安徽省合肥市重点中学2021-2022学年高一下学期期末考试——数学

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这是一份安徽省合肥市重点中学2021-2022学年高一下学期期末考试——数学，共8页。

2021级高一下学期期末考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知平面向量，则与同向的单位向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么z的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论中错误的是（）

A. 直线与为异面直线 B. 平面
C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为
【答案】D
4. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是（）
A. 2个球颜色相同的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为
C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】B
5. 在中，角所对的边分别为，若，则（）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
6. 已知在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且为直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且，与的夹角为45°，若，则（）

A. 1 B. C. D.
【答案】C

8. 等边的边长为，过点的直线与过的平面交于点．将平面绕转动（不与平面重合），且三条直线、、与平面所成的角始终相等．当三棱锥体积最大时，与平面所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 如下四个命题中，说法正确的是（）
A. 向量的长度与向量的长度相等；
B. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
C. 两个公共终点的向量，一定是共线向量；
D. 向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
【答案】AB
10. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（）
A. A与B相互独立 B. A与D互为对立 C. B与C互斥 D. B与D相互独立
【答案】ABD

11. 在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）
A. 若，则 B. 若，则B的取值范围是
C. D.
【答案】ACD

12. 正方体中，下列说法正确的是（）
A. 在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条
B. 在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条
C. 棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交
D. 在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条
【答案】AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 研究下列问题：①合肥市今年“八一”前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③“安徽新闻联播”的收视率；④近年来我国大学生入学人数的相关数据．其中，通过试验获取数据的是__________．（填写问题对应的序号）
【答案】②
14. 锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是________
【答案】

15. 已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是_________．
【答案】
16. 在侧棱长为，底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE和平面PAF上的动点，则的最小值为__________．
【答案】

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数，，其中．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.

18. 已知向量，，，．
（1）若，且，求x的值；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；
（2）存在；.

19. （1）树人中学高一（1）班50名同学期中考试（100分制）数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是，，，，，，试求数学成绩的分位数（保留一位小数）；

（2）树人中学组建足球队备战全市高中生足球联赛．队员分别来自高一、高二两个年级，且高一年级队员占队员总数的．已知高一年级队员体重（单位：kg）的平均数为70，方差为300；高二年级队员体重的平均数为60，方差为200．求足球队全体队员体重的平均数及方差．
【答案】（1）；（2）平均数为；方差为．

20. 在△ABC中，a，b，c分别A，B，C所对边，．
（1）求A；
（2）若，求BC边上的高．
【答案】（1）
（2）

21. 一个盒中装有红、白两种颜色的玻璃球，其中红球3个，白球2个．
（1）若一次从盒中随机取出2个玻璃球，求至少取到一个白色球的概率；
（2）依次从盒中随机取球，每次取一个，取后不放回．当某种颜色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是红色玻璃球的概率．
【答案】（1）；
（2）.

22. 如图，在三棱台中，与、都垂直，已知，．

（1）求证：平面平面；
（2）直线与底面所成的角的大小为多少时，二面角的余弦值为？
（3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【小问1详解】
∵与、都垂直，又由棱台的性质，
∴，，又，
∴平面，又平面．
故平面平面．
【小问2详解】
由（1）知，平面平面．
如图所示，过作于D，则平面，
∴是与平面所成的角，即．
作于E，则为二面角的平面角．
在中，易得．
在中，，，，．
由，得．
∵，∴，即，
于是，，，
注意到，故．
【小问3详解】
点C到平面的距离即为点C到平面的距离．
，，，
，又由可知，
点C到平面的距离即点到平面ABC的距离，
由（2）知，平面ABC，且，
于是，C到平面的距离为．