高考数学二轮导数专题复习——第二十七节 指对共生式技巧之分离双函数-解析版

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第二十七节 指对共生式技巧之分离双函数
知识与方法
当要证明的不等式中既含有，又含有时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数（单个函数）进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.这一小节主要针对分离双函数的技巧，具体方法是将要证明的不等式进行等价变形，将与分离到不等号的两端，再分别研究两侧函数的最值，解决不等式证明问题．常见的模型是如下图所示的水平分界模型，即将要证明的不等式转化为只需证，通过论证得出且两函数不在同一位置取得最值，从而得出，证得原不等式．一般我们将称为上函数，称为下函数.在两个函数的选取上，上函数一般选取、、这些有唯一极小值点的函数，下函数则选取、、等有唯一极大值点的函数.

典型例题
【例题】（2014·新课标Ⅰ卷）函数，曲线在处的切线为.
（1）求a、b的值；
（2）证明：.
【解析】（1）的定义域为，且，
由题意，，，所以.
（2）证法1：由（1）可得，
所以，
令，则，所以，，
从而在上单调递诚，在上单调递增，故在处取得最小值，令，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值，所以恒成立，故.
证法2：由（1）可得，所以，
易证，所以当时，，故当时，，
下面先证，只需证，
令，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，即，
所以，两个不等号取等号的条件分别为和，
从而，故不等式成立.
强化训练
1.设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：.
【解析】（1）由题意，的定义域是，且，
当时，，所以，故在上单调递减；
当时，令可得：或，
且，或，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
当时，令可得：或（舍去）
且，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）证法1：若，则，
所以，
要证，只需证，即证，也即证，设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，
设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，
显然，所以，故，即，所以.
证法2：若，则，
所以，
要证，只需证，易证，所以当时，，
从而，设，
则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
又，所以，故.
2．已知函数，
（1）求函数的极值；
（2）求证：当时，.
【解析】（1）由题意，，所以，
从而，，故在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.
（2）等价于，
令，则由（1）知当时，，所以，
令，则，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故，
因为，所以，故恒成立，
从而恒成立，所以.
3.（2012·山东）已知函数（k为常数，e是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行.
（1）求k的值；
（2）求的单调区间；
（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，.
【解析】（1）易求得，由题意，，解得：.
（2）由（1）知，所以，
当时，，，所以，故，
当时，，，所以，故，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意，，
所以，
令，则，
所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故，
令，则，所以在上单调递增，
故，所以恒成立，即，
所以对任意，成立.