和为，求．







21. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．






22. 已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，为线段的中点，为坐标原点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，为圆上任意一点，过点作椭圆切线，交圆于点，若与斜率都存在，求证：为定值．























高二数学答案
1. C
2. B
3. C
4. C
5. D
6. A
7. B
8. D
9. ACD
10. AC
11. ABD
12. BD
13.
14.
15.
16.
17.（1）设：第一次摸到的球是白球，：第一次摸到的球是黑球，
：第二次摸到的球是白球，；
（2）的可能取值为2，3，4，
，，
，
所以的分布列为：

2
3
4




所以数学期望.
18. （1）由已知得，，
由余弦定理，得，
∴，
∵，∴，
由正弦定理，有，
∵，∴，
又，∴．
（2）在三角形中，，
由正弦定理得：
，，
∴
，
∵在三角形中，，，
∴，显然，即，
则有，
所以的取值范围是．
19. （1）由，得，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
，，单调递减；
（2）由（1）知，当时，，
要证：当时，，
可证：，
因为，即证：，
设，，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，所以，
即，
所以当时，．
20. （1）解：因为是公差为的等差数列，，
所以，得，
当时，；
时，符合，
所以，．
（2）解：由，且，
当时，则有
，
又也满足，故对任意的，，
，
则．
21. （1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．

（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．

22. （1）依题意可得，，，，
所以，所以，
所以椭圆方程为：．
（2）若的斜率不存在，则，或，，
此时；
若的斜率存在时，可设直线的方程为，，，
由联立消去可得，，
方程的判别式，
，，，
所以，
当直线与椭圆相切时，
由联立消去可得，，
，化简得，
所以，综上可得为定值．